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1、第二章基本初等函数 () 2.1指数函数 【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏 多个图象像束花，(0,1)这点把它扎 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹 x1 为判底线，交点y 标看小大 重视数形结合法，横轴上面图象察 此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指 数函数图象的特点牢记于心 如图所示的就是上面举的指数函数的图象不难看出， 它们就像一束花每个指数函数 的图象都经过 (0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎 ”就顺理成章了 对于指数函数的图象来说，“ 撇增捺减 ”就绝对是事实当a1 时，从左往右看指数 函数 y a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，
2、这时，指数函数ya x 是增函数； 当 01 与 0100? y1； x0? 01 在 R 上是增函数在 R 上是减函数 三、图象应用 1比较大小 例 1 若 a(1 2) a2a. 答案0.2a(1 2) a2a 点评本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时， 一定要抓住图象的特征点(0,1)或特 征线 y 1 及指数函数图象的走向正确作图：当 a1 时，底数 a 越大图象越陡； 当 00 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值 范围是 _ 解析当 a1时， 通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象， 则由图可知11 矛盾 当 00 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义
3、域是R. 注意点 1：为什么要规定a0 且 a1 呢？ (1)若 a0，则当 x0 时， a x0； 当 x0 时， ax无意义 (2)若 a0 且 a1.在规定以后， 对于任意 xR，ax都有意 义，且 ax0.因此指数函数的定义域是 R，值域是 (0， ) 注意点 2：函数 y3 (1 2) x 是指数函数吗？ 根据定义，指数函数的解析式yax中， ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上 却不是，如yax k(a0 且 a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 y a x(a0 且 a1)，因为它可以化为 y (1 a) x，其中1 a0，且 1 a1. 学习根式和分
4、数指数幂的运算三注意 有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、 减、乘、除运算一样， 是十分重要的， 它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础由于这一部分内容的概念较多，初学时很 容易出错，首先要注意以下三点 (1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是 否可换 如当 a0 时， n a m(n a) m，而当 a0)；(3)a 6 10a 3 5； (4) 6 8 2( 8)2 6(8) 1 3 2； (5) 3 2 6 3 23 2 3 3 3 6 3 6. A0 B1 C2 D3 请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因 剖析忽视运算性质致错：
5、 (1)应为 (a 3)2 a6，比如， (23)28229； (2)应为 a2 3 a 3 2a 2 3 3 2a 13 6 . 忽视字母的取值范围致错： (3)应为 a 6 10|a 3 5|，比如 (2) 6 10应是一个正数，而 (2)3 5却是一个负数 在分数指数幂与根式的化简中致错： (4)显然 6 8 2应是一个正数，这里 (8)2 6(8) 1 3； (5)显然 6 3 23 3. 故答案为 A. 教材中，规定了正分数指数幂的意义am n n a m(a0，m，nN*，且m n 为既约分数 )，从 而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数这时底数、 指数的范围发生
