奥数应用题专项练习及解析：周期性问题要点.pdf

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1、奥数应用题专项练习及解析：周期性问题 2012-12-20 16:16 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理 标签： 数学应用解析 数学应用题 编者小语： “题海无边，题型有限”。学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基 本功再进行 “奥数” 的学习就显得水到渠成了。巨人奥数网为大家准备了奥数应用题专项练 习及解析：周期性问题，希望可以帮助到你们，助您快速通往高分之路! 一、填空题 ( 共 10 小题，每小题3 分，满分30 分) 1.(3 分)1992 年 1 月 18 日是星期六，再过十年的1月 18 日是星期_ . 2.(3 分) 黑珠、白珠共102 颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中

2、，最后一颗珠子应 该是_ 色的，这种颜色的珠子在这串中共有_ 颗. 3.(3 分) 流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2 个 黑，再 1 个白，然后再依次是5红， 4 黄， 3 绿， 2 黑， 1 白，, 继续下去第1993 个小珠的 颜色是_ 色. 4.(3 分) 把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、 F袋中 . 第 1992 粒珠子投在_ 袋中 . 参考答案与试题解析 一、填空题 ( 共 10 小题，每小题3 分，满分30 分) 1.(3 分)1992 年 1 月 18 日是星期六，再过十年的1月 18 日是星期五. 考点：日

3、期和时间的推算.1923992 分析：在这十年中有3 个闰年，所以这10 年的总天数是36510+3，365 被 7 除余 1， 所以总天数被7 除的余数是13 7=6，因此 10 年后的 1 月 18 日是星期五 . 解答：解： (365 10+3) 7 =3653 7 =521(星期 ) ,6(天) ， 因此 10 年后的 1 月 18 日是星期五 . 故答案为：五. 点评：考查了日期和时间的推算，本题得到从1992 年 1 月 18 日起再过十年的1 月 18 日的总天数是关键，同时还考查了星期几是7 天一个循环 . 2.(3 分) 黑珠、白珠共102 颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中

4、，最后一颗珠子应 该是黑色的，这种颜色的珠子在这串中共有26 颗. 考点：周期性问题.1923992 分析： 根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现 的，也就是这一排列的周期为4，由此即可得出答案. 解答：解：因为，(102 1) 4， =1014， =25,1， 所以，最后一颗珠子是黑色的. 又因为， 125+1=26( 颗) ， 所以，这种颜色的珠子在这串中共有26 颗; 故答案为：黑，26. 点评：解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答. 3.(3 分) 流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5 个红，再 4 个黄，再 3 个绿，再 2

5、 个 黑，再 1 个白，然后再依次是5红， 4 黄， 3 绿， 2 黑， 1 白，, 继续下去第1993 个小珠的 颜色是黑色. 考点：周期性问题.1923992 分析：小木球是依次按5 红， 4 黄， 3 绿， 2 黑和 1 白的规律涂色的，把它看成周期性 问题，每个周期为15. 由 199315=132,13，所以第1993 个小球是第133 周期中的第13 个，按规律涂色应 该是黑色，所以第1993 个小球的颜色是黑色. 解答：解： 5+4+3+2+1=15， 199315=132, 13， 所以第 1993 个小球是第133 周期中第13 个， 应该与第一周期的第13 个小球颜色相同，

6、是黑色. 答：第 1993 个小珠的颜色是黑色. 故答案为：黑. 点评：此题关键是找出周期的规律，然后利用除法算式得出小球是第几周期的第几个， 与第一周期的颜色对比即可得出. 4.(3 分) 把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、 F袋中 . 第 1992 粒珠子投在B 袋中 . 这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边 为第一列，下边为第一行，从1开始依次排列; 其规律是： 每 10 个数字为一个周期，这 10 个数字分别所在的列数依次为ABCD EFE DCB;由此规律，只要求出1992 是第几周期的第几个数字，即可得出答案. 解答：

7、解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10 个数字为一个周期，这 10 个数字分别所在的列数依次为AB CDE FEDCB; 199210=199, 2， 所以 1992 是第 200 个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是B. 答：第 1992 粒珠子投在B袋中 . 故答案为： B 点评： 此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可 以使分析简洁明了. 5.(3 分) 将数列 1，4，7，10，13, 依次如图排列成6 行，如果把最左边的一列叫做第 一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349 应排在第24 行第4 列 分析：为了分析方便，把

