凸函数判定方法的研究要点.pdf

《凸函数判定方法的研究要点.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《凸函数判定方法的研究要点.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、凸函数判定方法的研究 i 凸函数判定方法的研究 鸡冠山九年一贯制学校 张岩 2013年 12 月 15日 凸函数判定方法的研究 ii 目录 摘要ii 关键词 ii Abstractii Key words ii 前言 iii 一、凸函数的基本理论1 1、 预备知识1 2、 凸函数的概念及性质2 二、凸函数的判定方法4 （一） 一元函数凸性的判定方法4 1、利用作图判断函数凸性4 2、其它判定方法5 （二） 多元函数凸性的判定方法8 1、多元凸函数的有关概念8 2、多元函数凸性的判定方法9 三、凸函数几个其他判定方法12 四、总结14 参考文献14 致谢15 凸函数判定方法的研究 iii 凸函数

2、判定方法的研究 摘要 : 凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图 像，而且可以用于不等式的证明。同时， 凸函数也是优化问题中重要的研究对象， 研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及 其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数 的一些基本概念和结论， 然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和 讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。 关键词： 凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理 Abstract: Convex function is a kind of very important fun

3、ctions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied

4、 to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexit

5、y of functions. Finally, some new principles are also given. Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem 凸函数判定方法的研究 iv 前言 提起凸函数 , 人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确, 凸函数是一个十分重要的数学概念, 它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有 广泛的应用。在数学分析和高等数学教材中, 函数的凹性和凸性一直都占据着重 要的位置 , 关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中. 凸函数是一类非常重要的函数，

6、广泛应用于数学规划， 控制论等领域， 函数 凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、 研究函数的图象以 及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支， 是在 50 年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的 兴起而发展起来的。 运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹 学的创始人定义运筹学是： “管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必 须使用的一种科学方法。 ”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线 性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度 等问题，以期发挥最大的效益。 随着科学技

7、术和生产的发展，运筹学已渗入很多 领域里，发挥了越来越重要的作用。 但是, 凸分析的局限性也是很明显的, 实际问 题中的大量函数是非凸的, 因此, 各种广义凸函数的定义相继出现, 特别是近年来 , “非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题, 它们是凸 分析的拓广和发展。 本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后 给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性， 接下来给出了一些一元函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些 等价条件， 接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸 性的几个其他的方法。 凸

8、函数判定方法的研究 1 一、凸函数的基本理论 （一）预备知识 1. 梯度：若n 元函数( )fx对自变量 12 (,) T n xx xx的各分量 i x 的偏导数 ( ) i f x x (1,2,)in都存在，则称函数( )f x在 x处一阶可导，并称向量 12 ( )( )( ) ( )(,) T n f xf xf x f x xxx ,., 为函数( )f x在 x处的梯度或一阶导数。 2 . Hesse 矩阵：若 n元函数( )fx具有二阶偏导数，即 2 ( ) ( ,1,2,) ij f x i jn x x ,都 存在，则称矩阵 222 11121 222 2 21222 22

9、2 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) n n nnnn f xf xf x x xx xx x f xf xf x f xxxxxx x f xf xf x xxxxx x 为( )f x在 x处的 Hesse矩阵（海色矩阵）。 3. 泰勒展式 （1）一阶泰勒展式：设( )f x在点 _ x处具有一阶连续偏导，则( )f x在点 _ x处的 泰勒展开式 _ ( )( )( )()()f xfxf x xxxx 其 中 _ ()xx为 变 量 _ xx的 高 阶 无 穷 小 量 _ ()xx， 或 者 _ ( )( )( ) () T f xf xfxx，

10、其中 _ ()(01)xxx。 （2） 二阶泰勒展式：设( )f x在点 _ x处二阶连续可微（或具有二阶连续偏导数） ， 凸函数判定方法的研究 2 则( )f x在点 _ x处的二阶泰勒展开式为 2 _ 21 ( )( )( ) ()()( )()() 2 TT f xf xf xxxxxf xxxxx 或者 _ 2 1 ( )( )( ) ()()( )() 2 TT f xfxf xxxxxfxx， 其中 _ ()(01)xxx。 （二）凸函数的概念及性质 定义 1.1 设函数( )f x在区间I上有定义 , 若 12 ,x xI , 总有 1212 11 () 22 fxxfxfx（1

