《【三维设计】2014届高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案要点.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【三维设计】2014届高考数学一轮复习(基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案要点.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 数系的扩充与复数的引入 知识能否忆起 一、复数的有关概念 1 复数的概念： 形如abi(a，bR) 的数叫复数， 其中a，b分别是它的实部和虚部若 b0，则abi 为实数；若b0，则abi 为虚数；若a0，b0，则abi 为纯虚数 2复数相等：abi cdi ?ac，bd(a，b，c，dR) 3共轭复数：abi 与cdi 共轭 ?ac，bd0(a，b，c，dR) 4复数的模：向量OZ的长度叫做复数zabi 的模，记作 |z| 或|abi| ，即 |z| |abi| a 2 b 2 . 二、复数的几何意义 复数zabi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量OZ . 三、复数的运算 1复数的加、
2、减、乘、除运算法则 设z1abi ，z2cdi(a，b，c，dR) ，则： (1) 加法：z1z2(abi) (cdi) (ac) (bd)i ； (2) 减法：z1z2(abi) (cdi) (ac) (bd)i ； (3) 乘法：z1z2(abi) (cdi) (acbd) (adbc)i ； (4) 除法： z1 z2 abi cdi abcd cdcd acbdbcad c 2 d 2(cdi 0) 2复数加法、乘法的运算律 对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1， (z1z2) z3z1(z2z3) ；z1z2z2z1， (z1z2) z3z1(z2z3) ，z1(z2z3)
3、z1z2z1z3. 小题能否全取 1( 教材习题改编 ) 已知aR，i 为虚数单位，若(12i)(ai) 为纯虚数， 则a的值等 于( ) A 6 B 2 C2 D 6 2 解析：选B 由(1 2i)(ai) (a2) (1 2a)i是纯虚数，得 a20， 12a0， 由此 解得a 2. 2(2011湖南高考) 若a，bR，i 为虚数单位，且(ai)ibi ，则 ( ) Aa1，b 1 Ba 1，b1 Ca 1，b 1 Da1，b 1 解析：选 D 由(ai)ibi ， 得 1ai bi ， 根据两复数相等的充要条件得a 1， b 1. 3(2012天津高考)i是虚数单位，复数 53i 4 i
4、 ( ) A1i B 1i C1i D 1i 解析：选 C 53i 4i 205i 12i 3i 2 16i 2 1717i 17 1i. 4若复数z满足 z 1i 2i ，则z对应的点位于第_象限 解析：z2i(1 i) 22i ，因此z对应的点为 ( 2,2) ，在第二象限内 答案：二 5若复数z满足zi 3 i i ，则 |z| _. 解析：因为z3i i i 13i i 14i ，则 |z| 17. 答案：17 1. 复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z| |z 0| a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a； (2)|zz0| 表示复
5、数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离 2复数中的解题策略 (1) 证明复数是实数的策略：zabi R?b0(a，bR) ；zR?zz. (2) 证明复数是纯虚数的策略：zabi 为纯虚数 ?a 0，b0(a，b R) ； b0时，zz2bi 为纯虚数；z是纯虚数 ?zz0 且z0. 3 复数的有关概念 典题导入 例 1 (1)(2012 陕西高考) 设a，bR， i 是虚数单位， 则“ab0”是“复数ab i 为 纯虚数”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2012 郑州质检) 如果复数 2bi 12i ( 其中 i 为虚数单位，
6、b为实数 ) 的实部和虚部互为 相反数，那么b等于 ( ) A 2 3 B. 2 3 C.2 D2 自主解答 (1) 若复数a b i abi 为纯虚数，则a0，b0，ab0；而ab0 时a 0 或b0，ab i 不一定是纯虚数，故“ab0”是“复数a b i 为纯虚数”的必要不充分条 件 (2) 2bi 12i b 2bb 5 ， 依题意有 22b4b，解得b 2 3. 答案 (1)B (2)A 由题悟法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发， 把复数问 题转化成实数问题来处理由于复数zabi(a，bR) 由它的实部与虚部唯一确定，故复 数z与点Z(a，b) 相
7、对应 以题试法 1(2012东北模拟) 已知 x 1 i 1yi ，其中x，y是实数， i 是虚数单位，则xyi 的共轭复数为 ( ) A12i B 12i C2i D 2i 4 解析：选D 依题意得x (1 i)(1yi) (1 y) (1 y)i ；又x，yR，于是有 x 1y， 1y0， 解得x2，y1. xyi 2i ，因此xyi 的共轭复数是2i. 复数的几何意义 典题导入 例 2 (2012山西四校联考) 已知复数z的实部为 1，虚部为2，则 2i z (i为虚部 单位 ) 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A第一象限B 第二象限 C第三象限D 第四象限 自主解答 选 C 依题
8、意得 2i z 2i 1 2i 1 11 43i 5 ，因 此该复数在复平面内对应的点的坐标是 4 5， 3 5 ，位于第三象限 由题悟法 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应 的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法 则解决问题 以题试法 2(1) 在复平面内，复数65i ， 23i 对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中 点，则点C对应的复数是( ) A48i B 82i C24i D 4i (2)(2012 连云港模拟) 已知复数z1 12i ，z2 1i ，z334i ，它们在复平面上 对应的点分别为A，
