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1、选修 2-2第一章1.31.3.2 一、选择题 1已知函数f(x)在点 x0处连续，下列命题中，正确的是 () A导数为零的点一定是极值点 B如果在点x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x)0，右侧 f (x)0，那么 f(x0)是极大值 答案 C 解析 导数为 0 的点不一定是极值点，例如f(x)x 3，f (x)3x2，f (0)0，但 x 0 不是 f(x)的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C. 2(2013 北师大附中高二期中)函数 y 1 4x 41 3x 3的极值点的个数为 () A0B1 C2D3 答案 B 解析 yx 3x2x2(x 1)，由 y0 得
2、x 10，x21. 当 x 变化时， y、y 的变化情况如下表 x (， 0)0(0,1)1(1， ) y00 y 无极值极小值 故选 B. 3函数 y ax 3bx2 取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和 1 3，则 ( ) Aa2b 0 B2ab0 C2ab 0 Da 2b0 答案 D 解析 y3ax 22bx 由题设 0 和1 3是方程 3ax 22bx0 的两根， a2b0. 4若 a0，b0，且函数f(x)4x 3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等 于() A2B3 C6D9 答案 D 解析 f (x)12x 22ax2b0 的一根为 x1，即 122a2b
3、 0. ab6， ab(ab 2 ) 29，当且仅当 ab3 时“”号成立 5已知实数a、b、c、d 成等比数列，且曲线y3xx 3 的极大值点坐标为(b，c)，则 ad 等于 () A2B1 C 1D 2 答案 A 解析 a、b、c、d 成等比数列，adbc， 又(b，c)为函数 y3xx3的极大值点， c3bb3，且 033b2， b1， c2， 或 b 1， c 2. ad2. 6(2013 辽宁实验中学期中)函数 f(x) x e x(af(b) Df(a)，f(b)的大小关系不能确定 答案 C 解析 f (x)( x e x) x e x x ex e x 2 x1 e x. 当 x
4、f(b) 二、填空题 7 (2014 福建安溪一中、养正中学联考)曲线yx(3lnx1)在点 (1,1)处的切线方程为 _ 答案 4xy30 解析 y|x1(3lnx4)|x14，切线方程为 y1 4(x1)，即 4xy30. 8(2014 河北冀州中学期中)若函数 f(x)xasinx 在 R 上递增，则实数a 的取值范围 为_ 答案 1,1 解析 f (x)1acosx，由条件知f (x)0 在 R 上恒成立， 1acosx0，a0 时显然成立； a0 时， 1 a cosx 恒成立， 1 a1， a1， 01 时， f (x)0；当 10，f(x)单调递增，当 (2k1)6 Da2 答案
5、 C 解析 f (x)3x 2 2axa6， f(x)有极大值与极小值， f (x)0 有两不等实根， 4a212(a 6)0， a6. 二、填空题 14已知函数yx 3ax2bx27 在 x 1 处有极大值，在 x3 处有极小值，则a _，b_. 答案 39 解 析 y 3x 2 2ax b ， 方 程y 0 有 根 1 及3 ， 由 韦 达 定 理 应 有 13 2a 3 ， 3b 3. a 3， b 9. 经检验 a 3，b 9 符合题意 三、解答题 15(2013 新课标文， 20)已知函数f(x)e x(axb)x24x，曲线 yf(x)在点 (0，f(0) 处的切线方程为y4x4.
6、 (1)求 a，b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 解析 (1)f (x)e x(axa b) 2x4. 由已知得 f(0)4，f (0)4，故 b4，a b8. 从而 a4， b4. (2)由(1)知， f(x)4e x(x1)x24x， f (x)4e x(x2)2x 44(x2)(ex1 2) 令 f (x)0 得， x ln2 或 x 2. 从而当 x( ， 2)( ln2， )时， f (x)0；当 x (2， ln2)时， f (x)0 得 01， f(x)在(0， 1 2)和(1， )上单调递增，在 (1 2， 1)上单调递减， f(x)的极大值点x1
7、 2，极小值点 x1. (2)当 a 4 时， f(x)x 20，即 lnx2x24x0， 设 g(x)lnx 2x24x，则 g(x) 1 x4x4 4x 24x1 x 0， 则 g(x)在(0， )上单调递增， 又 g(1) 20， 所以 g(x)在(1， )上有唯一实数根 17(2014 温州八校联考)已知函数f(x) x 3ax2 b(a、bR) (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若对任意a 3,4，函数 f(x)在 R 上都有三个零点，求实数b的取值范围 解析 (1)f(x) x 3ax2b， f (x) 3x22ax 3x(x 2a 3 ) 当 a0 时， f (x)0 函数 f(x)没有单调递增区间； 当 a0 时，令 f (x)0，得 00，得 2a 3 0 ，即 b0. 得 4a 3 27 4a 3 27 恒成立， b(4a 3 27 )max 43 3 27 4. 实数 b 的取值范围是( 4,0)