11、.1 ） 则称( )fx为I上的凸函数 . 若在定义1.1 中当 12 xx 且不等式严格成立 , 则称 ( )f x为I上的严格凸函数 . 定义 1.2 设( )fx为定义在区间 I 上的函数 , 若对I 上的任意两点 12 ,x x 和任意 的0,1 总有 1222 (1)()1()fxxf xf x（1.2 ） 则称( )f x为I上的凸函数 . 若（1.2 ）改为严格不等式，则称( )f x为严恪凸函数 定义 1.3设函数( )f x在区间 I 上有定义 , 若 12 ,2 n x xxIn，总有 1212 + nn fxfxfxxxx f nn (1.3) 则称( )f x为I上的凸

12、函数 . 1凸函数的一些基本性质 （1）若xf1、xf2均为ba,上的凸函数，则xfxf 21 也是ba,上 的凸函数。 （2）设xf为ba,上的凸函数，k为正常数，则xkf也为ba,上的凸 凸函数判定方法的研究 3 函数。 （ 3）设xfu为ba,上的凸函数，ug在ba,上单调递增，且也为 ba,上的凸函数，则复合函数xfg也是ba,上的凸函数。 （4）若xfu是奇函数，且当0x时，xfu是凸函数，则当0x 时，xfu是凹函数。 （5）若xfu是偶函数，且当0x时，xfu是凸函数，则当0x 时，xfu是凸函数。 （6）若xfy是ba,上的连续递增的凸函数，则yfx 1 是递增的 凹函数。 （

13、7）若xfy是定义在区间ba,上的凸函数， 则xfy在ba,上连 续。 （8）若xfy是,上的凸函数且不恒为常数，则存在一点c使 得xfy在c,上递减，在 , c 上递增。 2凸函数的一些重要性质 性质 1.1设函数 fx 在I上连续 , 若 fx 是I上 Jensen 意义下的凸函数 , 则 12 ,x xI 及0,1 都有(1.2) 成立。 性质 1.2 (性质 1 的逆命题 )设 fx 是定义在区间 I 上的, 若对 12 ,x xI , 0,1 都有 1222 (1)()1()fxxf xf x，则 fx 在I内连续。 性质 1.3若 fx 在区间I上连续 , 且满足 21 12 21

14、21 xxxx fxfxfx xxxx 其中 12 ,x xI , 则 fx 是I上的凸函数。 性质 1.4若 fx 是闭区间 a,b 上有界的凸函数 , fx 在a,b 内必连续。 凸函数判定方法的研究 4 性质 1.5若函数 fx 是区间 I 上的连续凸函数 , 则有 1) 函数 fx 在I 内处处存在左、右导数 fx 与 fx , 且 fxfx ； 2) fx 与 fx 都是x的不减函数 . 二、凸函数的判定方法 （一）一元函数凸性的判定方法 1. 利用作图判断函数凸性 x3 x 2 x 1 B C A O 图1-1 上图是一个凸函数fx 的几何图像，其中 12 (1)xxx ， 1 (

15、)Af x， 2 ()Af x，(1)CAB。若函数( )yf x在区间I内有定义，如果对于 12 ,x xI ，连接 11 (,()xf x和 22 (,()xf x两点的弦都在介于这两点的弧段之下， 则可以判定（由定义 1.1 ）该函数在区间I内是凸函数。定义 1.1 是对凸函数的几 何特性的直观描述，可以通过作图判断函数的凸性。 2. 其它判定方法 引理 2.1f为I 上的凸函数的的充要条件是：对I 上的任意三点 123 xxx ， 总有 凸函数判定方法的研究 5 2132 2132 fxfxfxfx xxxx （2.1 ） 定理 2.1设函数 fx 在区间I可导, fx 在区间I内是凸

