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1、函数与导数(11)12018北京卷设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围解析：(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综
2、上可知，a的取值范围是.22019安徽省安庆市高三模拟已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.解析：解法一(1)f(x)a(x0)，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，由(1)知，当ae时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)e.设g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e.所以当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即
3、xf(x)ex2ex0.解法二(1)同解法一(2)证明：由题意知，即证exln xex2ex2ex0(x0)，从而等价于ln xx2.设函数g(x)ln xx2，则g(x)1.所以当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1.设函数h(x)，则h(x).所以当x(0,1)时，h(x)0.故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1.综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.32019甘肃第二次诊断已知函数f(x)
4、2x2ax1ln x(aR)(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a5，求f(x)的单调区间；(3)若30，所以f(x)在和(1，)上单调递增当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递减(3)由f(x)2x2ax1ln x得f(x)4xa.设h(x)4x2ax1，a216，当3a4时，0，有h(x)0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增又f(1)3a0，所以f(x)在x1，e上有唯一零点42019武汉调研已知函数f(x)ln(x1)，其中a为常数(1)当10时，求g(x)xlnln(1x)的最大值解析：(1)函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)，x
5、1.当12a30，即1a时，当1x0时，f(x)0，f(x)单调递增，当2a3x0时，f(x)0，即a时，当1x2a3时，f(x)0，则f(x)在(1,0)，(2a3，)上单调递增，当0x2a3时，f(x)0，则f(x)在(0,2a3)上单调递减综上，当1a时，f(x)在(1,2a3)，(0，)上单调递增，在(2a3,0)上单调递减；当a时，f(x)在(1，)上单调递增；当a2时，f(x)在(1,0)，(2a3，)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减(2)g(x)ln(1x)xlnxg，g(x)在(0，)上的最大值等价于g(x)在(0,1上的最大值令h(x)g(x)ln(1x)(lnx1)l
6、n(1x)lnx，则h(x).由(1)可知当a2时，f(x)在(0,1上单调递减，f(x)f(0)0，h(x)0，从而h(x)在(0,1上单调递减，h(x)h(1)0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)g(1)2ln2，g(x)的最大值为2ln2.52019湖北省七市教科研协作高三联考已知函数f(x)(x1)exax2(e是自然对数的底数，aR)(1)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若xR，f(x)exx3x，求a的取值范围解析：(1)f(x)的定义域为R，f(x)xex2axx(ex2a)当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)有1个极值点；
7、当0a时，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增，f(x)有2个极值点，综上所述，当a0时，f(x)有1个极值点；当a0且a时，f(x)有2个极值点；当a时，f(x)没有极值点(2)由f(x)exx3x，得xexx3ax2x0.当x0时，exx2ax10，即a对x0恒成立设g(x)(x0)，则g(x).设h(x)exx1(x0)，则h(x)ex1.x0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)0，即exx1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)g(1)e2，ae2；当x0时，原不等式恒成立，aR；
8、当x0时，exx2ax10，设m(x)exx2ax1(x0)，则m(x)ex2xa.设(x)ex2xa(x0)，则(x)ex2m(0)1a，若a1，则m(x)0，m(x)在(，0)上单调递增，m(x)1，m(0)1a0，x00，使得x(x0,0)时，m(x)m(0)0，不符合题意，舍去a1.综上，a的取值范围是(，e262019贵阳市普通高中高三年级摸底考试已知函数f(x)xln xaxa(aR)(1)f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yxt，求a和t的值；(2)对任意的x1，f(x)0恒成立，求a的取值范围解析：(1)函数定义域为x(0，)，f(x)ln x1a，由已知f(1)1，则1
9、a1，即a2，所以f(1)0220，将(1,0)代入切线方程有t1，所以a2，t1.(2)对任意x(1，)，f(x)0恒成立，即ln xa0恒成立，令g(x)ln xa，有g(x)，当a1时，g(x)，g(x)随x的变化情况为x(1，a)a(a，)g(x)0g(x)单调递减极小值单调递增由表可知g(x)ming(a)ln a1a，又因为在函数h(x)ln x1x中，h(x)，所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以h(x)h(1)0，所以g(x)ming(a)h(a)1不合题意；当a1时，g(x)0，则g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，即对任意x(1，)，ln xa0恒成立，故a1满足题意，综上所述，实数a的取值范围为(，1