8、列数从左到右依次排列为1、2、 3、4、5、6，如上图 ; 根据题干可得：此题是一个等差数列，公差是3; 从排列可以看出，两行为一个周期，即 10 个数为一个周期， 位置分别在的列数为：2、 3、4、5、6、5、4、3、2、1; 所以只要求出349 是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案. 解答：解：根据题干分析可得： (349 1) 3+1=117， 所以 349 是这列数中的第117 个数 . 11710=11,7， 所以这个数是第12 周期的第7 个数字，那么这个数是第1 周期的第二行， 所以这个数在第122=24 行，与第一周期的第7 个数字位置相同即：在第4 列，

9、 答：数列中的数349 应排在第24 行第 4 列. 故答案为： 24;4. 点评：此题要从两个方面考虑周期行数，两行一周期，列数，即10 个数字依次排 列的列数 . 6.(3分)9/13 分数化成小数后，小数点后面第1993 位上的数字是6 . 考点：周期性问题.1923992 分析： 9/13=0.692307 ，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只要得出1993 在第几周期的第几个数字即可解决问题. 解答：解： = ，它的循环周期是6， 因为 1993 6=332,1，即在第 333 周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同， 是 6. 故答案案为：6. 点评：此题抓住9/13

10、 的循环节，即可解决问题. 7.(3 分)3/14 化成小数后，小数点后面1993 位上的数字是7 . 考点：周期性问题.1923992 分析：题目要求“小数点后面1993 位上的数字是多少”，所以就要从3/14 化成小数 后寻找规律 . 解答： 解：3/14 =1.2142857 从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为 (1993 1) 6=332，则循环节“142857”恰好重复出现332 次. 所以小数点后面第1993 位上的数字是7. 故答案为： 7. 点评：此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律 的能力 . 8.(3 分) 在一个循环小数0.1

11、234567 中，如果要使这个循环小数第100 位的数字是5， 那么表示循环节的两个小圆点，应分别在3 和7 这两个数字上 . 考点：循环小数及其分类.1923992 分析： 表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7 的上面，且数字 “ 5” 肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪. 解答：解：后一个小圆点应加在7 上; 前一个小圆点的情况： (1) 设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，(100 4) 3=32，第 100 位 数字是 7. (2) 设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，(100 3) 4=24,1，第 100 位数字是

12、4. (3) 设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，(100 2)5=19,3，第 100 位数字正好是5. 故答案为： 3，7. 点评： 容易看出后一个小圆点应加在7 的上面， 但前一个圆点应加在哪个数字上，一下 子难以确定， 怎么办 ?唯一的办法就是 “试” . 因为循环节肯定要包含5，就从数字5 开始试 . 逐步向前移动， 直到成功为止. 这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫， 唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条. 9.(3 分)1991 个 9 与 1990 个 8 与 1989 个 7的连乘积的个位数是2 . 考点：周期性问题; 乘积的个位数

13、 .1923992 分析： 根据题干， 要求它们的连乘积的个位数字，可以先求出它们各自的乘积的个位数 字是几，由特例不难归纳出： (1)9 的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2; (2)8 的连乘积的个位数字按8，4，2，6 循环出现，周期为4; (3)7 的连乘积的个位数字按7，9，3，1 循环出现，周期为4. 由此即可解决问题. 解答：解：根据上述分析可以得出1991 个 9 的乘积个位数字、1990 个 8 的乘积个位数 字、 1989 个 7 的个位数字分别为： (1) 因为 19912=995,1，所以 1991 个 9 的连乘积的个位数字是第996 周期的第一个 数，与第一

14、周期的第一个数字相同即是9; (2) 因为 19904=497,2，所以 1990 个 8 的连乘积的个位数字是第498 周期的第二个 数字，与第一周期的第一个数字相同即是4; (3) 因为 19894=497,1，所以 1989 个 7 的连乘积的个位数字是第498 周期的第一个 数字，与第一周期的第一个数字相同即是7. 所以， 94 7=252， 即 1991 个 9 与 1990 个 8 与 1989 年 7 的连乘积的个位数字是2. 答：连乘积的个位数是 2. 故答案为： 2. 点评：抓住题干，求出9 的连乘积、 8 的连乘积和7 的连乘积的个位数字的规律，是解 决本题的关键 . 10

15、.(3 分) 算式的得数的尾数是9 . 二、解答题 ( 共 4 小题，满分0 分) 11. 乘积 1 234, 1990 1991 是一个多位数， 而且末尾有许多零，从右到左第 一个不等于零的数是多少? 考点：周期性问题.1923992 分析：我们用所有数的乘积除以了495 个 5 之后得到的个位数字是6，那还要除以495 个 2 才可以，因为他们乘到一起变成了495 个 0，再除以 495 个 2 就相当于把末尾的0全部 去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0 的数 . 2 的 495 次方的个位数字是8(2 的 n 次方的个位数字是2，4， 8，6 四位一周期495 4=123,

