《抽象代数基础+》完整习题解答.docx

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1、抽象代数基础习题解答于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月第一章群论1代数运算1. 设/= e, a,b, c, /上的乘法“ ”的乘法表如下:,eahceeabcaaecbbhceaccbae证明：“ ”适合结合律.证明 设为/中任意三个元素.为了证明“ ”适合结合律，只需证明(x-z=x-(y-z).下面分两种情形来阐明上式成立.1. y, z中至少有一个等于e.当=6*时，x-y)-z=y-z=x-y-z)当y=。时，x-y)-z=x-z=x (y-z);当 z =仃时，(.r,)z= xy = -T(丿八z).II. x, ”, z都不等于g.()x=y= z.这时,(x-y)

2、- z= e-z= z=x= x-e=x-(y-z).(II) .r, z两两不等.这时，xy)Z=ZZ = e=XX=XyZ.(III) 羽乂 z中有且仅有两个相等.当=大时，才和z是么*d中的两个不同元素，令表示W、bq中其余的 那个元素.于是，() -z=e-z=z, x (y-z) = x i/ = z,从而，(ry)-z=xy z). 同理可知，当*=2或2=-了时,都有(.r-=2. 设“ ”是集合,上一个适合结合律的代数运算.对于/中元素，归纳定义 山为:f=xr+1( f 、,n=ru妇Ml =1证明:a， n% =fl/ /=!)谷I 进而证明：在不改变元素顺序的前提下，/中

3、元素的乘积与所加括号无关. 证明 当，=1时，根据定义，对于任意的正整数，等式成立.假设当=时，对于任意的正整数，等式成立.当/ = /-+1时，由于“ ”适合结合律,我们有佃顺小jru j=ru=nr=!)&/=!所以，对于任意的正整数和7,等式成立.考察/中任意()个元素：当23时，要使记号 a、a“变成有意义的记号,必需在其中添%口一些括号规定运算次序.现在我 们来阐明:在不改变元素顺序的前提下，无论怎样在其中添加括号，运算结果总是 等于r=事实上，当 =1或 =2时，无需加括号，我们的结论自然成立.当 =3时，由 于“ ”适合结合律，我们的结论成立.假设当/(/!)时我们的结论成立.考

4、察 n=rJr的情形：不妨设最后一次运算是a，b ,其中v为，外,？中前 s(ls)个元素的运算结果，方为，角，,q中后-s个元素的运算结果.于 是，根据归纳假设，“=11弓，=1!皿.z=l上1所以最终的运算结果为。，7=1 丿/=!3. 设Q是有理数集.对于任意的a,心,令a.b=a槌,证明：“ ”是Q上 的一个代数运算，它既不适合结合律也不适合交换律.证明 众所周知，对于任意的“McQ, ，=+岁cQ.所以“ ”是Q上的 一个代数运算.令。=0,力=1,。=2.由于(z7-)-c=(0-1)-2 = 1-2 = 1 + 22=5, r7-(-r) = 0-(l-2) = 0-5 = 0

5、+ 52 = 25, 从而，所以“ ”不适合结合律.由于c，= 21 = 2 + F=3,.从而,b，gc，b.所以“ ”不适合交换律.2群的概念1.证明a,b ,c,d cZU 丿关于矩阵的加法构成一个群.证明 首先，众所周知，G-0, ABjG, W,BwG,由于矩阵的加法适合 结合律，。上的加法适合结合律.其次，令，则gG，并且 Q+ A= /+=/,必 G.最后,对于任意的/=(；：)泌，令-=(二：)， 则- Nc 6且/+ (-勿=(-4) + /- .所以6关于矩阵的加法构成一个群.2.令 6=(0肽W If证明：。关于矩阵的乘法构成一个群.证明 将记作，并将6中其余三个矩阵分别

