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1、第 5 课时平面向量的坐标表示及其运算 1.掌握向量的正交分解及坐标表示, 理解直角坐标系中的特殊意义 . 2.理解向量坐标的定义, 并能正确用坐标表示坐标平面上的向量,对起点不在原点的平面向量能利用向 量相等的关系来用坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 4.理解用坐标表示平面向量共线的条件. 足球运动员在踢足球的过程中, 将球踢出时的一瞬间的速度为 .能否建立适当的坐标系, 表示踢出时 的水平速度和竖直速度?能不能用水平方向和竖直方向的单位向量来表示这个速度呢? 问题 1: 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个的向量的线性表示, 叫作向量的正交分解, 向量的正交分解
2、是平面向 量基本定理的特例, 即当基底e1、e2时的情况. 问题 2: 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内, 分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底 ,a为坐标平面内的任 意向量 , 如图 , 以坐标原点 O为起点作=a, 由平面向量基本定理可知 ,一对实数 x,y, 使得 =, 因此a=xi+yj.我们把实数对叫作向量a的坐标 , 记作. 问题 3: 平面向量在坐标表示下的线性运算 ( 1) 向量和的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b= . 即两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. ( 2) 向量差的坐标运算:若a=(x1,y1),b=
3、(x2,y2), 则a-b=. 即实数与向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 . ( 3) 实数与向量的积的坐标运算: 设R,a=(x,y), 则 a= . 即实数与向量的乘积的坐标分别等于实数与相应坐标的乘积. ( 4)的坐标表示 : 若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 =-=. 即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标 . 问题 4: 如何用坐标表示两个平面向量共线? 由向量的共线定理可知: 若a,b(b0) 共线 , 则存在唯一的实数使得.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 0, 则(x1,y1)=(x2,y2)= , 得即两式相减 消去得, 这就是两个
4、向量平行的条件.由于规定向量可与任一向量平行, 所以在应 用时可以去掉 b0, 即: 当且仅当x1y2-x2y1=0 时, 向量a,b共线.若x20, 且y20( 也可写作x2y20), 则 x1y2-x2y1=0 可以写成( 两向量平行的条件是相应坐标). 1.已知i、j分别为与x轴正方向、y轴正方向相同的两个单位向量, 若a=( 3, 4), 则a可以用i、j表示为 (). A.a=3i+4jB.a=3i-4jC.a=-3i+4j D.a=4i+3j 2.已知平面向量 a=( 1, 2),b=(-2,m), 且ab, 则 2a+3b=( ). A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4
5、,-8)D.(-5,-10) 3.设a=( 1, 2),b=( 2, 3), 若向量 a+b与向量c=(-4,-7) 共线 , 则=. 4.( 1) 设向量a,b的坐标分别是 (-1, 2),(3,-5), 求a+b,a-b, 2a+3b. ( 2) 设a,b,c的坐标分别是 ( 1,-3),(-2,4),( 0, 5), 求 3a-b+c的坐标. 平面向量的正交分解 在直角坐标系 xOy中, 向量a,b的位置如图所示 , 已知|a|= 4,|b|=3, 且AOx=45 , OAB=105, 分 别求向量a,b的坐标及A、B点的坐标. 平面向量的坐标运算 已知点A(-1, 2),B( 2, 8