9、B，C， 若OCOAOB， ( ， R) ， 则 的值是 _ 解析： (1) 复数 65i 对应的点为A(6,5)，复数 23i 对应的点为B( 2,3) 利用中 点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为24i. (2) 由条件得OC(3 ， 4) ，OA( 1,2) ，OB(1 ， 1)， 根据OCOAOB得 (3 ， 4) (1,2) (1 ， 1) ( ，2) ， 5 3， 2 4， 解得 1， 2. 1. 答案： (1)C (2)1 复数的代数运算 典题导入 例 3 (1)(2012 山东高考) 若复数z满足z(2 i) 117i(i为虚数单位 ) ，则z为 ( )
10、A35i B 35i C 35i D 3 5i (2)(2011 重庆高考) 复数 i 2i3i4 1i ( ) A 1 2 1 2i B 1 2 1 2i C. 1 2 1 2i D. 1 2 1 2i 自主解答 (1)z 117i 2i 1525i 5 35i. (2) i 2i3i4 1i 1 1i i 1i 1i 2 1 2 1 2i. 答案 (1)A (2)C 由题悟法 1复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分 母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式 2记住以下结论，可提高运算速度： (1i) 2 2i ； 1i 1i i ； 1i 1i i ；
11、 abi i bai ；i 4n1， i4n1i ， i 4n2 1，i4n3 i( n N) 以题试法 3(1)(2012 山西四校联考) 设复数z的共轭复数为z，若z1i(i为虚数单位 ) ， 6 则 z z z 2 的值为 ( ) A 3i B 2i Ci D i (2)i为虚数单位， 1i 1i 4 _. 解析： (1) 依题意得 z z z 21i 1i (1 i) 2i 2i 1i 2i i 2i i. (2) 1i 1i 4 2 2 4i41. 答案： (1)D (2)1 1(2012江西高考) 若复数z1 i(i为虚数单位 ) ，z是z的共轭复数，则z 2 z 2 的虚部为 (
12、 ) A0 B 1 C1 D 2 解析：选A z1i ，z1i ，z 2 z 2 (zz) 2 2z z440，z 2 z 2 的虚部为0. 2(2012北京高考) 在复平面内，复数 10i 3i 对应的点的坐标为( ) A(1,3) B (3,1) C( 1,3) D(3， 1) 解析：选 A 由 10i 3i 3 10 13i 得，该复数对应的点为 (1,3) 3(2012长春调研) 若复数 (ai) 2 在复平面内对应的点在y轴负半轴上， 则实数a的 值是 ( ) A1 B 1 C.2 D 2 解析：选 B 因为复数 (ai) 2( a 21)2ai ，所以其在复平面内对应的点的坐标是
13、(a 2 7 1,2a) ，又因为该点在y轴负半轴上，所以有 a 210， 2a1 2”是“点 M在第四象限”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选C z(1 2i)(ai) (a2) (1 2a)i ，若其对应的点在第四象限，则a 20，且 12a1 2. 即“ a 1 2”是“点 M在第四象限”的充要条件 3已知复数zxyi(x，yR) ，且 |z 2| 3，则 y x的最大值为 _ 解析： |z2| x 2 y 2 3， (x2) 2 y 23. 由图可知 y x max 3 1 3. 答案：3 4复数z (m 25m 6) (m
14、22m 15)i ，与复数1216i 互为共轭复数，则实数m _. 10 解析：根据共轭复数的定义得 m 25m 612， m 22m 15 16. 解之得m1. 答案： 1 5已知z是复数，z2i ， z 2i 均为实数 (i为虚数单位 ) ，且复数 (zai) 2 在复平面上 对应的点在第一象限，求实数a的取值范围 解：设zxyi(x，yR) ， 则z2i x(y2)i ，由题意得y 2. z 2i x2i 2i 1 5( x2i)(2i) 1 5(2 x2) 1 5( x4)i. 由题意得x4，z42i. (zai) 2(12 4a a 2) 8( a2)i. 由于 (zai) 2 在复
15、平面上对应的点在第一象限， 12 4aa 20， a， 解得 2 2 ( 否则，若 2 ，则有00，0) 在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为 5 12 ，2 ， 11 12 ， 2 . (1) 求A和 的值； (2) 已知 0， 2 ，且 sin 4 5，求 f( ) 的值 解： (1) 函数f(x) 在某一周期内的图象的最高坐标为 5 12 ，2 ， A2，得函数f(x) 的周期T2 11 12 5 12 ， 2 T 2. 17 (2) 由(1) 知f(x) 2sin2x 3 . 0， 2 ，且 sin 4 5， cos 1sin 23 5， sin 2 2sin cos 24
16、 25，cos 2 cos 2sin2 7 25. f( ) 2sin2 3 2 sin 2 cos 3 cos 2 sin 3 2 24 25 1 2 7 25 3 2 24 7 3 25 . 18(本小题满分12 分)(2012 天津高考) 已知函数f(x) sin2x 3 sin2x 3 2cos 2x1，xR. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)在区间 4 ， 4 上的最大值和最小值 解： (1)f(x) sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 sin 2xcos 3 cos 2xsin 3 cos 2xsin 2x cos 2x2sin2x 4 .
