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1、5 探索与表达规律 1规律探索 规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数 据变化情况， 并用代数式表示出来规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学 思想探索规律的一般方法是： (1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律； (2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想； (3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点； (4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性 探索规律问题， 要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、 归纳其规律，并取特殊值代入验证 在探索规律的过程中，要善
2、于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果 【例 1】 观察下列数表： 根据数表中所反映的规律，猜想第6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行(n 为正整数 )与第 n 列的交叉点上的数应为_ 解析： 通过观察、分析、比较可知，第1 行与第 1 列的交叉点上的数是1，第 2 行与第 2 列的交叉点上的数是3，第 3 行与第 3 列的交叉点上的数是5，第 4 行与第 4 列的交叉点 上的数是7，,，所以可猜想第6 行与第 6 列的交叉点上的数是11，第 n 行(n 为正整数 )与 第 n 列的交叉点上的数应为2n 1. 答案： 11 2n 1 2探索规律的常见类型及方法 (1)数字规律和
3、代数式规律 常见的几种数字规律形式： (2)新运算的规律 新运算是 指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运 算的顺序 (3)图形规律 探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式 要从不同的角度分析，可用去括号、 合并同类项验证规律 【例 21】 符号“ ”表示一种运算， 它对一些数的运算结果如下：(1) (1)0， (2) 1， (3)2， (4)3，, (2) 1 2 2，1 3 3，1 4 4，1 5 5，, 利用上面的规律计算： 1 2 013 (2 012) 分析： 从(1)中的运算可以看出
4、，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数 减去 1，所以 (2 012)2 011；从 (2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1 的分数时， 运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以 1 2 013 2 01 3. 解： 1 2 013 (2 012)2 0132 0112. 【例 22】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1816 24 , 8n(n 是正整数 )的结果为 ( ) A(2n1) 2 B(2n1) 2 C(n2) 2 Dn 2 解析： 观察图形和下面的式子可以知道，181819 32,1 816 181 825 2,1 8162418182 8372
5、，, ，其规律是：计算的结果是连续奇 数的平方，所以181624 ,8n(2n1)2.故选 A. 答案： A 3探索规律的应用 常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律 (1)探索日历中的规律 在日历中一般我们可以从横行、竖列、 斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角 度去探索 横行：相 邻两数相差1.如左下图所示： 竖列：相邻两数相差7.如右上图所示 斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6. 日历中的33 方框内的规律： 在这 9 个方格中的数的和是中间方框中的数的9 倍 若将中间数设为a，则其余 8 个数可按规律如上图所示，则这9 个数的和
6、即为 (a 8) (a7)(a 6)(a1)a(a1) (a6)(a7)(a 8) 9a，正好是中间数a 的 9 倍 (2)折叠中的规律 将一张纸折叠， 每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数， 将这些数记录下来，找出规律， 就可预测当折叠n 次后，相应的层数与折痕数 折叠次数： 1,2,3,4,5，, ，n. 层数： 2,4,8,16,32，, ，2n. 平行对折的折痕数： 1,3,7,15,31， , ， 2 n1. _ _ _ _ _ _ 【例 31】 2013 年的元宵节是阳历2 月 24 日，根据下面的日历，你知道春节和初夕 分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上： 春节： 2 月_日，除
7、夕： 2月 _日 解析： 根据日历中竖列和横列的规律可以求出如图， 春节与元宵节在同一竖列中，根 据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少 14，即 2414 10，春节是 10 日，根据横 列中相邻相差1 的规律，可知除夕是9 日 答案： 10 9 【例 32】 将连续的偶数2,4,6,8，, 排列成如右图所示的数表 (1)“十”字框内5 个数的和，与框内中间的数18 有什么关系？ (2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5 个数，这5 个数还有这样的规律 吗？ (3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5 个数之和 分析： 观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相
8、差12.再换另一组数， 同样有这样的规律 解： (1)61618 203090，而 90 185，所以框内5 个数的和是框内中间的数 18 的 5 倍 (2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律 (3)若中间的数为a，则框住的5 个数分别为a12， a2，a，a2，a12，其中 a 为 偶数，故它们的和为(a12)(a 2) a(a2) (a 12)5a. 【例 33】 如果将一张长方形的纸，平行对折7 次，展开后，会有_ _条平行 折痕，折痕会把这张长方形的纸分成_个小长方形 解析： 根据折叠中的规律：对折7 次，即当n7 时，平行折痕数为2n1271 127(条),1 条折痕能把长方形分成2 个小长方形， 2 条能分成3 个，, ， 127 条折痕 则分成 128 个小长方形 答案： 127 128