《北师大版数学【选修2-3】练习：1.4简单计数问题(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学【选修2-3】练习：1.4简单计数问题(含答案).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章4 一、选择题 14 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任 选一道作答，选甲答对得100 分，答错得 100 分；选乙答对得90 分，答错得90 分若 4 位同学的总分为0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是() A48 种B36 种 C24 种D18 种 答案 B 解析 本题是考查排列组合及相关分类的问题 设 4 人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1 人答错，则有A 4 424(种) 设 4 人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C 2 4C 2 212(种 ) 4 位同学得总分为0 分的不同情况有 241236(种)故选 B. 2将
2、5 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2的两个盒子里，使得放入每个盒子 里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有() A15 种B20 种 C25 种D32 种 答案 C 解析 就编号为1 的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1 的盒子中放入 一个球时，相应的放法数有C 1 5种；第二类，当编号为 1 的盒中放入2 个球时，相应的放法 数有 C2 510 种； 第三类，当编号为 1 的盒子中放入3个球时， 相应的放法数有C3 510 种根 据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5 101025. 3(2014 秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2 个英
3、文字母后接4 个数 字组成，其中4 个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有() A(C 1 26) 2A4 10个 BA 2 26A 4 10个 C(C 1 26) 2104 个DA 2 2610 4 个 答案 A 解析 前两位英文字母可以重复，有(C 1 26) 2 种排法，又后四位数字互不相同， 有 A 4 10种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码 (C 1 26) 2A4 10个 二、填空题 4将 5 位志愿者分成3 组，其中两组各2 人，另一组1 人，分赴世博会的三个不同场 馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答 ) 答案 90 种 解析 本题考查了排列组合中的平均分
4、组分配问题，先分组 C 2 5C 2 3C 1 1 A 2 2 ，再把三组分配乘 以 A 3 3得： C 2 5C 2 3C 1 1 A 2 2 A 3 390 种 5将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列， 记第 i 个数为 ai(i1,2， , ， 6)若 a11，a33， a5 5， a1a3a5，则不同的排列方法有 _种 (用数字作答 ) 答案 30 解析 本题主要考查用排列知识解决问题的能力第一类：a1 2 时， a34，a56 或 a35， a56，共有 2A 3 312(种 ) 第二类： a13 时， a34，a56 或 a35，a5 6，共有 2A 3 312(种 ) 第三类
5、： a14 时， a35，a56，共有 A3 36(种) 所以总的排列方法有1212630(种) 三、解答题 6男运动员6 名，女运动员4 名，其中男女队长各1 人，选派 5 人外出比赛，在下列 情形中各有多少种选派方法？ (1)男 3 名，女 2 名； (2)队长至少有1 人参加； (3)至少有 1 名女运动员； (4)既要有队长，又要有女运动员 分析 此题中选的5 人与顺序无关，是组合问题 解析 (1)C 3 6C 2 4120 种不同的选派方法 (2)分为两类：仅1 名队长参加和两人都参加： 共 C1 2C 4 8 C 3 8196 种不同的选派方法 (3)全部选法中排除无女运动员的情况
6、： 共 C4 10C 5 6246 种不同的选法 (4)分三类：仅女队长：C 4 8； 仅男队长：C4 8C 4 5； 两名队长：C3 8； 共 C 4 8C 4 8C 4 5C 3 8191 种不同的选派方法 点评 本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中 包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑. 一、选择题 1某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4 条，省外路线有5 条， 则参加该旅游团的游客的旅游方案有() A4 种B5 种 C9 种D20 种 答案 C 解析 游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4
7、种方法第二类：选省 外路线，有5 种方法由加法原理可知，游客的旅游方案有459 种 2(2014 重庆理， 9)某次联欢会要安排3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和1 个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A72B120 C144D168 答案 B 解析 分两类： (1)先排歌舞类有A 3 36 种排法，再将其余的三个节目插空，如图所 示，或者 ，此时有 2A 3 3A 3 372；(2)先排歌舞类有A 3 36 种排法， 其余的两个小品与歌舞排法如图 ，或者 ，有 4A 3 3C 1 248.所以共 有 7248120 种不同的排法 解决不相邻的排列问题，一般是运用插空