16、3) 那么用刚才我们除以495 个 5之后得到的个位数字6 除以 8， 就会得到最终的个位数字， 68 的个位数字是2(就是 28 个位数字是6，当然 78 的个位数字也是6，但是注意了2 的个数要远多于495 个，所以最终的去掉495 个 0 之后的数一定是个偶数，所以只能是2. 解答：解：此题中是1991 个数字的连乘积，根据题干分析： 所有数的乘积除以了495 个 5 之后得到的个位数字是6，那还要除以495 个 2 才可以， 因为他们乘到一起变成了495 个 0，再除以 495 个 2 就相当于把末尾的0 全部去掉了，那么 此时的个位数字就是要求的第一个不为0 的数 . 2 的 495

17、 次方的个位数字是8; 2 的 n 次方的个位数字是2，4，8，6 四位一周期， 4954=123,3; 那么用刚才我们除以495 个 5之后得到的个位数字6 除以 8， 就会得到最终的个位数字， 68 的个位数字是2(就是 28 个位数字是6，当然 78 的个位数字也是6，但是注意了2 的个数要远多于495 个，所以最终的去掉495 个 0 之后的数一定是个偶数，所以只能是2. 点评： 将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5 乘积的个位数字特点进行分析， 得出从右边数第一位不为0 的数字规律 ; 根据 2 的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是 本题的关键所在. 12. 有串自然数，

18、已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的， 从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991 个数被 3 除所得的余 数是几 ? 考点：周期性问题.1923992 分析： (1) 因为第一个数5/6 = 第二个数 1/4 ，所以第一个数： 第二个数 =1/4 ：5/6 =3： 10. 又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为： 3，10， 13，23，36， 59，95，154，249，403，652，1055, (2) 要求这串数的第1991 个数被 3 除所得的余数是几， 可以先推理出得出这串数字除以 3 的余数的规律是什么; 由此即可解

19、决问题. 解答：解：根据题干分析可得这串数字为： 3，10， 13，23，36， 59，95，154，249，403，652，1055, 这串数字被3 除所得的余数依次为： 0，1，1，2， 0，2，2，1，0，1，1， 2， 所以可以看出这串数字除以3 的余数按“ 0，1，1，2，0，2， 2，1”循环，周期为8. 因为 19918=248,7， 所以第 1991 个数被 3 除所得余数应是第249 周期中的第7 个数， 即 2. 答：这串数的第1991 个数被 3 除所得的余数是2. 点评：解答此题应注意以下两个问题：(1) 由于两个数互质，所以这两个数只能是最简 整数比的两个数; (2)

20、 求出这串数被3 除所得的余数后， 找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期. 一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性. 13. 表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为( 共社 ) ，第二组为 ( 产会 ) ，那么 第 340 组是( 好，好 ) . 共产党好共产党好共产党好 社会主义好社会主义好社会主义好 考点：周期性问题.1923992 分析：此题分成两部分来看：(1) 上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共产 党好 ;那么第 340 个字在 3404=85 周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同; (2) 同样的方法可以得出下面的周期为：

21、五字一周期：社会主义好，由此即可 解决问题 . 解答：解：根据题干分析： (1) 上面四字一周期， 分别为： 共产党好; 那么第 340 个字在 3404=85 周期的最 后一个，与第一组中第四个字“好”相同; (2) 下面五字一周期，分别为：社会主义好，那么第340 个字在 3405=68 周 期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同; 答：由上述推理可得：第340 组的数字是 ( 好，好 ) ， 故答案为： ( 好，好 ). 点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4 与 5 的最小公倍数是20，所以在连续写完5 个“共产党好”与4 个“社会主义好”

22、之后，将重 复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20 组数 . 因为 34020=17，所以第340 组正好写完第17 个周期，第340 组是 ( 好，好 ). 14. 甲、乙二人对一根3 米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5 厘米，间隔5 厘米不涂色，接着再涂黑5 厘米，这样交替做到底. 然后，乙从木棍同一端点开始留出6 厘 米不涂色，接着涂黑6 厘米，再间隔6 厘米不涂色，交替做到底. 最后，木棍上没有被涂黑 部分的长度总和为75 厘米 . 考点：公约数与公倍数问题.1923992 分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行; 乙按白、 黑，白、黑交替进行，如图所示. 由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5 与 6的最 小公倍数的2 倍，即 562=60 厘米，也就是它们按60 厘米为周期循环出现，据此可以轻 松求解 . 解答：解：按60 厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是， 1+3+5+4+2=15(厘米 ); 所以，在 3 米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是， 15(30060)=75( 厘米 ). 故答案为： 75. 点评： 此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5 与 6 最小公倍数的2 倍，而 不是 5 与 6 的最小公倍数.