6、记作,C.于是，6上的乘法表如下：E A B CEE A B CAA E C BBB C E ACC B A E由于矩阵的乘法适合结合律，G上的乘法适合结合律.从乘法表可知， EX=XE=X, XX=E, PX,YwG.所以G关于矩阵的乘法构成一个群.3.在整数集Z中，令ab = a+b-l., Va,bC 证明：Z关于这样的乘法构成 一个群.证明 对于任意的a,b,c&Z,我们有(7-/t)-c = (a + A-2)-c = (a+/j-2) + c-2 = a + A + c-4,7-(-r) = 7-(+r-2) = 7 + (+r-2)-2 = z7+r-4,从而(a,砰c=a，g.

7、这就是说，该乘法适合结合律.其次，2eZ,并且对于任 意的界Z,我们有所以Z关于该乘法构成一个群.4. 写岀金的乘法表.解 = (1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(13 2), 的乘法表如下:(12)(1 3)(2 3)(12 3)(13 2)(1)(1 2)(1 3)(2 3)(12 3)(13 2)(12)(12)(1)(13 2)(12 3)(2 3)(13)(13)(13)(12 3)(1)(13 2)(12)(2 3)(2 3)(2 3)(13 2)(12 3)(1)(13)(12)(12 3)(12 3)(1 3)(2 3)(12)(13 2)(1)(13

8、 2)(13 2)(2 3)(1 2)(13)(1)(12 3)5. 设(&)是一个群,证明：“ ”适合消去律. 证明 设a,b,ccG.第a,b = ac,则b= e b=(fx d)b=ax a /) = ax -(a-c) = (al a) c= e-c= c.同理，若b、a = c、a,则缶c这就表明,“ ”适合消去律.6 .在5；中，令fl 2 345) fl 2 345) /=2 3 154丿，”1 3 452)求原此和广，解我们有。2 345)( 2 345), ( 2 345、衣=|,2 I 543 = 3 4 125 尸=3 1 2547.设求解我们有 =（4/；）.8-设/

9、是任意一个置换，证明：./（ /；广=（/1矽/（，）/（4）.证明 事实上，易见,/P；）,/（必,，/（弓）是1,2,.,中的左个不同的数字. 由直接计算可知，（/（/； 4 力）广）W）=/S），9-1 ；（/（，/公广）（/（4）=/0）其次，对于任意的 7G 1, 2, 27 /（/；）,/（/；）,/（/,）, / 在/（桓。）广之下的像是，本身.所以/（ i2 ）广=（/0）/0）-/（。）.9. 设5是一个非空集合,“ ”是5上的一个代数运算，若“ ”适合结合律，则 称（S, ）是一个半群（或者称$关于“ ”构成一个半群）.证明：整数集Z关于乘法 构成一个半群，但不构成一个群.

10、证明 众所周知，Z是非空集合，对于任意的a,beZ,总有a S,并且整 数乘法适合结合律，所以Z关于乘法构成一个半群.其次，令e= 1 .于是，对于任意 的心Z,总有e-a= a、e= 但是，OwZ,并且不存在症Z,使得b=e.所以Z关于乘法不构成一个群.10. 设，是一个非空集合，5是由/的所有子集构成的集合.则集合的并 “U”是5上的一个代数运算.证明：（S,U）是一个半群.证明 众所周知，对于任意的X.Y.ZS,总有（*UDUZ=*U（/U这就是说，5上的代数运算“U”适合结合律，所以（U）是一个半群.注 请同学们考虑如下问题：设/是一个非空集合，S是由/的所有子集构 成的集合.定义S上

11、的代数运算“ ”（称为对称差）如下：払尸=（*r）U（八册，Ze s.求证：（）是一个交换群.11. 令a,b,c,d&z .证明5关于矩阵的乘法构成一个半群. 证明 众所周知，对于任意的A,B,CcS,总有ABcS,侦B）C=BC）.这就是说,矩阵的乘法是5上的一个代数运算，并且适合结合律，所以5关于矩阵 的乘法构成一个半群.12. 设（S, ）是一个半群，ec S称为5的一个左（右）单位元，如果对于任意的 oe5都有e,a = a （ae=a）.对于aeS,如果存在力使h-a = e （a-h=e,则 称左（右）可逆的，万是的一个左（右）逆元假设S有左（右）单位元e且$中每 个元素都有关于

