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1、山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学第18 届“希望杯”第1 试 试题 一、选择题（每小题4 分，共 40 分） 1a和b是满足ab0 的有理数，现有四个命题： 4 2 2 b a 的相反数是 4 2 2 b a ；ab的相 反数是a的相反数与b的相反数的差； ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积； ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积其中真命题有（） （ A）1 个（ B）2 个（C ） 3 个（D）4 个 2在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（） （ A）（ B）（C ）（D） 3在代数式xy 2 中，x与y的值各减少25% ，则该代数式的值减少了（） （ A）50% （ B
2、）75% （C ） 64 27 （D） 64 37 4若ab0ca，则以下结论中，正确的是（） （ A）abcd一定是正数（B ）dcab可能是负数 （ C）dcba一定是正数（D ）cdba一定是正数 5在图 1中，DADBDC，则x的值是（） （ A）10 （ B）20 （C ） 30 （D）40 6已知a，b，c都是整数，mabbcac，那么（） （ A）m一定是奇数（B ）m一定是偶数 （ C）仅当a，b，c同奇偶时，m是偶数（D ）m的奇偶性不能确定 7三角形三边的长a，b，c都是整数，且 a，b，c 60， （a，b） 4， （b，c） 3 （注： a，b，c 表示a，b，c的最小
3、公倍数， （a，b）表示a，b的最大公约数） ，则abc 的最小值是（） （ A）30 （ B）31 （C ） 32 （D）33 8如图 2，矩形ABCD由 34 个小正方形组成此图中， 不是正方形的矩 形有（） （ A）40 个（ B）38 个（C ） 36 个（D）34 个 9设 a 是有理数，用 a 表示不超过a的最大整数，如1.71， 1 1， 0 0， 1.2 2， 则在以下四个结论中，正确的是（） （ A）a a 0 （B ） a a 等于 0 或 1 （ C）a a 0 （D ） a a 等于 0 或 1 10 On the number axis ， there are two
4、 points Aand Bcorresponding to numbers 7 and b respectively， and the distance between A and B is less than 10Let m5 2b，then the range of the value of m is （） （A） 1m 39 （ B） 39m1 （C ） 29m11 （D） 11m29 （英汉字典： number axis 数轴；point 点；corresponding to 对应于 , ； respectively 分别地； distance 距离； less than 小于； v
5、alue 值； range 范围） 二、填空题（每小题4 分，共 40 分） 11 1 2 1 2 6 5 3 12 1 4 20 19 5 30 1 6 42 41 7 56 1 8 72 71 9 90 1 _ 12若mnp0，则 nm p pm n pn m 111111 的值等于 _ 13图 3 是一个小区的街道图，A、B、C、,X、Y、Z是道路交叉的17 个路口，站在任一路口都可以沿直线看到这个路口的所有街道现 要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设_个 岗哨 AB CD 图 2 图 3 A B C D E F G N Q H P S X YZ R M A B C 30 50
6、 x 图 1 D 14如果m m 1 3，那么m 3 3 1 m _ 15 2006 1 1 2005 1 1 1007 1 1 1006 1 1 1005 1 1 1004 1 1 2006200554321 _ 16乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者取其中的一半加半个发给第一名；取 余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加 半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完这些乒 乓球共有 _个 17有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23， 21 和 17 岁，则这四人中最大年龄与最小年龄
7、的差是_岁 18初一（ 2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数， 然后又自右向左从“ 1” 开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有 15 人，则全班同学共有_人 19 2 m20062m （m是正整数）的末位数字是_ 20 Assume that a，b，c，d are all integers，and four equations (a2b)x1， (b 3c)y1，(c4d)z1，w100dhave always solutions x，y，z，wof positive numbers respectively，then the mini
8、mum of a is _ （英汉词典： to assume 假设； integer 整数； equation 方程； solution（方程的）解； positive 正的； respectively 分别地； minimum 最小值） 三、解答题（本大题共3 小题，第21 题 10 分，第 22、23 题 15 分共 40 分）要求：写出推 算过程 21 （1）证明：奇数的平方被8除余 1 （2）请你进一步证明：2006 不能表示为10 个奇数的平方之和 22如图 4 所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的 中点连结AO并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F求四 边形