16、函数 12 ,x xI , 且 12 xx , 有 12 fxfx。 证明：必要性若 fx 在区间 I 上式凸函数，且 12 ,x xI 且 12 :x xxx ， 由（2.1 ）式有 12 12 fxfxfxfx xxxx 已知函数 fx 在 1 x 与 2 x 皆连续可导，根据极限保号性定理有 12 1 12 () fxfx fx xx 21 2 21 () fxfx fx xx 于是 1221 12 1221 ()() fxfxfxfx fxfx xxxx 充分性： 123 ,x xxI ，且 12 xxx ，根据微分中值定理， 121122 ,: xxx 有 1 1 1 () fxfx

17、 f xx 与 2 2 2 () fxfx f xx 。已知 12 ()()ff即 12 12 fxfxfxfx xxxx 由引理（ 2.1 ）知函数 fx 在I 上是凸的。 定理 2.2设函数 fx 在区间I可导, fx 在区间 I 内是凸函数曲线 yfx 位于它们的任意一点切线的上方。 证明：必要性 0 xI ，曲线( )yf x在点 00 (,()xf x的切线方程 000 ( )()()()y xf xfxxx，从而 000 ( )( )( )()()()f xy xf xf xfxxx= 00000 ( )()()()( )()()fxxfxxxffxxx，其中在 x与 0 x 之间

18、，若函 数( )f x在I 上是凸的，由定理 1，则 0 ( )()ffx与 0 xx 同号，于是xI，有 凸函数判定方法的研究 6 ( )( )0f xg x。即曲线( )yfx在其上任意点 00 (,()xf x的切线上方。 充分性 若 0 , x xI ，有 000 ( )( )( )()()()0f xy xf xf xfxxx，于是 12 , ,x x xI ，且 12 xxx ，有 12 12 fxfxfxfx xxxx 由引理 1， fx 在I 上是凸函数。 定理 2.3设函数 fx 在区间I上存在二阶导数 , fx 在区间I内是凸函数 xI, 有0fx。 证明：必要性 12 ,

19、x xI ，且 12 xx ，已知 fx 在区间 I 上是凸函数，根据 定理 2 有 12122 ()()()()f xfxxxf x与 21211 ()()()()f xfxxxf x 从而 21 12 21 ()() ()() () f xf x fxfx xx 即函数 ( )fx 在区间 I 上单调增加，于是又xI有0fx。 充分性 12 ,( , )x xa b ， 由泰勒公式， 2 2112121 ( ) ()()()()() 2! f f xf xfxxxxx 其中在 1 x 与 2 x 之间，已知xI有0fx，则 21121 ()( )( )()f xf xf xxx， 即 fx

20、 在区间 I 上是凸函数。 定理 2.4设 fx 在区间I上有定义 , 则 fx 在区间I内为凸函数当且仅当 123 ,x xxI ，且 123 xxx 有 213132 213132 fxfxfxfxfxfx xxxxxx 证明：必要性已知 fx 在区间 I 上为凸函数，有定义 13 ,x xI ，设 13 xx ，有 1313 (1)()1()fxxf xf x（2.2 ） 将 3121 2131 ()()()() ()() f xf xf xfx xxxx 乘以 21 ()xx移项变形可知： 3221 231 3131 ()()() xxxx f xf xf x xxxx （2.3 ）

21、凸函数判定方法的研究 7 可见 213 (,)xx x，令 21 31 xx xx 时，则 32 31 1 xx xx ， 3221 31312 3131 (1) xxxx xxxxx xxxx 从而由（ 2.2 ）式可推到（ 2.3 ）式。 同理类推，由（ 1.2）得 3132 3132 ()()()()f xf xf xf x xxxx 。 充分性 123 ,x xxI 且 123 xxx ，有 213132 213132 fxfxfxfxfxfx xxxxxx 若(0,1)x，令 231 (1)xxx ，则 21 31 xx xx ， 从而由（ 2.3 ）式可推到（ 2.2 ）式。 同理

