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1、第 22 讲平行四边形 (含多边形 ) 陕西中考 说明 陕西 2012 2014 年中 考试题分 析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值 比重 考点 1n 边形、四边 形的性质、 平面图形 的镶嵌 1.了解并 探索多边 形的内角 和与外角 和公式； 2. 了解正多 边形的概 念；3.了解 四边形的 不稳定性； 4.通过探 索平面图 形的镶嵌 (或密铺 )， 知道任意 一个三角 形、 四边形 或正六边 形可以镶 嵌平面 ， 并 能运用这 几种图形 进行简单 的镶嵌设 计 2014 填空题13(A)3 正五边形 的性质 0.8% 考点 2 平 行四边形 的性质以 及判定 1.掌握平 行四
2、边形 的概念和 性质； 2.掌 握并探索 平行四边 形的有关 性质和四 边形是平 行四边形 的条件； 3. 了解并探 索线段、矩 形、 平行四 边形、三角 形的重心 及物理意 义(如一根 均匀木棒、 一块均匀 的矩形木 板的重心 ) 2014 解答题24(3) 3 二次函数 综合题中 涉及平行 四边形的 性质 2012 解答题18(1) 3 利用平行 四边形的 性质及三 角形相似 ， 证明线段 相等 2.5% 考点 3 三 角形中位 线定理 会证明三 角形中位 线定理 在近几年的陕西中考试题中，这部分主要考查平行四边形的性质及判定，有时会与 三角形的相似结合考查，有时会在二次函数综合题中涉及平
3、行四边形的性质，多边形的性质 在 2014 年考查过一次 ，预计 2015 年中考对本部分内容可能会考查以下内容：1.平行四边形 的性质与判定； 2.多边形及平面图形的镶嵌，对平行四边形的性质与判定的考查题型仍会以 解答题为主 ，对多边形及平面图形的镶嵌可能会以选择或填空题进行考查，难度不会太大 1n 边形、四边形的性质、平面图形的镶嵌 (1)n 边形的内角和为_(n2) 180_， 外角和为 _360 _， 对角线条数为 _ n（n3） 2 _ (2)四边形的内角和为_360_，外角和为 _360_，对角线条数为 _2_ (3)正多边形的定义：各条边都_相等 _，且各内角都 _相等 _的多边
4、形叫正多边形 正(2n1)边形是轴对称图形，对称轴有 _2n1_条；正2n 边形既是轴对称图形又是 中心对称图形 (4)平面图形的镶嵌 定义：把形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接到一起，使得平面上不留空隙， 又不重叠 ，这就是平面图形的镶嵌 用同一种多边形可以镶嵌的有正三角形，正方形 ，正六边形等； 也可用几种不同的多 边形进行镶嵌 正多边形镶嵌问题的关键是几个多边形的同一顶点的几个角，它们的和等于_360 _ 注意： 通过正多边形的镶嵌问题，进而理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角 形，任意四边形都能进行平面镶嵌的道理发现拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关 键是几个多边形的同一
5、个顶点的几个角，它们的和等于360. 2平行四边形的性质以及判定 (1)性质： 平行四边形两组对边分别_平行且相等 _； 平行四边形对角_相等 _， 邻角 _互补 _； 平行四边形对角线_互相平分 _； 平行四边形是_中心 _对称图形 (2)判定方法： 定义： _两组对边分别平行_的四边形是平行四边形； _一组对边平行且相等_的四边形是平行四边形； _两组对边分别相等_的四边形是平行四边形； _两组对角分别相等_的四边形是平行四边形； _对角线互相平分_的四边形是平行四边形 3三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 一个方法 面积法：在三角形和平行四边形中，运用 “等
6、积法 ”进行求解 ，以不同的边为底，其高 也不相同 ，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系 一个防范 图形的直观性可帮助探求解题思路， 但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推 理， 造成解题失误一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理 四个误区 误区一：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 误区二：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； 误区三：一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 误区四：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 四种辅助线 (1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题
7、； (2)有平行线时 ，常作平行线构造平行四边形； (3)有中线时 ，常作加倍中线构造平行四边形； (4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过 引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置 (2012陕西 )如图 ，在?ABCD 中，ABC 的平分线BF 分别与 AC ，AD 交于点 E，F. (1)求证： AB AF； (2)当 AB 3，BC5 时 ，求 AE AC 的值 解： (1)如图 ，在?ABCD中，AD BC ， 2 3.BF 是 ABC的平分线 ， 1 2， 1 3，AB AF(2) AEF CEB，2 3， AEF CEB，
