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1、第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识能否忆起 一、简单的逻辑联结词 1用联结词“且”联结命题p 和命题 q，记作 pq，读作“ p 且 q” 2用联结词“或”联结命题p 和命题 q，记作 pq，读作“ p 或 q” 3 对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题， 记作 綈 p， 读作“非p”或“ p 的否定” 4命题 p q，pq，綈 p 的真假判断： pq 中 p、q 有一假为假， pq 有一真为真， p 与非 p 必定是一真一假 二、全称量词与存在量词 1全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“? ”表示 (2)含有全称量词的命题
2、，叫做全称命题 (3)全称命题“对M 中任意一个x， 有 p(x)成立”可用符号简记为? xM， p(x)， 读作“对 任意 x 属于 M，有 p(x)成立” 2存在量词与特称命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“? ”表 示 (2)含有存在量词的命题，叫做特称命题 (3)特称命题“存在M 中的一个x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为? x0M，P(x0)，读 作“存在M 中的元素x0，使 p(x0)成立” 三、含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定 ? xM，p(x)? x0M，綈 p(x0) ? x0M，p(x0) ? xM，綈 p(x) 小题
3、能否全取 1(2011 北京高考 )若 p 是真命题， q 是假命题，则() Apq 是真命题Bp q 是假命题 C綈 p 是真命题D綈 q 是真命题 答案： D 2(教材习题改编)下列命题中的假命题是() A? x0R，x0 1 x02 B? x0R，sin x0 1 C? xR，x 20 D? xR,2 x0 答案： C 3(2012 湖南高考 )命题“ ? x0?RQ，x 3 0Q”的否定是 ( ) A? x0?RQ，x 3 0Q B? x0?RQ，x3 0?Q C? x?RQ，x 3Q D? x?RQ，x3?Q 解析： 选 D其否定为 ? x?RQ，x 3?Q. 4(教材习题改编 )命
4、题 p：有的三角形是等边三角形命题綈 p：_. 答案： 所有的三角形都不是等边三角形 5命题“ ? x0R,2x 2 03ax093x，B 不正确；对于 C，易知 3 x 0，因此 C 正确；对于 D，注意到lg 1 0， 因此 D 正确 答案 B 由题悟法 1全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x，证明p(x) 成立； (2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值xx0，使 p(x0) 不成立即可 2特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个xx0，使 p(x0)成立 即可
5、，否则这一特称命题就是假命题 以题试法 2(2012 湖南十二校联考)下列命题中的真命题是() A? x0R，使得 sin x0cos x0 3 5 B? x0(， 0)， 2x01 C? xR，x 2x1 D? x(0， )， sin xcos x 解析： 选 C由 sin xcos x 3 5，得 sin 2x 6 51，故 A 错误；结合指数函数和三角函数的 图象，可知B，D 错误；因为x2x1 x 1 2 23 40 恒成立，所以 C 正确 全称命题与特称命题的否定 典题导入 例 3(2013 武汉适应性训练)命题“所有不能被2 整除的整数都是奇数”的否定是 () A所有能被2 整除的
6、整数都是奇数 B所有不能被2 整除的整数都不是奇数 C存在一个能被2 整除的整数是奇数 D存在一个不能被2 整除的整数不是奇数 自主解答 命题 “ 所有不能被2 整除的整数都是奇数”的否定是 “存在一个不能被2 整除的整数不是奇数”，选 D. 答案 D 若命题改为“存在一个能被2 整除的整数是奇数”，其否定为_ 答案： 所有能被2 整除的整数都不是奇数 由题悟法 1弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提 2注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定 3要判断“ 綈 p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“ p” 的真假， p 与綈 p 的真 假相反 4常见
7、词语的否定形式有： 原语 句 是都是 至少有 一个 至多有一 个 对任意 xA 使 p(x)真 否定 形式 不 是 不都 是 一个也 没有 至少有两 个 存在 x0A 使 p(x0)假 以题试法 3(2012 辽宁高考 )已知命题p：? x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，则 綈 p 是 () A? x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 B? x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 C? x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0， a 2 b22ab (ab)2 C? a0，b0， a 2 b22ab (ab)2 D? a，bR，a 2b22
