2015年陕西省中考数学总复习教学案：第23讲特殊的平行四边形.pdf

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1、第 23 讲特殊的平行四边形 陕西中考 说明 陕西 2012 2014 年中考 试题分析 考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值 比重 考点 1矩 形 1.掌握矩形 的概念和性 质；2.掌握并 探索矩形的 有关性质和 四边形是矩 形的条件 2014 解答题25 12 矩形、圆、 正方形、三 角形结合的 综合探究题 2013 选择题9 3 矩形与菱形 的性质应用 4.2% 考点 2菱 形 1.掌握菱形 的概念和性 质；2.掌握并 探索菱形的 有关性质和 四边形是菱 形的条件 2014 选择题9 3 菱形的性质 2012 选择题 7 3 利用菱形的 性质求角度 数 1.7% 考点 3正 方形

2、 3.掌握正方 形的概念和 性质；2.掌握 并探索正方 形的有关性 质和四边形 是正方形的 条件 2013 解答题25 12 圆、正方形、 三角形的性 质等探究综 合题 2012 解答题25 12 以三角形与 正方形为基 础图形 ，以 问题探究的 形式综合考 查尺规作 6.7% 图、正方形 性质及最值 问题 在近几年的陕西中考试题中，特殊的平行四边形是考查的重点，一般考查的是与特 殊平行四边形有关的开放性、探索性问题，或是与三角形全等和相似、圆、函数等知识结合 构建的综合题 ，每年都会在选择(填空 )和解答题中对本节内容考查预计2015 年对此部分 的考查仍会是一个重点，可能会在选择或填空题中

3、考查特殊四边形相关计算，在解答题中结 合开放性问题来考查 1有一个角是 _直角 _的平行四边形是矩形矩形的四个角都是_直角 _，对角线 _ 相等且互相平分_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_两 _条对称轴 矩形的判定方法： (1)有三个角是 _直角 _的四边形； (2)是平行四边形且有一个角是_直角 _； (3)_对角线相等 _的平行四边形； (4)_对角线相等且互相平分_的四边形 2有一组 _邻边相等 _的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都_相等 _，对角线 _ 互相垂直平分 _， 且每一条对角线_平分一组对角 _； 既是轴对称图形， 又是中心对称图形， 有_两_条对称轴 菱形的判定方法

4、： (1)四条边都 _相等 _； (2)有一组 _邻边相等 _的平行四边形； (3)对角线 _互相垂直 _的平行四边形； (4)对角线 _互相垂直平分 _的四边形 3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的四个角都是 _直角 _，四条边都 _相等 _，两条对角线 _相等 _，并且 _互相垂直平分 _，每一条对角 线_平分一组对角_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_四_条对称轴 正方形的判定方法： (1)邻边相等的 _矩形 _； (2)有一角是直角的_菱形 _ 一个防范 在判定矩形、 菱形或正方形时，要明确是在 “四边形 ” 还是在 “平行四边形 ”的基础之 上来求证的

5、 要熟悉各判定定理的联系和区别， 解题时要认真审题， 通过对已知条件的分析、 综合 ，最后确定用哪一种判定方法 三种联系 (1)平行四边形与矩形的联系： 在平行四边形的基础上，增加 “一个角是直角”或“对角线相等 ” 的条件可为矩形； 若 在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形 (2)平行四边形与菱形的联系： 在平行四边形的基础上，增加 “一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱 形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形 (3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形， 其证明思路有两个：先证四边形是菱形， 再证明它有一个

6、角是直角或对角线相等(即矩形 )；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻 边相等或对角线互相垂直(即菱形 ) 总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系归纳如下： 注：学好本部分内容的方法是：弄清楚平行四边形，矩形、菱形和正方形之间的联系和 区别 ，以整体的的观点看待本部分内容 1(2014陕西 )如图 ，在菱形 ABCD 中，AB 5，对角线 AC 6.若过点 A 作 AEBC ， 垂足为 E，则 AE 的长为 ( C ) A4B.12 5 C.24 5 D5 ,第 1 题图),第 2 题图 ) 2(2013陕西 )如图 ，在矩形 ABCD 中，AD 2AB ，点 M，N 分别在边AD ，

7、 BC 上 ， 连接 BM ，DN， 若四边形MBND 是菱形 ，则 AM MD 等于 ( C ) A.3 8 B.2 3 C.3 5 D.4 5 3(2012陕西 )如图 ，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，OEAB， 垂 足为 E，若 ADC 130， 则 AOE 的大小为 ( B ) A75B65 C55D50 4(2014陕西 )问题探究 (1)如图 ， 在矩形 ABCD 中，AB 3，BC4，如果 BC 边上存在点P， 使 APD 为 等腰三角形 ，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP 的长； (2)如图 ，在 ABC 中，ABC 60 ，