8、 AE EC AF BC AB BC 3 5， AE AC 3 8 平行四边形的判定 【例 1】(2014 徐州 )如图 ，在平行四边形ABCD 中，点 E，F 在 AC 上，且 AECF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形 解：证明：如图，连接 BD ，设对角线交于点O.四边形ABCD 是平行四边形 ，OA OC，OBOD.AECF，OA AEOCCF， OEOF.四边形BEDF 是平行四边形 【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：若条件中涉及 角， 考虑用 “ 两组对角分别相等”或“两组对边分别平行” 来证明；若条件中涉及对角线， 考虑用 “对角线互相平分”来说明；
9、 若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行” 或“ 一 组对边平行且相等”来证明 ，也可以巧添辅助线，构建平行四边形 1(2013鞍山 )如图 ，E，F 是四边形ABCD 的对角线AC 上两点 ，AFCE，DF BE， DFBE. 求证： (1)AFD CEB； (2)四边形 ABCD 是平行四边形 证明： (1)DFBE， DFE BEF， DFA BEC.又 AFCE， DFBE， AFD CEB( SAS )(2)由(1)知 AFD CEB， DAC BCA ，ADBC，AD BC，四边形ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 运用平行四边形的性质进行推理论证
10、 【例 2】(2014 聊城 )如图 ，四边形 ABCD 是平行四边形，作 AFCE，BE DF，AF 交 BE 与 G 点，交 DF 与 F 点，CE 交 DF 于 H 点，交 BE 于 E 点 求证： EBC FDA. 证明：四边形ABCD 是平行四边形， AD BC，AD BC， AFCE，BEDF， 四边形 BHDK 和四边形AMCN 是平行四边形， FAD ECB， ADF EBC，在 EBC 和 FDA 中， EBC ADF ， BCAD ， BCE DAF ， EBC FDA( ASA) 【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明 的全等三角形 ，
11、选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形 2(2013宁夏 )在?ABCD 中，P 是 AB 边上的任意一点，过 P 点作 PEAB ，交 AD 于 E，连接 CE，CP，已知 A60. (1)若 BC8，AB6，当 AP 的长为多少时，CPE 的面积最大 ，并求出面积的最大值； (2)试探究当 CPE CPB 时 ，?ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系？ 解： (1)延长 PE交 CD 的延长线于F，设 APx， CPE 的面积为y， 四边形 ABCD 为平行四边形 ， ABDC6，AD BC8，RtAPE， A60， PEA30， AE2x，PE3x，在
12、 Rt DEF 中，DEF PEA30，DEAD AE 82x， DF1 2DE 4x， ABCD，PFAB ，PFCD，S CPE 1 2PE CF，即 y 1 2 3x(10 x) 3 2 x 25 3x，配方得： y 3 2 (x5) 225 3 2 ，当 x5 时，y 有最大值为 253 2 ， 即 AP 的长为 5 时， CPE 的面积最大 ，最大面积为 253 2 (2)当 CPE CPB 时， 有 BCCE， B PEC120， CED180 AEP PEC30， ADC 120， ECD CED 180 120 30 30 ，DE CD，即 EDC 是等腰三角形，过 D 作 D
13、M CE 于 M，则 CM 1 2CE，在 Rt CMD 中 ， ECD30， cos30 CM CD 3 2 ，CM 3 2 CD， CE3CD， BCCE，AB CD，BC3AB ，则当 CPE CPB 时，BC 与 AB 满足的关系为BC3AB 三角形中位线定理 【例 3】(2013 鞍山 )如图 ，D 是 ABC 内一点 ，BDCD，AD 6，BD 4，CD 3， E，F，G，H 分别是 AB， AC，CD，BD 的中点 ，则四边形EFGH 的周长是 _11_. 【点评】当已知三角形一边中点时， 可以设法找出另一边的中点， 构造三角形中位线， 进一步利用三角形的中位线定理， 证明线段平
14、行或倍分问题 3 (2014邵阳 )如图 ， 在 RtABC 中， C90， D 为 AB 的中点 ， DEAC 于点 E.A 30，AB 8，则 DE 的长度是 _2_ 试题如图 ， 已知六边形ABCDEF 的六个内角均为120， CD10 cm，BC8 cm， AB8 cm，AF5 cm，求此六边形的周长 错解 解：如图 ，连接EB，DA ， FC，分别交于点M， N， P. FED EDC 120， DEM EDM 60， DEM 是等边三角形 同理 ， MAB ， NFA 也是等边三角形 FNAF5， MA AB 8. EFA120， EFC60，EDFC，同理 ，EF DN. 四边形
15、EDNF 是平行四边形同理，四边 形 EMAF 也是平行四边形，EDFN5，EFMA 8.六边形ABCDEF 的周长 AB BCCDDEEFFA881058 544(cm) 剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由 FED EDC120得到 DEM EDM 60的这个结论就是错误的， 所以后面的推 理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一 组对角的特性 ， 其他的不具有这一性质不可凭直观感觉就以为对角线AD ， BE 平分 CDE， DEF.切记：视觉不可代替论证， 直观判断不能代替逻辑推理 正解 解：如图 ，分别延长ED，BC 交于点 M，延长 EF， BA 交于点 N. EDC DCB 120， MDC MCD 60 ， M60， MDC 是等边三角形CD10， MCDM 10.同理 ， ANF 也是等边三角形， AFAN NF 5.ABBC8，NB 8513，BM 810 18. E120 ， E M 180， ENMB. 四边形 EMBN 是平行四边形，ENBM 18，EM NB 13，EF ENNF18513，ED EM DM 13 103， 六边形ABCDEF 的周长 ABBCCDDEEFFA88 103135 47(cm)