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1、第 8 课时平面向量应用举例 1.能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系. 2.会用向量知识解决一些物理问题. 向量概念有明确的物理背景和几何背景, 物理背景是力、速度、加速度等, 几何背景是有向线段, 可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的,正因为如此 , 利用向量可以解决一些物理和几 何问题 , 在平面几何中 , 平行四边形是大家熟悉的重要的几何图形,而在物理中 , 受力分析则是其中最基 础的知识 , 那么在本节的学习中, 借助同学们非常熟悉的内容来学习向量在几何与物理问题中的应用. 问题 1: 利用向量法解决几何问题的一般步骤如何? 向量法解决几何问题的“三步曲
2、”. ( 1) 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 把平面几何问题转化为向量 问题 ; ( 2) 通过向量运算 ,研究几何元素之间的关系; ( 3) 把运算结果 “翻译 ”成几何关系. 问题 2: 向量法可以解决几何中的哪些问题? 平面几何中的距离( 线段长度 ) 、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得. 问题 3: 向量在物理中的应用, 其步骤如何 ? ( 1) 建模 :把物理问题转化为问题 ; ( 2) 解模 :解答得到的数学问题; ( 3) 回答 :利用解得的数学答案解释现象. 问题 4: 如何应用向量知识解决力学问题和速度问题? 应用向量知
3、识解决力学问题, 首先要对物体进行正确的分析 , 画出受力分析图形, 在此基 础上转化为向量问题; 应用向量知识解决速度问题, 首先要对物体运动的速度进行合理的合成与, 结合运动学原 理, 转化为数学问题. 1.已知点O为三角形ABC所在平面内一点 , 若+=0, 则点O是三角形ABC的(). A.重心B.垂心C.内心D.外心 2.如图所示 , 用两条成 120 角的等长的绳子悬挂一个灯具, 已知灯具的重量为10 N, 则每根绳子的拉力 大小是 (). A.5 N B.5N C.10N D.10 N 3.若向量=( 2, 2),=(-2, 3) 分别表示两个力F1,F2, 则|F1+F2|=.
4、 4.求证 : 平行四边形对角线互相平分. 利用向量证明线段垂直 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点 ,E是AB上的点 , 且AE=2BE, 求证 :ADCE. 利用向量证明长度相等 如图 , 四边形 ABCD是正方形 ,P是对角线DB上的一点 ( 不包括端点 ),E,F分别在边BC,DC上, 且四边形 PFCE是矩形 , 试用向量法证明PA=EF. 向量在物理中的应用 如图所示 , 重力为 300 N 的物体上系两根绳子, 这两根绳子在铅垂线的两侧, 与铅垂线的夹角分别 为 30 , 60, 求重物平衡时 , 两根绳子拉力的大小. 如图 , 在正方形ABCD中,P是对角线B
5、D上的一点 ,PFCE是矩形 ,求证 :PAEF. 如图 , 平行四边形 ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点 ,BE、BF分别与AC交于R、T两 点, 你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗 ? 已知两恒力F1=( 3, 4),F2=( 6,-5) 作用于同一质点 , 使之由点A( 20, 15) 移动到点B( 7, 0), 试求 : ( 1)F1,F2分别对质点所做的功; ( 2)F1,F2的合力F对质点所做的功. 1.设a,b是非零向量 , 若函数f(x)=(xa+b) (a-xb) 的图象是一条直线, 则必有 (). A.ab B.abC.|a|=|b|D.|a|b| 2.在四
6、边形ABCD中, 若+=0,=0, 则四边形的形状为(). A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形 3.如图 , 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y, 则x=,y=. 4.一轮船欲横渡某条江, 到达起始点的正对面岸边, 已知江水流速为3 km/h , 船的静水速度为6 km/h. ( 1) 求轮船的航行方向; ( 2) 若江面宽2km, 求轮船到达对岸所需要的时间 . ( 2010年江苏卷 )在平面直角坐标系xOy中, 点A(-1,-2),B( 2, 3),C(-2,-1). ( 1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; ( 2) 设实数t满足 (-t) =0
7、, 求t的值. 考题变式 ( 我来改编 ): 答案 第 8 课时平面向量应用举例 知识体系梳理 问题 3: ( 1) 数学( 3)物理 问题 4: 受力分解 基础学习交流 1.A设AB的中点为D, 由已知得=-(+)=-2, 即|=2|, 故点O是三角形ABC的重 心. 2. D如图 , 两力相等 , 夹角为 120 , 以两力所在向量为边作平行四边形 ABCD, 则可得它是有一内角为 60 的菱形 , 合力与灯具的重量大小 相等、方向相反 , 故每根绳子的拉力为10 N. 3.5F1+F2=( 2, 2)+(-2, 3)=( 0, 5),| F1+F2|=5. 4.解: 在平行四边形ABCD
