IIR数字滤波器要点.pdf

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1、I IIR 低 通 数 字 滤 波 器 设 计 院系：信院电子系 专业：电子信息工程 学号 姓名 I 目录 摘 要. 2 第 1 节 IIR数字滤波器的设计. 3 1.1 IIR数字滤波器的主要技术指标. 4 1.2 IIR数字滤波器的设计过程. 4 1.3 双线性变换法设计IIR 数字滤波器 5 第 2 节 IIR数字滤波器的实现. 6 2.1 切比雪夫数字滤波器的设计 6 结 论 12 致 谢 13 参考文献 . 14 2 摘要 数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化 和网络化的基础， 实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、 电视信号等 等。上述这些信号大

2、部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。 模拟信号是自变 量的连续函数， 自变量可以是一维的， 也可以是二维或多维的。 数字滤波器技术 是数字信号分析、处理技术的重要分支。无论是信号的获取、传输，还是信号的 处理和交换都离不开滤波技术， 它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要 的。在所有的电子系统中， 使用最多最复杂的要算数字滤波器了。数字滤波器是 数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外，还有灵活性强、 稳定性好、 滤 波精度高等优点。 3 第 1 节 IIR 数字滤波器的设计 1.1 IIR 数字滤波器的主要技术指标 在设计 IIR 数字滤波器之前， 首先了解数字滤波器的技术指标，才能

3、将其转 化成满足要求的模拟滤波器技术指标，再将模拟滤波器转化成数字滤波器。数字 滤波器的主要技术指标为： (1) 特征频率参数滤波器的频率参数主要有： 通 带截止频率/ 2 pp f：为通带与过渡带的边界点，在该点信号增益到规定的 下限。阻带截频/2 rr f：为阻带于过渡带的边界点，在该点信号衰减到规 定的下限。转折频率/2 cc f：为 信号功率衰减到1/ 2(约为 3dB) 时的频 率，但在多数情况下也常以 c f 作为通带或阻带截频。 当电路没有损耗时， 固有 频率/ 2f，就是其谐振频率。 (2) 增益和衰减滤波器在通带内的增益并 不是常数。对低通滤波器来说，通带增益 p K一般指0

4、时的增益；对于高通 而言，通带增益 p K指时的增益；对于带通而言，通带增益 p K则指中心频 率处的增益。对带阻滤波器而言，应给出阻带衰减，衰减定义为增益的倒数。 通带增益变化 p K指通带内各点增益的最大变化量，如果 p K以dB为单位， 则指增益 dB值的变化量。(3) 阻尼系数与品质因数 阻尼系数是表征滤波器对 角频率为信号的阻尼作用，同时是滤波器中表示能量衰减的一项重要指标， 也是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。阻尼系数的倒数1/称为品 质因数 Q ，是评价带通和带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，它可以表示 为 Q。其中为带通或带阻的 3dB带宽， 为中心频率，在多数情况

5、 下中心频率等于固有频率。 1.2 IIR 数字滤波器的设计过程 IIR 数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法 4 进行。其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。 这种方法比较容易一些， 因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整 的设计公式， 还有完善的图表供查阅； 另外一种直接在频率或者时域内进行，由 于需要解联立方程， 设计时需要计算机做辅助设计。其设计步骤是： 先设计过渡 模拟滤波器得到系统函数)(sH a ，然后将)(sH a 按某种方法转换成数字滤波器的 系统函数)(zH。 利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR 数字滤波器的过程

6、是： (1) 确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率 p、通带最大衰减p、 阻带截止频率 s、阻带最小衰减s。(2) 将数字低通滤波器的技术指标转换成相 应的模拟低通滤波器的技术指标。(3) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡 模拟低通滤波器。 (4) 用所选的转换方法，将模拟滤波器)(sH a 转换成数字低通 滤波器系统函数)(zH。 IIR 数字滤波器的设计流程图如下： 图 1.1 IIR数字滤波器的设计步骤流程图 )(ZfS 数字滤波器 技术指标 模拟滤波器 技术指标 数字滤波器 )(ZH 模 拟 滤 波 器 )(SHa 模拟滤波器 设计方法 变换 )(g 变换 5 1.3 双线性

7、变换法设计IIR 数字滤波器 一设计原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从 S平面 到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点， 可以采用非线性频率 压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/ T/ T 之间，再用z=e sT 转 换到 Z 平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的 - / T / T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=e s1T 将此横带变换到整个Z 平 面上去。这样就使 S平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换 性，也就消除了频谱混叠现象，为了将S 平面的整个虚轴j 压缩到 S1 平面 j 1