22、类推，由 3132 3132 ()()()()f xf xf xfx xxxx 推得（ 2.2 ）式。 定理 2.5 若 fx 在区间I上连续 , 且满足 11 22 1 10 1 xfx xfx xfx 其中 12 ,x xI , 则 fx 是I上的凸函数。 下面举几个例题说明这些判别方法的使用。 例 2.1 求证,a bR，有 1 () 2 a bab eee 证明：,a bR， 不妨设ab， 考察函数 x ye ， 因为0 x yye， 故 x ye 是R上的凸函数。 令 1 xa， 2 2 ab x， 3 xb，由定理 2.5 知 11 22 33 1() 1()0 1() xf x

23、xf x xf x ， 凸函数判定方法的研究 8 即 2 1 10 2 1 a a b b ae ab e be ， 故 2 1 00 2 0 a a b a ba ae ba ee baee ， 故 2 ()()()0 2 a b baaba eeba ee， 所以 2 1 () 2 a b baa eeee， 因此 1 () 2 a bab eee。 例 2.2 证明不等式 1 ()() (0,0,1) 22 nnn xy xyxyxy n成立。 证明： 取函数( ),(0,) n f ttt 12 ( ),( )(1),(0,) nn ftntftn ntt 当1n时， ( )0ft，(

24、0,)t 因此，( ) n f tt 在(0,)内是凸函数， 故对任何0,0,xyxy，恒有 1 ( )( )() 22 xy f xfyf， 即不等式 1 ()() (0,0,1) 22 nnnxy xyxyxy n成立 （二）多元函数凸性的判定方法 1. 多元凸函数的有关概念 定义 2.1设 n DR, 对 12 ,xD xD , 数0,1 , 1 x 及 2 x 为n维向量 , 若均 凸函数判定方法的研究 9 有 12 (1)xxD , 则称D为凸集 , 即如果D中的任意两点 1 x , 2 x 的连线也在D 内, 则称D为 n R中的一个凸集。 多元凸函数的定义可由一元凸函数的定义推广

25、得到。 定义 2.2设 n DR为非空凸集 ,(0,1)x yD, 若有 (1) )( )1( )fxyf xf y , 则( ,)f x y为D上的凸函数；若上述为严格不等式 , 则( ,)f x y是D上的严格凸 函数。 我们可以利用函数的梯度和二阶偏导数矩阵(Hesse 矩阵 )来判断多元函数 的凸性。 2. 多元函数凸性的判定方法 定理 2.6设xf为凸集 n RD内可微函数， 则xf为D内的凸函数的充 要条件是：对xxfxfxxf,Dxx,Dx T ，其中 1 2 n x x x x 1 2 n x x x x 1 2 n f x f xgradfx f x 12 (,) T n x

26、xxx ， 证明： 必要性设( )f x为D 内的凸函数，对0,1 ，恒有 ()(1) ()(1)( )fxxxf xxf x ()( ) ()( ) f xxf x f xxf x 令从正趋向于 0，则 0 ()( ) lim( ) Tf xxf x f xx，所以 ( )()( ) T f xxf xxf x 充分性设xD，xxD，有()( )( ) T f xxf xf xx 成立。 设 12 ,x xD ，令 12 (1)xxx ，01，则 凸函数判定方法的研究 10 11 ()( )( ) () T f xf xf xxx（2.6 ） 22 ()( )( ) () T f xf xf

27、 xxx（2.7 ） （2.6 ）+(1)（2.7）式得： 12121 ()(1) ()( )( ) ()(1)() T f xf xf xf xxxxx 或 12 ()(1) ()( )f xf xf x 即 1212 ()(1)()(1)f xf xfxx 所以，( )f x是D内的凸函数。 定理 2.7( )f x是定义在凸集 n DR内的二次可微函数 , 则( )fx为D内的凸 函数的充要条件为( )f x的二阶偏导数矩阵 2 fx处处半正定。类似的，( )f x为 D内严格凸函数的充要条件为 2 fx处处正定。 证明： 必要性设 2 ( )Af x ，对任意的x，由泰勒公式得： 1