12、e的左（右）逆元.证明：（ ）是一个群.证明 设“是S中任意一个元素.任取心,使得a、b=e.再任取re，使 得b c=e.于是,我们有因此a-b= e= b-a.所以 由以上两式可知，e是单位元，5中每个元素都有逆元方.所以（$,）是一个群. 对于S有左单位元g且5中每个元素都有关于e的左逆元的情形，请同学们 自己证明.13. 设6是一个群,证明：（atif =而、Pa,bcG.证明 对于任意的agG,我们有（泌）（/&） = aeax = aa = e,（泌）=（d d）b = If eb= b= e.所以（泌）Va,bwG.16. 设。是一个群，证明:。是交换群的充要条件是（泌）2=丿庆

13、，VagG.证明 必要性是显然的.现在假设6满足该条件.于是，对于任意的 SG, 我们有（泌尸=&计,即abab =aabb.运用消去律（第5题）立即可得ab = ba.所以 。是交换群.17. 设。是一个群.假设对于任意的“c 6都有f=e,证明：6是交换群.证明我们有（。力）2 =e=ee= a2A2, Va, bcG.由上题知，6是交换群.18. 设。是非空集合，“ ”是G上的一个代数运算且适合结合律.（1）证明：（。）是一个群当且仅当对于任意的a,b&G,方程a、x=b和 ya = b在6中都有解.（2）假设6是有限集，证明：（G ）是一个群当且仅当“ ”适合消去律.证明（1）当（。）

14、是一个群时，显然，对于任意的a,heG, x=a-、b是方程 a，x= b的解，y=bdx是方程y、a = b的解.现在假设对于任意的a,bw 6,方程a、x=b,y,a = b在6中都有解.任取G， 考察方程ax=a.根据假设，方程ax=a有解设力是。中任意一个元素， 考察方程尸=力.根据假设，方程y,a = b有解y=c G.于是,我们有 b、e=（c、ay、e=c，（a） = ca = b.由于bwG的任意性，上式表明g是半群（G）的一个右单位元.再考察方程 a,x=e.根据假设，方程_r=e有解& G.由于心6的任意性，这表明6中每 个元素关于右单位元e都有右逆元.所以（G, ）是一个

15、群.（2）当（6,）是一个群时，根据第5题，“ .”适合消去律.现在假设 ，弓,并且“ ”适合消去律.任取沱1,2,考察方程.*=/.由于“ ”适合左消去律，因此久必出现于乘法表的第，行中.这就意味 着存在ye 1,2,/,使得,3/ =刃，从而方程arx=ai在6中有解.同理，由于 “ ”适合右消去律，方程a在6中有解.这样一来，根据（1）, （G ）是一个 群.X19. 证明命题2. 8中的表示法在不计循环置换的顺序的意义下是唯一的.注注宜将这道题表述成证明:在不计循环置换的顺序的意义下，在用命题 2. 8中的证明中所说的方法将一个置换“S表示成两两不相交的循环置换的乘 积时，表达式是唯一

16、的”.证明 显然，当/是单位置换时，表达式就是/=/.不妨设/不是单位置 换，f=fxfi/和/=g母务都是在用命题2. 8中的证明中所说的方法将置 换表示成两两不相交的循环置换的乘积的表达式.于是，两两 不相交，&,g,，嬴两两不相交，而且它们的阶都大于或等于2 .考察任意的 /（!/）：设/ =（，； ，；）由兀和 f=g gi g,.可知，存在/ （1/v）,使得幻=以，4 w /；,刀,.不妨设/；如.由U /和/=&务幻可知，s=/并且4=刀，1,2,从而，/ = &由于f，Jz，,fu两两不相交，务，gz，g,两两不相交，并且不计 循环置换的顺序,不妨设/ = &, Wcl,2,，