8、BC12，AD 是 BC 边上的高 ，E，F 分别为 边 AB， AC 的中点 ，当 AD 6 时 ，BC 边上存在一点Q，使 EQF90 ，求此时 BQ 的 长； 问题解决 (3)有一山庄 ，它的平面图为如图的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选 一点 M 安装监控装置，用来监视边AB ，现只要使 AMB 大约为 60，就可以让监控装置 的效果达到最佳，已知 A E D90，AB 270 m，AE 400 m，ED285 m，CD 340 m，问在线段CD 上是否存在点M，使 AMB 60？若存在 ， 请求出符合条件的 DM 的长 ，若不存在 ， 请说明理由 解：(1)作 AD

9、 的垂直平分线交BC 于点 P，如图 ，则 PAPD. PAD 是等腰三角 形四边形ABCD是矩形 ，AB DC，B C90.PAPD，AB DC， Rt ABP RtDCP(HL) BPCP.BC 4，BPCP2以点 D 为圆心 ，AD 为半径 画弧 ，交 BC 于点 P ，如图 ，则 DA DP . PAD 是 等腰三角形四边形ABCD 是矩形 ，AD BC， ABDC，C90.AB 3，BC4， DC 3，DP 4.CP 42327.BP 47.点 A 为圆心 ，AD 为半径画弧 ，交 BC 于点 P ，如图 ， 则 AD AP . PAD是等腰三角形 同理可得： BP 7.综上所述：

10、在等腰三角形ADP 中， 若 PAPD，则 BP2；若 DPDA ，则 BP47；若 APAD ，则 BP7 (2)E，F 分别为边AB ，AC 的中点 ，EFBC ，EF 1 2BC.BC12，EF 6.以 EF 为直径作 O， 过点 O 作 OQBC，垂足为 Q，连接 EQ、FQ，如图 . AD BC，AD 6， EF 与 BC 之间的距离为3.OQ3OQOE3. O 与 BC 相切 ， 切点为 Q.EF 为 O 的直径 ， EQF90.过点 E 作 EGBC，垂足为 G， 如图 . EGBC，OQ BC，EGOQ.EOGQ，EGOQ，EGQ90，OEOQ，四边形OEGQ 是正方 形 GQ

11、EO3，EGOQ3. B 60，EGB 90，EG 3，BG3.BQ GQBG33.当 EQF90时 ，BQ 的长为 33(3)在线段 CD 上存在点 M ， 使 AMB 60.理由如下：以AB 为边 ，在 AB 的右侧作等边三角形ABG ，作 GPAB ， 垂足为 P， 作 AK BG， 垂足为 K.设 GP 与 AK 交于点 O， 以点 O 为圆心 ， OA 为半径作 O， 过点 O 作 OHCD，垂足为 H，如图 .则 O 是 ABG 的外接圆 ， ABG 是等边三角 形， GPAB ，APPB 1 2AB.AB 270， AP135.ED 285，OH285135 150. ABG是等

12、边三角形， AK BG， BAK GAK 30.OPAP tan30 135 3 3 453.OA2OP903.OHOA. O 与 CD 相交 ， 设交点为M， 连接 MA 、 MB ，如图 . AMB AGB 60，OM OA 903.OHCD，OH 150， OM 903，HM OM 2OH2 （ 903） 2150230 2.AE400，OP453，DH 400453.若点 M 在点 H 的左边 ，则 DM DH HM 400453302.400453 302340，DM CD.点 M 不在线段CD 上 ，应舍去若点M 在点 H 的右边 ，则 DM DH HM 400453303.400

13、 453302340， DM CD.点 M 在线段 CD 上综上所述：在线段CD 上存在唯一的点M， 使 AMB 60，此时 DM 的长为 (400 453302)米 5(2013陕西 )问题探究 (1)请在图中作出两条直线，使它们将圆面积四等分； (2)如图 ，M 是正方形ABCD 内一定点 ，请在图中作出两条直线(要求其中一条直线 必须过点M) 使它们将正方形ABCD 的面积四等分 ，并说明理由 问题解决 (3)如图 ， 在四边形 ABCD 中，AB CD，ABCDBC，点 P 是 AD 的中点 ，如果 ABa， CDb，且 ba，那么在边BC 上是否存在一点Q，使 PQ 所在直线将四边形

14、ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由 解： (1)如图 1 所示 (2)连接 AC，BD 交于 O，作直线 OM，分别交 AD 于 P，交 BC 于 Q，过 O 作 EFOM 交 DC 于 F，交 AB 于 E，则直线 EF、OM 将正方形的面积四等份，理由是：点O 是正方 形 ABCD 的对称中心 ， APCQ，EB DF，在 AOP 和 EOB 中， AOP90 AOE ，BOE90 AOE， AOP BOE，OAOB，OAP EBO 45， AOP EOB ，APBEDF CQ，设 O 到正方形ABCD 一边的距离是d，则1 2(AP AE)d