17、所以f(x) 的最小正周期T 2 2 . (2) 因为f(x) 在区间 4 ， 8 上是增函数， 在区间 8 ， 4 上是减函数， 又f 4 1，f 8 2，f 4 1，故函数f(x) 在区间 4 ， 4 上的最大值为2，最小值为 1. 19(本小题满分12 分) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (2a c)cos Bbcos C. (1) 求角B的大小； (2) 设m(sin A，cos 2A) ，n(4k,1)(k1)，且mn的最大值是5，求k的值 解： (1) 因为 (2ac)cos Bbcos C， 所以在ABC中， 由正弦定理， 得(2sin Asin C)c
18、os Bsin Bcos C， 所以 2sin Acos B sin Bcos Ccos Bsin C， 即 2sin Acos Bsin A. 18 又在ABC中， sin A0，B(0 ， ) ，所以 cos B1 2. 所以 B 3 . (2) 因为m (sin A，cos 2A) ，n(4k,1)(k1)， 所以mn 4ksin Acos 2A 2sin 2A 4ksin A1， 即mn 2(sin Ak) 22k21. 又B 3 ，所以A 0， 2 3 . 所以 sin A(0,1 所以当 sin A1A 2 时，mn的最大值为4k1. 又mn的最大值是5，所以 4k15. 所以k
19、3 2. 20(本小题满分12 分) 已知复数z1sin 2xti ，z2m(m3cos 2x)i(i为虚数 单位，t，m，xR) ，且z1z2. (1) 若t0 且 0x，求x的值； (2) 设tf(x) ，已知当x 时，t 1 2，试求 cos 4 3 的值 解： (1) 因为z1z2，所以 sin 2xm， tm3cos 2x， 即tsin 2x3cos 2x. 若t0，则 sin 2x3cos 2x0，得 tan 2x3. 因为 0x ，所以 02x2，所以 2x 3 或 2x 4 3 ， 所以x 6 或x2 3 . (2) 因为tf(x) sin 2x3cos 2x2sin2x 3
20、， 因为当x 时，t 1 2，所以 2sin 2 3 1 2， sin 3 2 1 4， 所以cos 4 3 cos 22 6 2cos 2 2 6 1 2sin 2 3 2 1 2 1 4 217 8. 21( 本小题满分12 分)(2012 长春调研) 如图，在平面直角坐 标系中，锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于A，B两点 19 (1) 如果A，B两点的纵坐标分别为 4 5， 12 13，求 cos 和 sin ； (2) 在(1) 的条件下，求cos( ) 的值； (3) 已知点C( 1，3) ，求函数f( ) OAOC的值域 解： (1) 根据三角函数的定义，得sin 4 5，si
21、n 12 13. 又 是锐角，所以cos 3 5. (2) 由(1) 知 sin 12 13. 因为 是钝角，所以cos 5 13. 所以 cos( ) cos cos sin sin 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65. (3) 由题意可知，OA (cos ，sin ) ，OC( 1，3) 所以f( ) OAOC3sin cos 2sin 6 ， 因为 0 2 ，所以 6 6 3 ， 所以 1 2sin 6 3 2 ，从而 1f( )3. 所以函数f( )的值域为 ( 1, 3) 22( 本小题满分12 分) 在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长， 已知2 sin A
22、3cos A. (1) 若a 2 c 2 b 2 mbc，求实数m的值； (2) 若a3，求ABC面积的最大值 解： (1) 由2sin A3cos A两边平方得2sin 2A 3cos A即 (2cos A1)(cos A 2) 0，解得 cos A1 2或 cos A 2( 舍) 而a 2 c 2b2 mbc可以变形为 b 2 c 2 a 2 2bc m 2， 即 cos A m 2 1 2，所以 m1. (2) 由(1) 知 cos A 1 2，则 sin A 3 2 . 20 又 b 2 c 2a2 2bc 1 2， 所以bcb 2 c 2 a 22bc a 2，即 bca 2. 当且仅当 bc时等号成立故SABCbc 2 sin A a 2 2 3 2 3 3 4 .