17、假设 v,则f=g务&，由此可见，当 /卩时，幻必与&,务,，幻中某一个相交.这与我们的假设矛盾. 所以 =V.这就表明，/=g g2 &.和f=g gi务是同一个表达式.3子群1. 设G= 6Z/P）是数域P上的级一般线性群，是6的由全体阶可逆的 对角矩阵组成的子集，证明：是6的子群.证明众所周知，非空,并且有4B, 4 e H,其中g表示矩阵/与矩阵的乘积，4,表示矩阵/的逆矩阵.所以是。的子 群.2. 设G是一个群，是6的非空子集，证明:是6的子群的充分必要条件 是a& e H, Pa,bwH.证明 由定理3. 3可知，当是6的子群时，”满足条件.假设满足条件.对于任意的a,EH,我们有

18、e= ad g H.因为满足条件，由 e,a, he.夕可fel, ax = ea w H、& = e5 e. H.因为 满足条件，由a、F g 可知汕=成5”,总而言之 对于任意的a,bcH,我们有 ab,/ H,根据定理3. 3, 是（7的子群.3. 设是群6的子群，蔘G,证明：aHax= aha hcH也是6的子群（称 为的一个共貌子群）.证明 显然，*是G的非空子集.设A，AeaH 于是，存在如必w ， 使得4 = ah、/, b、= ah0.因此bb； = （ah、a ）（a/2a ）_，=ah、a-ah；d =成c aHdx. 所以物广是G的子群.4. 设。是交换群，0为整数，令H

19、=aGan = e,证明：是。的子群.证明 显然 3 .若“Me ，则（泌T） =ee=e,从而，沥一g H.由此可见，是6的子群.5. 设。是交换群，证明:6的所有阶为有限的元素构成的集合是。的子群.证明 令表示G的所有阶为有限的元素构成的集合.显然 5,设 a,beH,其中a = m, A = n.于是，（泌T）E = （/）（歹）F =缶=g,从而，勿尸G h.由此可见，是6的子群.6. 设。是群，a,bwG、证明：v与灰沥t具有相同的阶.证明 显然，对于任意的正整数，=b、从而，a = e ba/ix =（力泌一）=e.由此可见，与妳具有相同的阶.7. 设a = 0 /；4）是循环置换

20、，求的阶.解 当左=1时，显然， =（1）, | =如当左1时,我们有d = （/；队* （1）,次L2,卜 1,/ =，从而,a = k.8. 设群。的除单位元外的每个元素的阶都为2,证明：G是交换群.证明参看2习题第17题.9. 设6是群，a,b&G、证明：泌与灰7具有相同的阶.证明 注意到防=广（部）（-T，根据第6题的结论，泌与防具有相同的 阶.10. 设6是群，a,bwG、ah = ba .假设a的阶与力的阶互素，证 明：|湖| = |EI方|.证明 令a = m.b = n, ab = k.由于（泌广=（”）”（）=M = e,根据命题3. 12可以断言引所.其次,我们有/ /i/

21、!kn r kn kn z j hkn kne= ao） = a b =a （n） =a e= a ,从而，根据命题3. 12, mkn.因为/与互素，由?|初可知z|左.同理可知，|於. 由于八与互素，因此mnk.所以k = /nn,即|泌| = |方|.11. 设Z是整数集关于加法构成的群，是Z的子群，证明：存在使 =证明 众所周知，0 e .当=0时，显然=0.现在假设# 0.于是, 存在任使片0.这时-mcH,并且，在，和-，中，一个是正数，另一个是负 数.令表示中的最小正数.显然，我们有qne. H, Vg Z.现在考察任意的mcH :众所周知，存在整数g和，使得m = qn r,