6、 了变化， 这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用 到，这里就不再赘述 三、忽视隐含条件致错 例 6 化简： (1x)(x1) 2( x)1 2 1 2. 错解(1x)(x1) 2(x)1 2 1 2 (1x)(x1) 1 (x)1 4 ( x) 1 4. 剖析题目中含有 (x)1 2，要注意考虑 x0 这个前提条件，即x0. 正解由(x)1 2 可知 x0，即 x0， 所以 (1x)(x1) 2(x)1 2 1 2 (1x)(1x) 1 (x)1 4(x) 1 4. 点评在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些 隐含的特殊条件，
7、才能为正确解答打下坚实的基础 初学指数函数应当心 一、指数函数概念出错 例 7 已知指数函数yax的底数 a 满足方程a2a60，求该指数函数 错解由方程 a 2a 60，解得 a2 或 a 3. 所以该指数函数为y2x或 y(3)x. 剖析在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a 的限定，这个隐含条件对解题往 往起到至关重要的作用 正解由方程 a 2a 60， 解得 a2 或 a 3.由于指数函数 y a x 的底数 a 满足 a0 且 a1，故取 a 2.所以该指数函数为y2x. 点评指数函数定义中的底数a 满足 a0 且 a1 这个隐含条件，在解答过程中一定要 加以注意 二、指数函数值
8、域出错 例 8 求函数 y 2 1 x1的定义域和值域 错解要使函数y 2 1 x1有意义，则 x10，即 x 1. 所以函数 y2 1 x1的定义域为 x|x1 因为 x1，即 1 x10，所以 2 1 x 1 1. 所以函数 y2 1 x1的值域为 y|y1 剖析在解题过程中忽视了指数函数的值域y|y0 这个隐含条件，而只是根据题目条 件得出 y1 是不全面的 正解要使函数有意义，则x10，即 x1. 所以函数 y2 1 x1的定义域为 x|x1 因为 x1，即 1 x10，所以 2 1 x 1 1.又 2 1 x10， 所以函数 y2 1 x1的值域为 y|y0，且 y1 点评指数函数y
9、a f(x)(a0，且 a1)的值域只能是 R 的子集，解题时一定要结合具 体情况加以分析讨论 三、指数函数图象出错 例 9 根据函数y|2 x1|的图象，判断当实数 m 为何值时，方程|2 x1|m 无解？有一 解？有两解？ 错解由方程 |2 x1|m 可得 2x1 m，结合指数函数的图象 (如图 )可知： 当 2x1 m0， 即 m1 或 m1 时， 方程 |2x1|m 无解； 当 2x1 m0，即 1cb. 即5 6 123 3 11. 二、妙用公式变形 引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新 的活力，如： ab (a1 3b 1 3)(a 2 3a
10、 1 3b 1 3b 2 3)， ab(a 1 2b 1 2)(a 1 2b 1 2)等等，运用这些公式 新变形，可快速巧妙求解问题 例 2 a4 38a 1 3b 4b 2 32 3 aba2 3 (12 3 b a) 3 a. 解原式 a1 3 a8b 4b2 3 2a1 3b 1 3a 2 3 a1 32b 1 3 a1 3 a1 3. a1 3 a 1 3 3 8b1 3 3 4b2 32a 1 3b 1 3a 2 3 a1 3 a1 3 2b 1 3 a1 3 a1 3 a1 32b 1 3 a2 32a 1 3b 1 34b 2 3 4b2 32a 1 3b 1 3a 2 3 a1
11、 3 a1 32b 1 3 a1 3 a1 3 a 1 3 a 1 3a. 三、整体代换 在指数运算中， 若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的 关系比较明显显现出来，易于求解 例 3 已知 a 23a10，求 a1 2a 1 2的值 分析若先求出a 的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件， 把条件转化为与结论有明显关系的式子 解a23a10， a0， a 1 a3. 而(a 1 2a 1 2) 2a1a23 25， a1 2a 1 2 5. 四、化异为同 例 4 计算 (32) 2 008 ( 32) 2 009. 分析注意到两个底数32与32互为
12、有理化因式，且它们的指数相差不大，所 以互化为同指数计算 解原式 (32) 2 008 ( 32) 2 008 ( 32) (32)(32) 2 008 ( 32) 12 008 ( 32)32. 五、化负为正 例 5 化简 4 x 4 x2 4 1x 4 1x2. 解方法一原式 4 x 4 x2 4 1x 4x 4 1x 4x2 4x 4 x 4 x2 4 424 x 4 x 4 x2 2 2 4 x 4 x2 4 x21. 方法二原式 4 x 4 x2 4 4 x 4 4 x2 4x 4x 4 x 4 x2 4 424 x1. 点评对于式子 4 1x 4 1x2，方法一是利用分子分母同时乘