8、轴上的 -/ T 到/ T段上，可以通过以下的正切变换实现 2 tan 2 1T T 式中, T 仍是采样间隔。 当1 由-/ T 经过 0 变化到 / T时，由- 经过 0 变化到 +，也即映射了整个j 轴。将式（ 2-6）写成 2/2/ 2/2/ 11 1 . 2 TjTj TjTj ee ee T j 将此关系解析延拓到整个S平面和 S1平面，令 j =s，j 1=s1，则得 Ts Ts TsTs TsTs iii ii e e T Ts Tee ee T s 1 1 . 2 2 tanh 2 . 2 1 1 2/2/ 2/2/ 再将 S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面 Ts e

9、z1 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为： 1 1 1 12 z z T s s T s T s T s T z 2 2 2 1 2 1 这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换 6 式与式的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先, 把 z=e j，可得 j T j e e T s j j 2 tan 2 1 12 即 S平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆。 其次，将 s=+j 代入式（ 2-12），得 j T j T z 2 2 因此 2 2 2 2 2 2 T T z 由此看出，当 0 时，| z|1 。也就是说， S 平面的左 半平面映射到 Z 平面的单位圆内

10、， S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外， S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换 后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 第 2 节 IIR 数字滤波器的实现 2.1 切比雪夫（ Chebyshev ）数字滤波器的设计 切比雪夫型滤波器在通带内幅度特性是等波纹的，在阻带内是单调的。 切 比雪夫滤波器在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。 切比雪夫型低通滤 波器的幅度平方函数为： 7 )(1 1 )( 22 2 c N a j j C jH 上式结果是一个正实数，式中的是一个小于 1 的正数，它与通带的波纹有 关，越大，波纹越大， c为通带的截止频率， ( ) N

11、 Cx时 N 阶切比雪夫多项式， 定义为： 1)(coscos( 1)( 1 1)( xxN xxNchch N xC 切比雪夫滤波器的传递函数参数确定：， c，N。当 N 大于或等于 1 时， 切比雪夫多项式递推公式为： )()()( 11 xCxNCxC NNN 切比雪夫滤波器的阶数N 等于通带内等幅波动的次数，即最大值和最小值 的总数，可由下式确定 0.10.5 (101) p A ， 0.10.5 (101) s A 其中,均为与衰减有关的参数，Ap为通带内的最大衰减， As 为阻带内的 容许衰减，它们的单位为dB。 因为滤波器的幅度平方函数为： 2 22 2 1 1 )(1 1 )(

12、 c N a j j C jH 进而化简得到：() N c j C j ，又因为 (/)1 c ，由式 (4-7)得到： )/(/j 1 ccN jjNchchjC）（ 8 故滤波器的阶数 N 为： )( )( 1 1 e ch ch N 若要求阻带截止频率上的衰减越大，或过渡带内幅度特性越陡， 则所需的阶 数 N 越高。从式中可知切比雪夫滤波器的幅度平方函数也只有极点没有零点， 且只需求出左半平面的极点，所以一旦求出， c，N，就能确定 ( ) a Hs。 利用 MATLAB 设计切比雪夫滤波器的实例。 A、现在以 MATLAB 的函数 cheblap(语法： z,p,k=cheblap(n

13、，rp)，其中 n 为阶数， rp 为通带的幅度差， z,p,k 分别代表零点，极点，增益)为工具设计切 比雪夫滤波器。设计技术指标为：通带截止频率 4 10/ c rads，通带的最大 衰减3 p AdB，阻带截止频率 4 4 10/ s rads，阻带的最小衰减35 s AdB 。 程序如下： a=10000;b=40000;AP=3;AS=35; %技术指标 T1=sqrt(10(0.1*AP)-1); T2=sqrt(10(0.1*AS)-1); N=ceil(acosh(T2/T1)/acosh(b/a); %求阶数 Z,P,K=cheb1ap(N,AP); %求零、极点，增益 sy

14、ms rad; %定义基本符号对象 hs1=K/(i*rad-P(1)/(i*rad-P(2)/(i*rad-P(3); hs2=10*log10(abs(hs1)2); ezplot(hs2,-15,15); %绘制符号表达式的二维曲线 grid on; %画坐标网格线 仿真图形如图 1.2所示： 9 -15-10-5051015 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 rad 8014398509481984 - (1017604581116467 i)/1125899906842624) 2 abs(rad i + 2689731717386215/18014

