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1、第 7 课时正切函数的图像与性质及其应用 1.了解利用正切线画出正切函数图像的方法. 2.了解正切曲线的特征, 能利用正切曲线解决简单的问题. 3.掌握正切函数的性质. 常见的三角函数还有正切函数, 前面我们利用单位圆中的正弦线和余弦线, 研究了正弦、 余弦函数的图像, 利用正弦曲线、 余弦曲线探讨了它们的性质, 今天我们使用类似的方法来探 讨正切函数的图像及性质. 问题 1: 正切函数及相关概念 ( 1) 正切函数的定义 在直角坐标系中, 角满足 :R, 且, 角的终边与单位圆交于点 P(a,b), 则比值叫作角的正切函数 , 记作y=tan(R, 且+k ,kZ). ( 2) 正切函数与正
2、、余弦函数的关系 tan=(R, 且+k ,kZ). ( 3) 正切线的定义 在直角坐标系中, 设单位圆与x轴正半轴的交点为A( 1, 0), 过点A作x轴的垂线 , 与角 的 相交于T点, 则称为角的正切线. 问题 2: 正切曲线的图像及其特点 ( 1)y=tanx(xR, 且x+k ,kZ) 的图像. ( 2) 正切曲线不是连续的一条曲线, 而是由一些相互平行的直线所隔开 的无穷多支曲线组成的, 它不具有有界性, 向上和向下都是无限延伸的. 问题3: ( 1) 作正切函数在一个周期内的图像的方法: 类似于 “ 五点法 ” 的“ 三点两线法 ” 作 简图 , 这里三个点为, 两线为直线、 (
3、 其中kZ), 作出这三个点和这两条渐近线,便可得到y=tanx在一个周期上的简图. ( 2) 正切曲线的对称性: 正切函数的图像关于原点对称, 正切曲线是中心对称图形, 其对 称中心坐标是.正切函数对称轴. 问题 4: 正切函数的性质 ( 1) 正切函数y=tanx的定义域是, 值域为. ( 2) 正切函数y=tanx的图像与x轴的交点的横坐标是. ( 3) 正切函数y=tanx在每一个开区间内单调递增 , 但不能说在整 个定义域上是单调递增函数. ( 4) 正切函数y=tanx在定义域上是函数. 1.已知角的终边与单位圆交于点( ,-), 则 tan等于 () A.B.-C.-D.- 2.
4、如果x( 0, 2 ), 则函数y=+的定义域是 () A.x|00 的x的取值范围. 正切型函数的定义域、值域问题 函数f(x)=的定义域是. 解含正切函数的不等式及求三角函数值 解不等式 tanx. 正切型函数的单调性问题 求函数y=tan(-3x-) 的单调区间. 求函数y=tan(x+) 的定义域. 已知角终边上一点坐标为( 3,-4), 求的值. 求函数y=tan(x+) 的单调区间. 1.函数y=tan(+x) 的定义域是 (). A.x|x,xRB.x|x-,xR C.x|xk+,xRD.x|xk+,xR 2.函数y=sinx tanx是(). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非
5、偶函数D.既是奇函数又是偶函数 3.tan 2 与 tan 3 的大小关系是. 4.求函数y=-2tan( 3x+) 的定义域、值域, 并指出它的奇偶性和单调性. ( 2010年 全国大纲卷 ) 记 cos(-80)=k, 那么 tan 100等于 (). A.B.-C.D.- 考题变式 ( 我来改编 ): 第 7 课时正切函数的图像与性质及其应用 知识体系梳理 问题 1: ( 1)+k (kZ)( 2)( 3)终边或终边的延长线线段AT 问题 2: ( 2)x=k+(kZ) 问题 3: ( 1)(k , 0)(k+, 1)(k-,-1)x=k+x=k-( 2)(, 0)(kZ)无 问题 4:
6、 ( 1)x|xR,x+k ,kZR( 2)k (kZ)( 3)(k-,k+)( 4) 奇 基础学习交流 1.C由正切函数的定义可知tan=-. 2.C由得又x( 0, 2 ), 解得0的x的范围为00 的x的 取 值 范 围 为 (k ,k+)(k Z). 重点难点探究 探究一 : 【解析】 要使函数有意义, 应有即x+k , 且x+k (kZ). 即定义域为 x|x R, 且x+k ,x+k ,kZ. 【答案】 x|xR, 且x+k ,x+k ,kZ 【小结】 求正切函数的定义域,注意y=tanx的定义域是 x|xR,x+k ,kZ. 探究二 :【解析】 在同一坐标系中, 作出y=tanx,x(-, ) 和y=的图像 , 如图所示 ,它们 的交点为 ( ,), 满足 tanx 的x的取值范围为(-,. 原不等式的解为x|- +k0,tan 100=-tan 80=-. 思维导图构建 x|xR,x+k ,k Z(k-,k+)(kZ) ( , 0)(kZ)T=