15、 1 2(BEBQ)d 1 2(CQCF)d 1 2(PDDF)d, S 四边形 AEOP S四边形BEOQ S四边形CQOF S 四边形 DPOF，直线 EF，OM 将正方形 ABCD 面积四等份 (3)存在 ，当 BQCDb 时，PQ 将四边形ABCD 的面积二等份，理由是：如图，连 接 BP 并延长交CD 的延长线于点E，AB CD， A EDP，在 ABP 和 DEP 中， A EDP， APDP， APB DPE， ABP DEP( ASA)， BPEP， 连接 CP， BPC 的边 BP 和 EPC 的边 EP 上的高相等 ，又 BPEP，SBPCSEPC， 作 PF CD，PGB

16、C， 则 BCAB CDDECDCE，由三角形面积公式得：PFPG，在 CB 上截取 CQDE ABa，则 SCQPSDEPSABP， SBPCSCQP SABPSCPESDEPSCQP，即： S四 边形 ABQPS 四边形 CDPQ，BCABCDab，BQ b，当 BQ b 时 ，直线 PQ 将四边 形 ABCD 的面积分成相等的两部分 矩形 【例 1】(2014 枣庄 )如图 ，四边形 ABCD 的对角线AC ，BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点 ，AECF，DFBE. (1)求证： BOE DOF； (2)若 OD 1 2AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结

17、论 证明： (1) DFBE， FDO EBO，DFO BEO， O 为 AC 的中点 ， 即 OA OC，又 AECF， OA AEOCCF，即 OEOF，在 BOE 和 DOF 中 ， FDO EBO， DFO BEO， OEOF， BOE DOF( AAS) (2)若 OD 1 2AC，则四边形 ABCD 是矩形 ，理由为： BOE DOF，OBOD， OA OBOCOD， 即 BD AC，四边形ABCD 为矩形 【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等， 再结合已知条件来证三角形的全等， 是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便 1(2013聊城

18、)如图 ，四边形 ABCD 中 ，A BCD90，BC CD，CEAD ，垂 足为 E.求证： AECE. 证明：过点 B 作 BF CE 于 F， CEAD ， D DCE90， BCD 90， BCF DCE 90 ， BCF D ， 在 BCF和 CDE中 ， BCF D， CED BFC90 ， BCCD， BCF CDE( AAS)， BFCE， 又 A90， CEAD ， BFCE，四边形AEFB 是矩形 ，AEBF， AECE 菱形 【例 2】(2013 黄冈 )如图 ，四边形 ABCD 是菱形 ，对角线 AC，BD 相交于点O，DH AB 于 H，连接 OH，求证： DHO D

19、CO. 证明： 四边形ABCD 是菱形 ，OD OB，COD90，DH AB ，OHOB， OHB OBH ，又 AB CD， OBH ODC，在 Rt COD 中， ODC DCO 90，在 RtDHB 中， DHO OHB 90， DHO DCO 【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关 键 2(2014厦门 )如图 ，在四边形ABCD 中，AD BC，AM BC ，垂足为 M，AN DC， 垂足为 N，若 BAD BCD ，AM AN ，求证：四边形ABCD 是菱形 证明：

20、 AD BC， B BAD 180，D C180 ， BAD BCD ， B D，四边形 ABCD 是平行四边形 ，AM BC，AN DC， AMB AND 90，在 ABM 和 ADN 中， B D， AMB AND 90 ， AM AN， ABM ADN( AAS)， ABAD ，四边形ABCD 是菱形 正方形 【例 3】(2013 毕节 )如图 ，四边形 ABCD 是正方形 ，E，F 分别是 DC 和 CB 的延长 线上的点 ，且 DEBF，连接 AE，AF， EF. (1)求证： ADE ABF ； (2)填空： ABF 可以由 ADE 绕旋转中心 _A_点，按顺时针方向旋转_90_度

21、得到； (3)若 BC8，DE6，求 AEF 的面积 (1)证明：四边形ABCD 是正方形 ，AD AB ，D ABC 90，而 F 是 CB 的 延长线上的点 ， ABF 90，在 ADE 和 ABF 中 ABAD ， ABF ADE ， BFDE， ADE ABF( SAS)(2)A； 90解析： ADE ABF ， BAF DAE ，而 DAE EAB 90， BAF EAB 90， 即 FAE90， ABF 可以由 ADE 绕旋转中心 A 点 ，按顺时针方向旋转90 度得到 ，故答案为： A，90 (3)解： BC8，AD 8，在 RtADE 中，DE 6，AD 8，AEAD 2 DE