8、ab(ab)2 解析： 选 D全称命题含有量词“? ”，故排除A、B，又等式a 2b22ab(ab)2 对于全体实数都成立，故选D. 2(2012 山东高考 )设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 2 ；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直线x 2对称则下列判断正确的是 () Ap 为真Bq 为真 Cpq 为假Dp q 为真 解析： 选 C命题 p，q 均为假命题，故p q 为假命题 3(2013 广州模拟 )已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是() A(綈 p)qBp q C(綈 p)(綈 q) D(綈 p)(綈 q) 解析
9、： 选 D不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以綈 p 为假命题， 綈 q 为真命题，所以(綈 p)(綈 q)为真命题 4下列命题中，真命题是() A? mR，使函数 f(x)x 2mx(xR)是偶函数 B? m R，使函数f(x)x 2mx(x R)是奇函数 C? m R，函数 f(x)x 2mx(xR)都是偶函数 D? mR，函数 f(x)x 2mx(xR)都是奇函数 解析： 选 A由于当 m0 时，函数 f(x) x 2 mxx2 为偶函数，故“? mR，使函数 f(x)x 2mx(xR)为偶函数”是真命题 5(2012 福建高考 )下列命题中，真命题是() A? x0R，ex
10、00 B? xR,2 x x2 Cab0 的充要条件是 a b 1 Da1，b1 是 ab1 的充分条件 解析： 选 D因为 ? x R，e x0，故排除 A；取 x2，则 2222，故排除 B；ab 0， 取 ab0，则不能推出 a b 1，故排除 C. 6(2012 石家庄质检 )已知命题p1： ? x0R，x 2 0x012，则 綈 p： ? xR，均有 x 1 x2 B“ x1”是“ x 23x 20”的充分不必要条件 C命题“若x 23x 20，则 x1”的逆否命题为：“若 x1，则 x23x 20” D若 pq 为假命题，则p， q均为假命题 解析： 选 D显然选项A 正确；对于B
11、，由 x1 可得 x23x20；反过来，由x2 3x 20 不能得知x1，此时 x 的值可能是2，因此 “x1”是“x 23x20”的充分不 必要条件，选项B 正确；对于C，原命题的逆否命题是：“若 x 1，则 x 23x20” ， 因此选项 C 正确；对于D，若 p q 为假命题，则p，q 中至少有一个为假命题，故选项D 错 误 8(2013 石家庄模拟 )已知命题p：? x1,2，x 2 a0，命题 q：? x0R， x 2 0 2ax0 2a0，若“ p 且 q”为真命题，则实数a 的取值范围是 () Aa1 或 a 2 B a 2 或 1a2 Ca1 D 2a1 解析： 选 A若命题
12、p：? x 1,2 ，x2a0 真，则 a 1. 若命题 q：? x0 R，x 2 02ax02a0 真，则 4a 2 4(2a)0，a1 或 a2， 又 p 且 q 为真命题所以a1 或 a2. 9命题“存在x0R，使得 x 2 02x0 50”的否定是 _ 答案： 对任何 xR，都有 x22x50 10已知命题p：“ ? x N *，x1 x”，命题 p 的否定为命题q，则 q 是“_”；q 的真假为 _(填“真”或“假”) 解析： q：? x0 N*，x0 1 x0，当 x 01 时， x0 1 x0成立，故 q 为真 答案： ? x0N *， x 0 1 x0 真 11若命题“存在实数
13、x0，使 x 2 0 ax010，解 得 a2 或 a0.则命题“ p (綈 q)”是 假命题； 已知直线l1：ax3y1 0，l2：xby10，则 l1l2的充要条件是 a b 3； “设 a、bR，若 ab2，则 a2b24”的否命题为：“设 a、bR，若 ab4” 的否命题为： “设 a、b R，若 ab0，则 a 与 b的夹角为锐角；命题q：若函 数 f(x)在 (， 0及 (0， )上都是减函数，则f(x)在(， )上是减函数下列说法 中正确的是 () A“ p 或 q”是真命题B“ p 或 q”是假命题 C綈 p 为假命题D綈 q为假命题 解析： 选 B当 a b0 时， a 与
14、b的夹角为锐角或零度角，命题p 是假命题；命题 q 是假命题，例如f(x) x 1，x0， x2，x0， 综上可知，“p 或 q”是假命题 3已知命题p：“ ? x0R,4x02x0 1m0”，若命题 綈 p 是假命题，则实数 m 的 取值范围是 _ 解析： 若綈 p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程 4x2 2xm0 有实数解， 由于 m (4 x2 2x) (2x1)21 1， m1. 答案： (， 1 4下列四个命题： ? x0R，使 sin x0cos x02；对 ? x R， sin x 1 sin x2；对 ? x 0， 2 ，tan x 1 tan x2； ? x0R，
15、使 sin x0cos x0 2. 其中正确命题的序号为_ 解析： sin xcos x2sin x 4 2，2 ； 故 ? x0 R，使 sin x0cos x02 错误； ? x0 R，使 sin x0 cos x02正确； sin x 1 sin x2 或 sin x 1 sin x2， 故对 ? x R，sin x 1 sin x2 错误； 对 ? x0， 2 ， tan x0， 1 tan x0，由基本不等式可得 tan x 1 tan x2 正确 答案： 5 设命题 p： 实数 x 满足 x 2 4ax3a20， 命题 q： 实数 x 满足 x 2x60， x 22x80. (1)
16、若 a1，且 pq 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围 解： (1)由 x24ax3a20，所以 a0， 解得 2x3， x2， 即 23 ， 因为 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， 所以 AB. 所以 03，即 12 或 a2，或 a0 的解集是xxb a ，命题 q：关于 x 的不等式 (x a)(xb)0， x1x20， 即 m 240， m0. 解得 m2，即 p： m2. 若方程 4x 24(m2)x10 无实根， 则 16(m2) 21616(m24m 3)2， m1或m 3 或 m2， 1m3. 解得 m3 或 1m 2. m 的取值范围是(1,2 3， )