6、) 及=,=-, 求点C、D和的坐标. 平行向量的坐标运算 已知四边形ABCD的顶点依次为A( 0,-x),B(x2, 3),C(x, 3),D( 3x,x+4), 若ABCD,求x的值. 在平面内以点O的正东方向为x轴的正方向 , 正北方向为y轴的正方向建立直角坐标系.质点在平面内 做直线运动.分别求下列位移向量的坐标. ( 1) 用向量表示沿东北方向移动了2 个长度单位 ; ( 2) 用向量表示沿西偏北60方向移动了3 个长度单位 ; ( 3) 用向量表示沿东偏南30方向移动了4 个长度单位. 已知A、B、C的坐标分别为A( 2,-4) 、B( 0, 6) 、C(-8, 10), 求向量+
7、2-的坐标. 已知a=( 1, 2),b=(-3, 2), 当k为何值时 ,ka+b与a-3b平行 ?平行时它们是同向还是反向? 1.设向量=(-2,-5), 若点A的坐标为 ( 3, 7), 则点B的坐标为 (). A.( 5, 12)B.( 12, 5)C.( 2, 1)D.( 1, 2) 2.已知点 A( 1, 3),B( 4,-1), 则与向量 同方向的单位向量为(). A.( ,-)B.( ,-)C.(-, )D.(-, ) 3.已知边长为单位长度的正方形ABCD, 若A与坐标原点重合 , 边AB,AD分别落在x轴、y轴正方向上 , 则 向量 2+3+的坐标为. 4.已知平行四边形A
8、BCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为 (-2, 1) 、(-1, 3) 、( 3, 4), 求顶点D的坐标. ( 2013年陕西卷 )已知向量a=( 1,m),b=(m, 2),若ab, 则实数m等于 (). A.-B.C.-或D.0 考题变式 ( 我来改编 ): 答案 第 5 课时平面向量的坐标表示及其运算 知识体系梳理 问题 1: 相互垂直垂直 问题 2: 有且仅有 xi+yj (x,y) a=(x,y) 问题 3: ( 1)(x1+x2,y1+y2)( 2)(x1-x2,y1-y2)( 3)(x,y)( 4)(x1-x2,y1-y2) 问题 4:a= b(x 2,y2) x 2 y 2
9、 x1y2-x2y1=0零=成比例 基础学习交流 1.Aa=( 3, 4)=3i+4j. 2.C由a=( 1, 2),b=(-2,m), 且ab, 得 1 m=2(-2) ?m=-4, 从而b=(-2,-4), 那么 2a+3b=2( 1, 2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 3.2 a+b=(+2, 2+3) 与c=(-4,-7) 共线 ,(+2)(-7)-( 2+3)(-4)=0, 解得=2. 4. 解:( 1)a+b=(-1, 2)+( 3,-5)=(-1+3, 2-5)=( 2,-3),a-b=(-1, 2)-( 3,-5)=(-1-3, 2+5)=(-4, 7), 2a+3b=
10、2(-1, 2)+3( 3 ,-5)=(-2+9, 4-15)=( 7,-11). ( 2) 3a-b+c=3( 1,-3)-(-2, 4)+( 0, 5)=( 3,-9)-(-2, 4)+( 0, 5)=( 3+2+0,-9-4+5)=( 5,-8). 重点难点探究 探究一 : 【解析】 设a=(a1,a2), b=(b1,b2), AOx=45,a 1=|a|cos 45=4 =2, a2=|a|sin 45=4=2, a=( 2, 2)=, A点的坐标为 ( 2, 2). 将b的起点平移至原点, 令b的终点为B, 由题意可知 BOx=120, 所以b1=|b| cos 120 =3(-)
11、=-, b2=|b|sin 120 =3=, b=(-,). 又b= =- , =b+=( 2-, 2+). 故a=( 2, 2),b=(-,),A点的坐标为 ( 2, 2),B点的坐标为 ( 2-, 2+). 【小结】 (1)相等向量的坐标是相同的,而它们的起点、终点坐标可以不同.在解决很多问题时,常常需要 把始点不在原点的向量移到原点. (2)起点在原点的向量终点坐标即为向量坐标,起点不在原点的向量的坐标为终点坐标减去起点坐标.求 终点坐标时可用起点坐标加上向量坐标. (3)若已知向量a=(x,y),a的模为|a|,a的方向与x轴正方向的夹角为,由三角函数的定义可知,x=|a|cos ,y