22、2 10， ABF 可以由 ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90 度得到 ， AEAF， EAF 90， AEF 的面积 1 2AE 21 210050 【点评】正方形具有四边形、平行四边形、 矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联 系又有区别 ，其各自的性质和判定是中考的热点 3(2014扬州 )如图 ，已知 RtABC 中，ABC 90，先把 ABC 绕点 B 顺时针旋 转 90至 DBE 后，再把 ABC 沿射线平移至FEG， DE，FG 相交于点H. (1)判断线段DE，FG 的位置关系 ，并说明理由； (2)连接 CG，求证：四边形CBEG 是正方形 解： (1)FGED.理

23、由如下：ABC 绕点 B 顺时针旋转90至 DBE 后， DEB ACB ，把 ABC 沿射线平移至FEG， GFE A， ABC 90， A ACB 90， DEB GFE 90， FHE 90，FGED (2)证明：根据旋转和平移可得GEF90 ，CBE90 ，CG EB，CBBE， CGEB， BCG CBE180， BCG 90，四边形BCGE 是矩形 ，CB BE，四边形 CBEG 是正方形 特殊平行四边形综合题 【例 4】(2014 牡丹江 )如图 ， 在 RtABC 中， ACB 90， 过点 C 的直线 MNAB ， D 为 AB 边上一点 ，过点 D 作 DEBC，交直线 M

24、N 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE. (1)求证： CEAD ； (2)当 D 在 AB 中点时 ，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若 D 为 AB 中点 ，则当 A 的大小满足什么条件时， 四边形 BECD 是正方形？请说 明你的理由 (1)证明： DEBC， DFB 90， ACB 90， ACB DFB ，AC DE，MN AB ，即 CEAD ，四边形ADEC 是平行四边形 ，CEAD(2)解：四 边形 BECD 是菱形 ，理由是： D 为 AB 中点 ，AD BD，CEAD ，BD CE， BDCE， 四边形BECD 是平行四边形， ACB 90，D

25、为 AB 中点 ，CDBD ， 四边形BECD 是菱形(3)当 A45时 ，四边形 BECD 是正方形 ，理由是： ACB 90，A45， ABC A45，AC BC，D 为 BA 中点 ，CDAB ， CDB90，四边形 BECD 是菱形 ，四边形BECD 是正方形 ，即当 A45时 ， 四边形 BECD 是正方形 【点评】在判定矩形、 菱形或正方形时，要弄清是在 “四边形 ”，还是在 “平行四边 形” 的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题， 通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法 4(2014随州 )如图 ，在矩形 ABCD 中，M，N 分

26、别是边AD ，BC 的中点 ，E，F 分别 是线段 BM ，CM 的中点 (1)求证： ABM DCM ； (2)填空：当AB AD _12_时，四边形 MENF 是正方形 (1)证明： 四边形ABCD 是矩形 ，AB DC，A D 90，M 为 AD 的中点 ， AM DM ，在 ABM 和 DCM 中 AM DM ， A D， AB DC， ABM DCM( SAS ) (2)1 2解析：当 AB AD 12 时 ，四边形 MENF 是正方形 ， 理由是： AB AD 12，AM DM ，ABCD，AB AM DM DC， A D90， ABM AMB DMC DCM 45， BMC 90

27、，四边形ABCD 是矩形 ， ABC DCB90， MBC MCB45，BM CM，N，E，F 分别是 BC，BM ， CM 的中点 ，BECF，ME MF，NFBM ，NECM ，四边形MENF 是平行四边形， ME MF，BMC 90，四边形MENF 是正方形 ，即当 AB AD 12 时，四边形 MENF 是正方形 ， 故答案为： 12 试题在 ABC 的两边 AB， AC 上向形外作正方形ABEF ，ACGH ，过点 A 作 BC 的 垂线分别交BC 于点 D，交 FH 于点 M， 求证： FM MH. 错解 证明：如图 ， 四边形ABEF 与四边形ACGH 都是正方形 ，AFAB ，

28、AH AC.又 FAH BAC ， AFH ABC ， 5 2. 3 190，3 290， 1 2， 1 5. 1 4， 4 5.AM FM.同理 ，AM MH ，故 FM MH. 剖析上述解法错在将BAC画成了直角 (题中没有这个条件)，从而导致 FAH ， BAC 和1，4 分别成为对顶角，不认真画图 ，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误 正解 证明：分别过F， H 画 FKMD ，HLMD ，垂足为 K，L.四边形ACGH 是正方形 ， AC AH ，CAH 90， 1 290， AD BC， 2 390 ， 1 3.又 HLA ADC 90， AHL CAD ， HLAD. 同理：AFK BAD ， FK AD ， FK HL.又 FMK HML ， FKM HL M 90 ， FMK HML ，FM MH.