28、()( )( ) 2 TT f xxf xf xxx A x 由题意知()( )( ) T f xxf xf xx ，所以0 T x A x， 即 2 ( )Af x 处处半正定。 充分性由泰勒公式得 1 ()( )( ) 2 TT f xxf xf xxx A x 若A处处半正定，对任意x，恒有0 T x A x，则()( )( ) T f xxf xf xx 由定理 2.6 知，( )f x为D内的凸函数。 例 2.3 求证：二元函数 22 ( , )2f x yxxyyxy为 2 R上的凸函数。 （证法一）证明：因为 221 ( , )11 222 xx f x yxy yy ， 凸函数

29、判定方法的研究 11 令 1 ( , )( ) 2 f x yf xxxb x，其中 x x y ， 22 22 ， 1 1 b 。 任取 122 12 12 , aa xxR bb ，(0,1)t，则 12 1212 2 11221122 (1) (1),(1) ( ()(1)()()(1)() f txt x f tat a tbt b t abt abt abtab 12 22 11221122 ()(1)() ()(1)()()(1)() tf xt f x t abtabt abt ab 利用一元函数 2 ( )g xx 为xR上的凸函数可知 2 1122 22 1122 ( ()(

30、1)() ()(1)() t abtab t abtab 因此二元函数 22 ( ,)2f x yxxyyx y为 2 R上的凸函数。 （证法二）证明： 22 2 22 2 22 22 zz xx y A zz x yy ，因为 2 2 20 z x ，det0A， 则A为半正定，所以二元函数 22 ( , )2f x yxxyyxy为 2 R上的凸函数。 例 2.4 求函数 222 ( , )10(4 )(1 4 )f x yyxy的极小值。 解： 首先讨论( , )f x y的凸性，求出它的 Hesse矩阵 22 2 2 22 2 320160 16012016032 zz yxx y A

31、 yyx zz x yy 因为 2 2 3200 z x ， 2 det2560(5204)Ayx 当det0A时，A为正定，即 2 52040yx是( , )f x y为严格凸函数的条件。 凸函数判定方法的研究 12 令 ( , )0 x fx y， ( , )0 y fx y，即 11 , 644 xy，而 11 , 644 xy满足不等式 2 52040yx，所以( , )f x y有唯一极小值， 11 (,)0 64 4 f。 三、凸函数几个其他判定方法 定义3. 1令 n SR是一个非空集，:fSR ,epifx afxa xS aR称集合 1n epifR是f的上图像。 定理 3.

32、1 令 n SR是一个非空凸集 , :fSR在S上是凸的当且仅当f的 上图像epif是凸集。 证明：充分性因为f在S上是凸的，对 121122 ,(,),(,),(0,1)x xS x ax aepif 有 121212 (1)()1()(1)fxxf xf xxx 由于S是凸集，故 12 (1)xxS，则 1212 (1),(1)xxaaepif 即f是凸的。 必要性因为epif是凸的，对 121122 ,(,(),(,(),(0,1)x xSxf xxf xepif，有 1212 (1),()(1)()xxf xf xepif 即 1212 (1)()1()fxxf xf x 得证。 定理

33、 3.2设 n SR为一非空凸集合 , :fSR为凸的当且仅当对v, 函数 :h SR, h tfxtv 在t xtvS 上是凸的。 定理 3.3设 n SR为一非空开凸集合 , :fSR在S上可微 , 则f 为凸的当且 仅当对 1221121 , T xxS fxfxfxxx 。 凸函数判定方法的研究 13 定义 3.2令: nn fSRR , 0 SS。 称f 在S上是单调的 , 若对 0 , x yS , 有0 T fxfyxy成立。 定理 3.4设 n SR为一非空开凸集合 , :fSR在S 上可微 , 则f 在S上为 凸的当且仅当 f 单调, 即对 12 ,x xS, 有 1212