22、0 r /z.于是，r = m-qncH、由于令是中的最小正数，必有/ = 0,从而，m = qn.上述 表明 H = g| gw Z.所以 =.12. 设。是一个群，H、,名都是G的子群.假设乌不包含于名且不包含 于,，证明：4U名不是6的子群.证明 由于名不包含于且名不包含于;，是6的子群，因此存在 awH% 且存在 bQH .于是，a,bwH。 .假设 ab、,则 b = aXab)Hx，矛盾.因此ab%H .同理，部任亿.这样一来,a腿心匕.所以 比U名不是G的子群.13. 设G是一个群，GuGuyG“h 是6的一个子群链，证明：U爲G, 是6的子群.证明 设MeU爲。.于是，存在正整

23、数/.和_/使得心G，脹.令 X = max /；/. ayhGk.由于 6；是 6 的子群，因此 a/fx e Gk，从而， 所以U爲。是G的子群.14. 证明:(12),(13)(1 ) (22 )是的一个生成集.证明 考察任意的对换(/力 ：若/ = 1或7 = 1,则(/) g(1 2),(13)-(1/).若，。1且/VI,则(/) = (1。(1 力这就是说，对于每一个对换。刀e ,要么它本身属于(12), (1 3)-(1 ),要么它 可以表示成(12),(! 3)-(1 )中的一些对换的乘积.这样一来，根据推论2. 10可 以断言，每一个可以表示成(12),(1 3)-(1/)

24、中的一些对换的乘积.由此 可见，(12),(13)(】)，从而，3； = (12), (13).-(I/).4循环群1. 证明：循环群是交换群.证明 设G=a是一个循环群.于是，G=/|cZ(参看课本第12页倒 数第4行).众所周知，而=K =打,V必 eZ.所以6是交换群.2. 设。是一个群，G.假设的阶为，证明:对任意整数，有证明4. 2,1，1 =己(二,)令 =.由于| = ，根据命题3. 10, 是有限循环群.根据命题1，1 = 土(尸,)3.设G=4是一个阶循环群，/是任意整数，证明：/与#5)具有相同的阶且0=旳）,证明 根据命题4. 2,我们有| ）| = _七= _/L_ =

25、 |/|.（/*, ）, /） （r, ）根据命题3. 10,/和/，）都是。的亠一阶子群.显然，/对、，从而, （厶）/仁史乃.由此可见，/=/）.4. 设G=是一个阶循环群，证明：/= 6当且仅当（厶/） = !证明 根据命题4. 2,我们有（/= G 9 | / | = O = =（尸,）=1 .W, ）5. 设G=0 是循环群，=/和K=3是6的两个子群，证 明:宜=舟.证明 显然从而，夕少qADH 为了证明0=夕5， 现在只需证明0占二丿”1.考察任意的-reZr：当为。的单位元g时，显然】沱丿5.不妨假定 xe.于是，由xcH知，存在/Z,使得x=d ;由e A知，存在/eZ,使得

26、 x=a/,.因为,所以W = 0.众所周知，（$,/）（$,/）一 I从而，存在z/,fgZ,使得工+丄=1.（S,/）（S,）于是,我们有ur /uxterX=戸戸 =（Q 确（y戸=濟妇/E = /g妇 G/I，其中，当20时n = ,当$/0时 =1.综上所述，对于任意的n占,总有e丿5.所以“n/.6. 设G=a）是阶循环群， =和A =Q是。的两个子群，证 明：夕=的充要条件是G, /） = （/, /）.证明 假设H=K.根据命题4. 2,我们有宀=|/| = |/| =孔（s, ）（A ）从而，（$,） = （/,）.假设（$, ） = （/, /）.于是，舟、=扣,从而，”