8、法，解决本题容易 忽略了第二类，导致出差 3 (2012 山东理，11)现有 16 张不同的卡片， 其中红色、 黄色、蓝色、绿色卡片各4 张从 中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同取法的种数为 () A232 B252 C472 D484 答案 C 解析 本题考查了利用组合知识来解决实际问题 C 3 164C 3 4C 2 4C 1 12 1615 14 6 167256088 472. 另解： C 0 4C 3 123C 3 4C 1 4C 2 12 121110 6 12 4 1211 2 22026412472. 解题时要注意直接求解与反面求解相
9、结合，做到不漏不重 4.如图 A，B，C，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小 岛连接起来，则不同的建桥方案共有() A8 种B12 种 C16 种D20 种 答案 C 解析 如图，构造三棱锥ABCD；四个顶点表示四个小岛，六条棱 表示连接任意两岛的桥梁由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法这 可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C 3 6种，任取三条共面棱的不同取法 有 4 种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C3 6416 种故不同的建桥方 案共有 16 种 点评 此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思 想 二、填
10、空题 5有 4 张分别标有数字1,2,3,4 的红色卡片和4 张分别标有数字1,2,3,4 的蓝色卡片， 从 这 8 张卡片中取出4 张卡片排成一行如果取出的4 张卡片所标数字之和等于10，则不同 的排法共有 _种(用数字作答 ) 答案 432 解析 因为 101234 2233 1144，即数字之和为10 的情况有 4,4,1,1； 4,3,2,1；3,3,2,2，共三种 若为 1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2222 种可能，然后再排列它们，每一 种可能有 A 4 4种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有 2222A 4 4384 种； 若为 2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，
11、方法是唯一的，再排列它们有A 4 4种排法； 若为 1,4,1,4 也有 A 4 4种排法 所以共有 384A 4 4A 4 4432 种不同的排法 6今有 2 个红球、 3 个黄球、 4个白球，若同色球不加以区分，将这9 个球排成一列共 有_种不同的方法(用数字作答 ) 答案 1260 解析 方法一：只需找到不同颜色的球所在的位臵即可，共有C 2 9C 3 7C 4 41260 种方法 方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的 顺序即可，则将这9 个球排成一列共有 A 9 9 A 2 2A 3 3A 4 4 1260 种不同的方法 三、解答题 7有四个不
12、同的数字1,4,5，x(x0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和 为 288，求 x 的值 解析 因为 1,4,5，x 四个数字不同，排成的四位数中1 在千位上、百位上、十位上、 个位上分别有A 3 3个，所在的 1 的和共为 4A 3 324. 同理，排成的四位数中4 在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A3 3个，所以，所 在的 4 的和共为44A 3 396. 所在的 5 的和共为54A 3 3120. 所在的 x 的和为 x4A 3 3 24x. 即 24x1209624288，解得： x2. 8“抗震救灾， 众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从 10 名医疗专家中抽调6 名
13、奔赴 灾区救灾，其中这10 名医疗专家中有4 名是外科专家问： (1)抽调的 6 名专家中恰有2 名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？ 分析 本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”、“至少”、 “至多”的含义， 正确地分类或分步解决 解析 (1)分步：首先从4 名外科专家中任选2 名，有 C 2 4种选法，再从除外科专家的 6 人中选取4 人，有 C 4 6种选法， 所以共有 C2 4 C 4 690 种抽调方法 (2)“至少 ” 的含义是不低于，有两种解答方法， 方法一 (直接法 )：按选取的
14、外科专家的人数分类： 选 2 名外科专家， 共有 C 2 4 C 4 6种选法； 选 3 名外科专家，共有C 3 4 C 3 6种选法； 选 4 名外科专家，共有C 4 4 C 2 6种选法； 根据分类加法计数原理，共有 C 2 4 C 4 6C 3 4 C 3 6C 4 4 C 2 6185 种抽调方法 方法二 (间接法 )：不考虑是否有外科专家，共有C6 10种选法，考虑选取 1 名外科专家参 加，有 C1 4 C 5 6种选法；没有外科专家参加，有 C6 6种选法，所以共有： C 6 10C 1 4 C 5 6C 6 6185 种抽调方法 (3)“至多 2 名”包括 “没有 ”、“有 1
15、 名” 、“有 2 名”三种情况，分类解答 没有外科专家参加，有C 6 6种选法； 有 1 名外科专家参加，有C1 4 C 5 6种选法；有 2 名外科专家参加，有C2 4 C 4 6种选法 所以共有 C6 6C 1 4 C 5 6 C 2 4 C 4 6115 种抽调方法 9.将红、黄、蓝、白、黑5 种颜色涂在如图所示的“田”字形方格内，每格 涂一种颜色，且要求相邻的两格涂不同的颜色如果颜色可以反复使用，共有多 少种不同的涂色方法？ 解析 根据所需颜色种数分为三类： (1)若用四种颜色，则四格涂不同的颜色，方法种数为A 4 5种 (2)若用三种颜色，则有且仅有两格涂相同的颜色，即一组对角小方格涂相同的颜色， 涂法种数为2C 1 5 A 2 4种 (3)若用两种颜色，则两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A 2 5种 因此，总的涂法种数为：A 4 5 2C 1 5 A 2 4A 2 5260(种 ) 点评 根据用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再根据分类加法 计数原理求出总的涂法种数