8、中,M为对角线AC与BD的交点. 设=x,=y(x,yR), =+ , =x+x. 又 =+=+y =+y(-)=( 1-y)+y. 与不共线 , 由平面向量基本定理知, 解得 =,=. 故点M为AC、BD的中点 , 即平行四边形对角线互相平分. 重点难点探究 探究一 : 【解析】 ( 法一 )( 基向量的方法 ) =(+) (+) =(-) (+-) =(-) (+) =-. BCCA,=0, 又BC=CA, |=|,=(| 2-| | 2) =0, , 即ADCE. ( 法二 )( 坐标的方法 ) 以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设|=|=a, A(a, 0),B( 0,
9、a),E( ,),D( 0, ), =( ,),=(-a, ). =-+ =-+=0, , 即ADCE. 【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达,如证 明两条线段垂直 ,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零,证明两条直线平行可以使用共线向 量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标的方法. 探究二 : 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,| |= ( 0), 则A( 0, 1),P( , ), E( 1,),F(, 0), =(-, 1-),=( -1,-), |=, |=, |=|, PA=EF
10、. 【小结】 用向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,并利 用向量的数量积和公式|a| 2=a2 求解 ;二是建立坐标系 ,确定相应向量的坐标,代入向量的模的公式即可. 探究三 : 【解析】 如图 , 作?OACB, 使AOC=30, BOC=60. 在OAC中, ACO=BOC=60, OAC=90, 所以| |=|cos 30=300=150 ( N), |=|sin 30=300 =150( N),|=|=150( N ). 即与铅垂线成30的绳子的拉力是150N, 与铅垂线成60的绳子的拉力是150 N. 【小结】力是向量 ,几个分力形成的合力符合向
11、量加法的平行四边形法则,在解决与力有关的问题时 要注意力的合成与分解. 思维拓展应用 应用一 : ( 法一 )( 基向量的方法 ) 设 =a,=b,根据已知|a|=|b| 且ab=0. 设= a, 则=(a+b),= b, 所以=-= a-(a+ b)=( -1)a- b, =-=(a+b)-b= a+( -1)b. 所以 = a+( -1)b( -1)a- b=( 2- )a 2-( 2- )b 2= 0.所以PAEF. ( 法二 )( 坐标的方法 ) 以点D为坐标原点 ,DC所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角坐标系 , 设正方形的边长为1,| |= ( 0), 则A( 0, 1),P(
12、 , ),E( 1, ),F( , 0), 于是 =(- , 1- ), =( -1,- ), =(-)( -1)+( 1-) (-) =-( -1+1-)=-0=0. PAEF. 应用二 : 设=a,=b, 则=a+b. 由与共线 , 因此存在实数m, 使得=m(a+b). 又由与共线 , 因此存在实数n, 使得=n=n(b-a). 由 =+=+ n , 得m(a+b)=a+n( b-a). 整理得 (m+n-1)a+(m- n)b=0. 由于向量a、b不共线 ,所以有 解得 所以 =.同理=. 于是=.所以AR=RT=TC. 应用三 :=( 7, 0)-( 20, 15)=(-13,-15
13、), ( 1)W1=F1=( 3, 4) (-13,-15)=-99, W2=F2=( 6,-5) (-13,-15)=-3. ( 2)W=F =(F1+F2) =(9,-1) (-13,-15)=-102. 基础智能检测 1.Af(x)=(x a+b) (a-xb)=-ab x 2+ (|a| 2-|b|2) x+ab, 若函数f(x) 的图象是一条直线, 即其二次项 系数为 0,ab=0,ab. 2.B+=0,=,四边形ABCD为平行四边形 ,=0,对角线垂 直,四边形为菱形. 3.作DFAB, 设AB=AC=1?BC=DE=,DEB=60, BD=.由DBF=45解得 DF=BF=, 故
14、x=1+,y=. 4.解: ( 1) 设江水、船在静水中的速度向量分别为、, 如图, 以OA、OB为边作平行四边形, 则由平行四 边形法则知船的横渡江的速度向量为. , sinBOC= =, BOC=30,AOB=120 , 即轮船的航行方向与江水流速的方向成120 角. ( 2) 由( 1) 知轮船速度向量为, 且|=|cos BOC=6cos 30 =3, 则所求轮船到达对岸所需的时间 t= h. 全新视角拓展 ( 1)|BC|= =4. 线段BC的中点坐标为 E(0,1). 2|AE|=2=2. 以线段 AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长为 4, 2 . ( 2)=(-2,-1),=( 3, 5). (-t) =-t, 易求=-11,=5, 由(-t) =0, 得t=-.