9、BDOF的面积 23老师带着两名学生到离学校33 千米远的博物馆参观老师乘一辆摩托车，速度 25 千米 A BC D E F O 图 4 小时这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20 千米小时学生步行的 速度为 5 千米小时 请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间 不超过 3 小时 第十七届“希望杯”全国数学邀请赛 初一第 2 试 参考答案 一、选择题 1、C ，提示：正确，错误。 2、C ，提示：正方体的平面展开图中一个顶点能连出4 个正方形。 3、C ，提示： 22 37 (25% )(25% ) 64 xyxxyyxy 4、C ，提示：（A） 0,0, abcda
10、bcd 不确定， A错； （B） 0,0,0 0dcabdcab ，B错； （C） 0,0,0, 0dcabdcba ， C 对； （D） 0,0,0 cdabcdba 不确定， D错。 5、A ，提示：如图， ,30DADBDCCADACD ， 50 ,DBADABDBCDCBx ， 30305050180xx ， 10x 。 6、B ，提示：因为 m中如果有 , ,a b c 出现，则都是以它们的偶数倍形式出现的。 7、B ，提示： ( , )4,( , )3a bb c ，则 4,43ab ，则 4a ， 43b ，又 , , 60a b c ， 则 35,31cabc 。 8、A ，提
11、示：共有矩形60 个，共有是正方形的有20 个。 9、D ，提示：当 1a 时， 0aa ，当 1 2 a 时， 0( 1)1aa 。 10、C ，提示： 710, 10710, 317bbb ， 173, 3426, 295211bbb ，即 2911m 。 二、填空题 11、 9 110 ， 151191411711 123456789 2612203042567290 1111111 133579 261220304290 1111111 1 261220304290 1111111 1 22334910 1119 11 221010 提示： 12、 3 ， 13、 4 ，提示：如图四点
12、：D、N 、 Y、F 14、 36 ，提示： 322 32 2 11111 ()(1)()()3 ( 3)( 3)336 mmmmm mmmmm 15、4026042；提示： 16、 31；提示：设这些乒乓球有 x个，则发给第一名： 11 22 x 个； 发给第二名： 22 111111 () 222222 xxx 个， 发给第三名： 33 11 22 x 个，发给第四名： 44 11 22 x 个，发给第五名： 55 11 22 x 个。 则 2345 11111 ()(1) 22222 xx ， 31 ,31 32 xx 。 17、 18 ；提示：设甲，乙，丙，丁四人的年龄为 , , ,a
13、 b c d ，则 111111 ()()() ()()() 1 11 3 mnp npmpmn mmnnnp npmpmn mpnpmn nnmmpp 提示： 1234520052006 111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 100410051006100720052006 1234520052006 100310041005100620042005 100410051006100720052006 2(1234520052006) 2006(12006) 2 2 20062007 4026042 + 得 6()270,45abcdabcd ，将分别代入, , , ，求 得 3
14、,4,12,21abcd ， 21318da 。 18、 53 ，提示： 15 15 1,2,19,20,19,18,1, ,1,18,19,20,19,2 ,1 nnnn n nnn 个 个 ， 1915953。 19、0 ，提示： 2006200641 222(21),2 mmmn的末位数字是2 ， 2006 2 的末位数字是 4 ， 2006 21 的末位数字是5，故 2006 2(21) m是 0 。 20、 2433， 提示： 20 30 40 1000 ab bc cd d ，又 , , ,a b c d 为整数， 21 31 41 1001 ab bc cd d 101,1440
15、5,131216dcdbc ， 122433ab 三、 21、 （1）证明：设奇数为 21k ，则 22 (21)4414 (1)1kkkk k ； （ i ）当 k 为奇数时， 4 (1)k k 能被 8 整除，故 4 (1) 1k k 被 8 除余 1； （ ii ）当 k 为偶数时， 4 (1)k k 能被 8 整除，故 4 (1)1k k 被 8 除余 1。 故奇数的平方被8 除余 1。 （2）证明： 2006825086 ，10 个奇数的平方和为： 81082km ， 故 2006 不能表示为10 个奇数的平方之和。 22、解：如图， 1 ABC S ， E 为 AC 中点， O 为
16、 BE 中点， 1 2 ABEBCE SS ， 1 4 ABOAEOBCOCEO SSSS ， 29 3 387 23 369 3 363 21 3351 17 3 abc d abcd abd c abcd acdabcd b abcd bcd a 设 , OBFOBD Sy Sx ， OBF CEO SFO OBFO SCO OECO ， AFO ACO SFO SCO ，即 OBFAFO CEOACO SS SS ， 1 4 111 444 y y ， 111311 , 216441612 yyyy 。 BDO AEO SDO OBDO SAO OEAO ， CDO ACO SDO SA
17、O ，即 BDOCDO AEOACO SS SS ， BDOF 1 11 4 , 111 126 444 x x xS 四边形 。 23、解：让一 A 同学先步行，老师乘摩托车带B 同学行驶小时后，让 B同学步行至博物馆， 老师返回接A同学，并带他到博物馆，则有 205(3)33,1.2ttt ； 当 1.2t 时， 201.224,51.26,24618 ， 18(255)0.6,0.653 ， 336324,24201.2，1.21.20.63 ，能到， 故，让 A同学先行，老师乘摩托车带B同学行驶1.2 小时，也就是24 千米后，让 B步行 至博物馆，老师返回接A 同学，这样，3小时后，三人同时到达博物馆。