34、0 T fxfxxx。 例 3.1函数 1 ( ) 2 TT fxx Axb xc，其中() ijnn Aa为半正定的对称阵， 12 (,) T n bb bb为给定的常向量，为常数，则( )f x为凸函数。 证明：利用定理 3.4来验证。 1212 (,),(,)xx xyy yS有 ( ) TT f xA xb ，( ) TT f yA yb ， 1122 (,) T xyxy xy 则( )( )() T f xfyAxy ， 于是 ( )( )()()() T f xf yxyxy Axy ，由于() ijnn Aa为半正定的对 称阵，于是 ()()0 T xy Axy，即( )( )

35、()0f xfyxy，所以( )f x为凸函 数。 凸函数判定方法的研究 14 四、总结 凸函数在整个优化问题的研究， 以至于在工程和金融管理方面都发挥着重要 的作用，因为许多提炼出来的数学模型归根结底是优化问题的求解，而凸规划又 是优化问题的一个重要分支，凸函数的判定又是这一切研究工作的基础。 本文主要研究判定函数凸性的一系列充分必要条件。首先，回顾一些对判定 函数凸性有用的概念，如梯度、 Hesse 矩阵及泰勒展式等。其次，给出凸函数的 几个等价定义，并讨论它们的等价性。 接下来对凸函数的性质做一个简单的介绍， 然后提出几个有利用价值的重要的性质，为后文判断函数的凸性提供了研究的理 论基础

36、。再次，给出本文的重点，既，凸函数的判定方法，第一部分说明利用函 数的图像可以判断函数的凸性，这里只是做了简单介绍， 而不是本文重点， 第二 部分给出一元函数凸性的判定方法，给出了五种不同的判定方法， 其中每种方法 都有其优点，相应的给出例题说明遇到不同问题时， 使用的判定方法也不尽相同。 接下来，介绍了多元凸函数的有关概念， 并且研究了多元函数凸性的判定方法及 其应用。最后，给出了凸函数的几个其他的判定方法，并且给出实例加以应用和 验证。 参考文献 1 宋方 . 关于凸函数的定义和性质. 数学的实践与认识，2007（4）： 189-194. 2 罗驰 . 凸函数的几个新判定方法. 乐山师范学

37、院学报，2007（5）： 11-12. 3 曾明，范周田. 关于凸函数定义的几点思考. 高等数学研究，2010（7）： 94-96. 4 冯艳青 . 多元函数凸性的判断及应用. 西南民族学院学报（自然科学版），2001（11）： 474-475. 5 陈晓东 . 关于凸函数的问题注记. 渝西学院学报（自然科学版），2003（ 12）： 37-40. 6 陈太道 . 凸函数判定及其应用. 临沂师范学院学报，2002（6）： 90-92. 7 华东师范大学数学系. 数学分析第三版（上）. 高等教育出版社，2008（ 4）： 148-153. 8 华东师范大学数学系. 数学分析第三版（下）. 高等教

38、育出版社，2008（ 4）： 124-140. 9 袁亚湘，孙文瑜. 最优化理论与方法. 科学出版社，1999（5）： 26-46,599-605. 凸函数判定方法的研究 15 致谢 本论文从选题、设计到最后的定稿都是在我的指导老师沈洁老师的亲切 关怀和悉心指导下完成的。 他严肃的科学态度， 严谨的治学精神， 精益求精的工 作作风，深深地感染和激励着我。 沈洁老师不仅在学业上给我以精心指导，同时 还在思想、生活上给我以无微不至的关怀， 在此谨向沈洁老师致以诚挚的谢意和 崇高的敬意。 在论文即将完成之际， 我的心情无法平静， 从开始进入课题到论文的顺利完 成，有多少可敬老师、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意! 最 后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们! 最后，再次对关心、帮助我的同事表示衷心地感谢！