27、=/）.这样根据第3题 的结论可以断言，=，即H=K.7. 设G是无限循环群，证明:6有且仅有两个生成元.证明 由于G是无限循环群，不妨设是6的一个生成元.于是，“T也是6 的一个生成元，并且。a、这就是说，有两个不同的生成元.其次，假设是6 的任意一个生成元.由于6=，因此存在 cZ,使得b =（T.由于G=给且 acG,因此存在X g Z,使得a = bk = tf*.由此可见， =1,即力=或3 =，.所 以。有且仅有两个生成元.8. 设G=d）是无限循环群，=/和& =是6的两个子群，证 明:H=K的充要条件是s = /.证明当s = t时，显然H=K.假设H = K,显然，当H 时，

28、s = / = 0,从而，s=/.不妨假定。诺.于 是soO.由o wK可知，存在/eZ,使得$ = ；由d wH可知，存在左Z,使得 ，=户.因此s = ijs.由于s=0,由s = ijs可知ij- ,从而，/= 1.所以s=/.5正规子群与商群1. 证明：循环群的商群也是循环群.证明 设G=0是循环群，是G的子群.于是，我们有G!H=cfH芒 Z = （初| 心 Z=宓. 这就表明，G/是循环群.2. 设6是群，N,i5,是6的一族正规子群，证明：CI曲出也是6的正规子 群.证明 众所周知，n,wN是。的正规子群.显然，我们有可L/我）=n*（旳）=n*（心）=（fU/乌）。,mg.所以

29、n#乌也是g的正规子群.3. 设狙是群。的正规子群且岀nM = 目，证明：对于任意的 aj N、, be 都有ab = ba.证明 对于任意的aeN,bcNv由于&是群G的正规子群，根据命题5. 11 我们有康5 wN,从而，abcflf e此；由于是群6的正规子群，根据命题5. 11 我们有 abd g jV2 ,从而，abcTc 狙.因此 ahcTe AfA2 ,从 而，abilr = e.由此可见泌=ba.4. 设是群6的子群且6: = 2,证明：是6的正规子群.证明我们已经知道，aH=H9acH9Ha=H, VacG. 任意给定 aeG.当 aH 时，aH = H = Ha.当 a已

30、H 时，HaH =(Z) = HHa. 并且，由6： = 2可知，HaH=G=HaH.由此可见aH = Ha.所以是G 的正规子群.5. 设是群。的有限子群，H = n.假设G只有一个阶为的子群，证 明：是G的正规子群.证明 任取界。考察aHd:由3习题第3题知，是G的子群.定义 到物广的映射伊如下：p(.r) = axax, V_re H.显然是双射.因此|物广| = .由于6只有一个阶为的子群，因此aM = H. 这样一来，由于的任意性，根据命题5.11可以断言，是6的正规子群.6. 设。是群，和占是。的子群，证明：砍是G的子群= HK=KH.(2) 假设是6的正规子群，证明：砍是G的子群

31、.(3) 假设和占都是6的正规子群，证明:砍是6的正规子群.证明(1)假设砍是G的子群.于是，对于任意的g G,我们有ajHKgcf Ko存在力e 和kc K,使得a = hko存在力e 和於a = f=a w KH.所以HK=KH.假设HK=KH、为了证明次是6的子群，任意给定agHK.于是，存在 h：和5 c占，使得=姑、,h=站.因此泌t =(伝)(格尸=(幽妒)妒由于*(耶丁、eHK=KH,因此存在hH和偽e使得4(4左)=为肉，从而，a& = 0侦虹部；=(*：=印=HK.这样一来，由于a,bwHK的任意性，我们断言：砍是。的子群.(2) 由于是G的正规子群,我们有HK = U ke

32、Hk = 3 虹 *kH = KH.这样，根据(1),砍是6的子群.(3) 根据(2),阪是G的子群.此外，还有aHK = aHK= (Hd)K= H(aK) = H(Kd = HKa, PacG. 所以砍是6的正规子群.7. 设6是群，和占是6的子群且占q H,证明:6:A1 = 6:K.注证明这道题时还要用到如下约定：8 = 8 = CO8 = CO, VcN.此外，这道题与7中的Lagrange定理类似，而且其证明难度不亚于Lagrange定理 的证明难度,因此安排在这里不太合适.证明 首先，由于K是“的子群，因此aKjaHNacG,由此可见，当 6： = 8 时，6:幻=8,从而，6:

33、幻=6:/7:幻.其次，由于WKhc H c aK aw G,因此当夕:= 8时，G:幻=8，从 而6:幻=6:为:幻.现在假设。：夕8 且:Kco .令G:H = m , :/ = .由 67: = ,知,存在,“ g G,使得其中诸两两不相交. 由”:们=知,存在如,.0,使得 = UZ万A，其中诸两两不相交. 这样一来,我们有G=UZWU =U、（他）.（*） 现在我们来阐明上式中的诸 歸次两两不相交.为此，设r, 0L 2,m, s, /e 1,2,n,我们来比较（a,b）K与（a,如）K.当山时，由于bsKH, b,KH,因此 （aQKnemKja,Ha,H = 0 ,从而，（）占0

34、（.）=0 ,即（）/与 eb,、）K不相交.当/ =/且$。寸时，b,Kb?K=0,从而，（以）m 3=（）Kn（aK=以么04）=多0 = 0，即（,K与（a/AK不相交.所以（*）式中的诸（JK两两不相交.这样一来， 根据（*）式可以断言，G:/C = ni/i,即8. 设是群。的子群，假设的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证 明：是G的正规子群.证明 任取q,由于是的左陪集，因此存在的左陪集必，使得（HdH = H（aH =,由此可见，HagbH, aWH,从而aH = bH.所以q aH.由于的任意性，根 据上式我们又可以断言，Hi c cfH.将上式两边左乘，右乘/得aHHa.

35、所以aH = Ha.由于的任意性,这就意 味着是G的正规子群. 6群的同构与同态1. 设./是群G、到群6的同构，g是群G到群q的同构，证明：尸是群q到 群q的同构；此是群q到群G的同构.证明 众所周知，广是q到G、的双射.其次，又因/保持乘法运算，故对于 任意的总有以广（）广（庁）=/1广（）以广力）=du,从而，广（质）=尸（0、.所以.广是群q到群q的同构.众所周知，此是q到q的双射.又因/和g都保持乘法运算,故对于任意的,be.G 总有（記（泌）=gUS = 6 八心=京/（）京/（万）=（砍/）0） 所以/是群q到群q的同构.2. 设是群。的子群，以尸是”的共辘子群，证明:aHi与同

36、构.证明定义到物广的映射/如下：/（.r） = axdx, V.re H.直接从/的定义可以明白，/是满射.利用消去律容易推知，/是单射.因此/是 双射.其次，对于任意的x,ycH总有/（-功=axya =（叫）（切妒）=/（才）/0） 所以/是群到群以广的同构，从而，以广三h.3. 设/是群G到群6的同构，证明：对于任意的aG,a = f（a）.举例说 明，若/是群6到群6*的同态，则的阶与/（功的阶不一定相同.证明 将群。和群 J，、= 2u 广3 = 2.由此可见,|。| = 1加1假设|6-|2, G= ，其中e为G的单位元，尸为G到仔的映射.则/是G 到（7的同态.任取/7G G ,

37、使得则|0, y（a） = e = l ,从 而 kkl/MI-4. 分别建立枷到/（n和6到（67）/（/的同态来证明定理.11.注 定理6. 11的内容如下:设&是一个群，、是6的正规子群.若是g的子群，则（2）若“是6的正规子群且 n N、则（GlgH/N）三6/.证明（1）设“是6的子群.显然，H.N是的正规子群；/V是夕V的正规 子群.考察任意的gHN:假设a = hH、=y=奴,其中，4,力2 ，1，2 M 则 4 = A,Z2,Z1_I，从而，4 力2 = C “n M 因此*（夕 r）A）=4（Gn，v）.这样一来,我们可以定义枷到/（nM的映射/如下:对于任意的“e HN、/