15、 图1.2 切比雪夫型带通滤波器响应曲线 B、实际上利用 MATLAB 的cheby1 函数设计出切比雪夫 I型低通的模拟滤波 器，然后采用变换的方法得到数字的高通、低通、带通和带阻滤波器。利用 b,a=cheby1(n,Rp,Wn,ftype)方式设计出阶数为 n、截止频率为 Wn、带通波纹 最大衰减为 Rp 的数字低通滤波器。其中参数ftype 的形式决定了滤波器的形式， 当它为 high时得到滤波器为 n 阶的、截止频率为 Wn 的高通滤波器。若 Wn 是一个含有两个元素向量w1 w2，则cheby1 函数返回值是阶数为 2n 的带通滤 波器，滤波器的系统函数有理多项式的系数，通带范围是

16、w1Ww2。利用 MATLAB 中的 cheby2 设计各种形式的滤波器的方法和利用cheby1 设计滤波器 的方法相同， 只是cheby2 设计出的滤波器在带阻是等波纹的，在带通是单调的； 而cheby1 则恰好相反。 对于采样频率为 1000 Hz 的采样信号，设计一个阶数为 9 阶、截止频率为 300 Hz 的低通 chebyshevII 数字滤波器，其中滤波器在带阻的波纹为20 db，其设计 程序如下，频率响应如图1.3 程序如下： b,a=cheby2(9,20,300/500); freqz(b,a,512,1000); 10 仿真图形如图 1.3 所示： 050100150200

17、250300350400450500 -400 -200 0 200 Frequency (Hz) P h a s e ( d e g r e e s ) 050100150200250300350400450500 -80 -60 -40 -20 0 Frequency (Hz) M a g n it u d e ( d B ) 图1.3 切比雪夫低通 II 数字滤波器 对于采样频率为 1000 Hz 的采样信号，设计一个阶数为 9 阶、 截止频率为 300 Hz 的低通cheby1 数字滤波器，其中滤波器在带通的波纹为20db，其设计程序如 下，频率响应如图 1.3 程序如下： b,a=c

18、heby1(9,20,300/500); freqz(b,a,512,1000); 仿真图形如图 1.4所示： 11 050100150200250300350400450500 -1000 -500 0 Frequency (Hz) P h a s e ( d e g r e e s ) 050100150200250300350400450500 -400 -300 -200 -100 0 Frequency (Hz) M a g n it u d e ( d B ) 图 1.4 切比雪夫低通I 数字滤波器 从仿真图像可以看出， 所设计的滤波器技术指标都基本达到要求，滤波器的 设计是成功的

19、。 12 结 论 通过对数字滤波器的设计，熟悉了MATLAB 的运行环境，初步掌握了MATLAB 语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用；熟悉了滤 波器设计的一般原理， 对滤波器有了一个感性的认识； 学会了数字滤波器设计的 一般步骤；加深了对滤波器设计中产生误差的原因以及双线性变换法优缺点的理 解和认识。 总之，使理论联系了实际， 巩固并深化了对课本基本知识的认识和理 解，使理论得以升华。 13 致 谢 本论文是在赵春雨老师的支持悉心指导下完成的。她严肃的科学态度， 严谨 的治学精神， 精益求精的工作作风， 深深地感染和激励着我。 从课题的选择到项 目的最终完成， 令老师

20、都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向赵老师 致以诚挚的谢意和崇高的敬意。 我还要感谢在一起讨论的室友， 正是由于你们的帮助和支持， 我才能克服一 个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。 在论文即将完成之际， 我的心情无法平静， 从开始进入课题到论文的顺利完 成，各位可敬的师长、同学、朋友给了我太多精神的鼓舞和学术上的帮助，再次 表示衷心感谢 ! 14 参考文献 1 倪养华数字信号处理与实现上海：上海交通大学出版社，1998 2 飞思科技产品研发中心 MATLAB7 辅助信号处理技术与应用 北京：电 子工业出版社， 2005 3 楼顺天 基于 MATLAB 的系统分析与设计一信号处理西安：西安电子 科技大学出版社， 1998. 4 张葛祥 MATLAB 仿真技术与应用 北京：清华大学出版社， 2003 5 胡广书数字信号处理、理论、算法与实现M 北京：清华大学出版 社，1997 6 陈希林 一种 LabWindows/CVI与 MATLAB 混合编程的实现方法 J.微计 算机信息 ，2005 7 刘波MATLAB 信号处理 北京：电子工业出版社，2006 8 施阳 MATLAB 语言工具箱西安：西北工业大学出版社，1999 9 高西全 数字信号处理 西安电子科技大学出版社第三版， 2008