13、 4x化简，而方法二是把2 写成 24 x 4x，通过约分化简，两种方法都是巧用 4 x 4x1 实现化简的 指数函数常见题型解法探究 一、指数函数的定义 例 6 已知指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，试求 f( 1 2)的值 解设指数函数f(x) a x(a0，a 1)， 由已知得 f(2)4，即 a2 4(a0，a1)，所以 a 2. 故 f( 1 2)2 1 2 2 2 . 二、考查指数的运算性质 例 7 若 f(x) e xex 2 ，g(x) e xex 2 ，则 f(2x)等于 () A2f(x) B2g(x) C2f(x)g(x) D2f(x) g(x) 解析f(2x) e
14、 2xe2x 2 e xex e xex 2 2 e xex e xex 4 2f(x) g(x) 故选 D. 答案D 三、指数函数的单调性 例 8 设 y140.9，y280.48，y3(1 2) 1.5，则 ( ) Ay3y1y2By2y1y3 Cy1y2y3Dy1y3y2 解析y140.921.8，y280.48 21.44， y3 (1 2) 1.521.5.由于指数函数 f(x)2 x 是 R 上的 增函数，且1.81.51.44，所以 y1y3y2，选 D. 答案D 四、定义域和值域 例 9 已知函数yf(x)的定义域为 (1,2)，则函数yf(2x)的定义域为 _ 解析由函数的定
15、义，得10，a1)的图象恒过定点 (0,1)，而函数 ya x12 的图象 可由 y ax(a0，a1)的图象向左平移 1 个单位后，再向下平移2 个单位而得到，于是，定 点(0,1) (1,1)(1， 1)所以函数yax 12 的图象恒过定点 (1， 1) 答案(1， 1) 六、图象 依据：(1)指数函数y ax(a0，a1)的图象； (2)函数 yf(x)的图象与 yf(x a)、 yf(x) b、yf( x)、y f(x)、y f(x)、y |f(x)|、yf(|x|)的图象之间的关系 例 11 利用函数f(x)2x的图象，作出下列各函数的图象： (1)y f(x1)；(2)yf(|x|
16、)；(3)yf(x)1； (4)y f(x)； (5)y|f(x)1|. 解利用指数函数y 2 x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象其图象如图所示： 点评函数 y2|x|， y2 |x| ，y|2x1|的值域和单调性如何？ 七、考查参数的取值范围 例 12 已知函数y a a 22(a xax)(a0， a1)在(， )上递增， 求 a 的取值范围 解设任意 x1，x2R，且 x10 ax1 ax20. 解得 a2或 0(1.3 1.21) 01， 所以 1.1 0.21.30.1. 点评不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别 注意分母的正负 三、取中间值
17、 例 15 下列大小关系正确的是() A0.4 3301， 所以 0.430， x1，x0， 若 f(a)f(1)0， 则实数 a 的值等于 () A 3 B 1 C1 D3 解析由题意知f(1)212.f(a) f(1)0， f(a)20. 当 a0 时， f(a)2a,2a 20 无解； 当 a0 时， f(a)a 1， a120， a 3. 答案A 2(全国高考 )已知函数f(x)a 1 2 x1.若 f(x)为奇函数，则a_. 解析定义域为R，且函数为奇函数， f(0)0，即 a1 20， a 1 2. 答案 1 2 3(全国高考 )函数 y e x 的图象 () A与 ye x 的图
18、象关于y 轴对称 B与 y e x 的图象关于坐标原点对称 C与 y e x 的图象关于y 轴对称 D与 ye x 的图象关于坐标原点对称 解析函数 y ex与 y e x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图 象关于原点对称 答案D 4(湖北高考 )若函数 ya xb1 (a0 且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则必有 () Aa0， b0 Da1，b1 即可得知 答案B 5(全国高考 )设函数 f(x) 2 x1 x0 ， x1 2 x0 . 若 f(x0)1， 当 x0 时， x1 201，得 x01. 答案A 6(湖北高考 )若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足 f(x)g(x)e x，则 g(x) () Ae x ex B.1 2(e xex) C.1 2(e xex) D.1 2(e xex) 解析f(x)为偶函数， g(x)为奇函数， f( x) f(x)，g(x) g(x) f( x) g(x)f(x) g(x) e x. 又 f(x) g(x)e x， g(x) e xex 2 . 答案D