12、=|a|sin .要注意公式中的是向量a的方向与x轴正方向的夹角. 探究二 : 【解析】 设点C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意得 =(x1+1,y1-2),=( 3, 6),=(-1-x2, 2-y2), = , =- , (x1+1,y1-2)=( 3, 6)=( 1, 2), (-1-x2, 2-y2)=-(-3,-6)=( 1, 2), 则有和 解得和 点C、D的坐标分别为 ( 0, 4) 和(-2,0),=(-2,-4). 【小结】 求点的坐标时 ,可先设点的坐标,根据题中给出的关系,列出方程组求解即可. 探究三 : 【解析】ABCD, 又=(x2,x+3),=( 2x,x
13、+1), x 2( x+1)-2x(x+3)=0, 解得x=-2 或x=0 或x=3. 问题 上述解法正确吗? 结论 不正确 , 错误一 : 没有注意四边形 ABCD顶点的顺序 ,需满足 ,反向才行. 错误二 : 没有注意向量的平行与线段平行的不同,时,AB与CD可能平行也可能重合. 于是 , 正确解答如下 : =(x 2, x+3),=( 2x,x+1), 在四边形ABCD中,ABCD,与平行且反向. 于是解得x=-2. 经检验 ,x=-2 满足题意. 【小结】 两个向量平行包括它们对应的有向线段不共线和共线两种情况,但在含有几何背景的向量平行 中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是
14、四边形就要注意向量,不能在同一条直线上且反向 平行. 思维拓展应用 应用一 : 设( 1)( 2)( 3) 中的向量分别为 =a,=b,=c, 并设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3). ( 1) 如图 ,因为 POP=45,| |=2,所以a=+=i+j, 所以a=( ,). ( 2) 因为 QOQ=60,| |=3, 所以b=+ =- i+j, 所以b=(-,). ( 3) 因为 ROR=30,| |=4, 所以c= =+=2i-2j, 所以c=(2,-2). 应用二 :A( 2,-4) 、B( 0, 6) 、C(-8, 10), 得=(-2, 10),=(-8, 4),=
15、(-10, 14), +2- =(-2, 10)+2(-8, 4)-(-10, 14) =(-2, 10)+(-16, 8)-(-5, 7) =(-18, 18)-(-5, 7) =(-13, 11). 应用三 : ( 法一 )ka+b=k( 1,2)+(-3, 2)=(k-3, 2k+2), a-3b=( 1, 2)-3(-3, 2)=( 10,-4). (ka+b) (a-3b), (k-3)(-4)-10( 2k+2)=0, 解得k=- . 此时ka+b=(- -3,- +2)=(-, ) =-( 10,-4)=-(a-3b). k=-, 且此时ka+b与a-3b平行 , 并且反向. (
16、 法二 ) 由题意知 ka+b=(k-3, 2k+2),a-3b=( 10,-4), 当ka+b与a-3b平行时 , 存在唯一实数 , 使ka+b=(a-3b), 由(k-3, 2k+2)=( 10,-4), 解得 当k=-时,ka+b与a-3b平行 , 这时ka+b=-(a-3b). =- 0,它们的方向相反. k=-, 此时ka+b与a-3b平行 , 并且反向. 基础智能检测 1.D设点B的坐标为 (x,y), 则=(x,y),=( 3, 7),=-=(x-3,y-7)=(-2,-5),解得 2.A=( 3,-4), 所以|=5, 这样同方向的单位向量是=( ,-), 选 A. 3. (
17、3, 4)如图 , 建立直角坐标系 , 有A( 0, 0),B( 1,0),C( 1, 1),D( 0, 1), 即 =( 1, 0),=( 0, 1), =( 1, 1), 则有 2+3+ =(2, 0)+( 0,3)+( 1,1)=( 3, 4). 4.解: 设顶点D的坐标为 (x,y). =(-1-(-2), 3-1)=( 1, 2),=( 3-x, 4-y), 由=, 得( 1,2)=( 3-x, 4-y). 顶点D的坐标为 ( 2, 2). 全新视角拓展 C因为a=( 1,m),b=(m, 2), 且ab,所以 12=mm?m= , 所以选 C. 思维导图构建 xi+yj(x,y)(x1x 2,y1y2) (x 1,y1) (x2-x1,y2-y1) x1y2=x2y1