38、（）=久Cl /V）,若 a = hn、其中 /ie. H, /e N.由H，HN可知，/是满射.任意给定a，bwHN,不妨设47 =初，力=方22由于协是。的子群，因此 ah e HN,从而，存在hzH和巧c ,使得ah = * 22 = 43 -因此另一方面,我们有z（w）=w（“n M）（4（n a）=力也（n 叫.注意到0是。的正规子群和命题5.11,易知（4 妇妒=4（ （硏-）妒）k）宀n,从而，粘亠Hn M = 4（n M,即泌）=/（）/（/）.所以./是 枷到/（nx）的满同态.最后，对于任意a = hn（hwH,住N）,我们有7G Ker （/）o 別D/V） = n0o

39、力he N3 aw N.因此Ker （/） = N,这样一来，根据群的同态基本定理，/（0 N关HN）IN.（2）设是6的正规子群且H N,显然，/0是67N的正规子群.定义（7 到（G/tV）/（/tV）的映射/如下：以）=（泌0（7）, VacG.显而易见，/是满射.由于/、是67的正规子群，因此对于任意的a,bwG,总 有jab） = （abNH/ N） = （M）（為V）（/ NH! N=V）（AV）（/ A）=八 dM.因此/是6到（67 ）/（/）的满同态.其次，对于任意的acG,我们有a g Ker （/） o （aNH/ N = Hl No aNg HI No 存在 he H,

40、使得 aN = hNo zg H.因此Ker (/) = .这样一来，根据群的同态基本定理，(67N)/(/A)关G/.5.设6是群，G,。是。的有限子群，证明：iqnGI注 与5习题中第8题类似，这道题也宜安排在7习题中.证明 令.于是，既是G的子群，又是的子群.设 G = 则有(*)其中c.Gx, jY)q = UMg(农)=U%(oG) (*)对于任意的 /, 7 G 1,2, , m,考察弓4 与 cfiz :若 cfi2 = CjG、,则 cjci g G2,从而, c G PIG = .由此可得，c = C/H,从而，/= j.这就表明，诸cyG2两两不 相交.这样一来，由(*)式

41、可以知，彤5皿=儒蚩6. 设6是群，证明:GGZ71(T是群6到群G的同构的充分必要条件是6为交换群.如果6是交换群，证明：对 于任意的X-eZ,G-G“I a是一个同态.证明 将G到自身的映射GGn ax记做显然/是双射.于是，/是群G到群G的同构o fab）=力 e G,即（泌）= cf* Na,bcGo （泌）-i =（灰7）t Na,b.G=ab = ba、Va，bcG oG是交换群.假设。是交换群，X eZ,将6到自身的映射GfG7H a*记做g.于是,我们有） = （洲=&*=卧妙,Va,bcG.所以g是一个同态.7. 设/是群。到群7的满同态，是7的正规子群，证 明：67广1（仃

42、）三67#.证明 由于是6的正规子群，根据定理6. 7,广3）是6的正规子群.现 在定义6到GI/T的映射g如下：=八a由./是群。到群G的满同态可知g是。到67的满射.其次,注意到是6的正规子群，对于任意的a,bwG,有京泌）=/（泌） =技=奶 所以g是G到67的满同态.最后，对于任意的G,我们有a e Ker （g） o 八 dH=八 gf/o ac f/f）.因此Ker （g）=尸（#）.这样一来，根据群的同态基本定理，67广|（）三GlfT.8. 设G是群，丘，是6的正规子群.假设G=Gfit且qnG=e（此时称 6是q和G的内直积），证明:G=G*Ga证明定义Gg到6的映射/如下：4（冬方）=泌，V（a,財 Gy.由G=GG可知，/是满射.现在设（%新，（角,）C q x q