新人教A版高中数学选修2-2综合测试题【1】及答案.pdf

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1、高中新课标数学选修（ 2-2）综合测试题 一、选择题 1在数学归纳法证明“ 1 21 1(1) 1 n na aaaan a N，”时，验证当1n时，等式 的左边为（） 1 1a 1a 2 1a 答案： 2已知三次函数 3221 ( )(41)(1527)2 3 f xxmxmmx在()x， 上是增函数， 则 m的取值范围为（） 2m或4m42m 24m以上皆不正确 答案： 3设( )()sin()cosf xaxbxcxdx ，若( )cosfxxx ，则 abcd， ， ，的值分别为（） 1，1，0，0 1，0，1，0 0，1，0，1 1，0，0，1 答案： 4已知抛物线 2 yaxbxc

2、 通过点(11)P ， ，且在点(21)Q，处的切线平行于直线3yx， 则抛物线方程为（） 2 3119yxx 2 3119yxx 2 3119yxx 2 3119yxx 答案： 5数列 n a满足 1 1 20 2 1 211 2 nn n nn aa a aa ， ， 若 1 6 7 a，则 2004 a的值为（） 6 7 5 7 3 7 1 7 答案： 6已知 ab，是不相等的正数， 2 ab x， yab ，则x，y的关系是（） xy yx 2xy 不确定 答案： 7复数 2 () 12 mi zm i R不可能在（） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案： 8定义 ABBCCDDA

3、，的运算分别对应下图中的 （1） ， （2） ， （ 3） ， （ 4） ，那么，图中（） ， （）可能是下列 （）的运算的结果（） BD，ADBD， AC BC ，AD CD ，AD 答案： 9用反证法证明命题“abN，如果 ab可被 5 整除，那么a， b 至少有 1 个能被 5 整除” 则假设的内容是（） a， b 都能被 5 整除 a， b 都不能被5 整除 a不能被 5 整除 a， b 有 1 个不能被5 整除 答案： 10下列说法正确的是（） 函数yx 有极大值，但无极小值 函数yx 有极小值，但无极大值 函数yx 既有极大值又有极小值 函数yx 无极值 答案： 11 对于两个复数

4、 13 22 i ， 13 22 i ， 有下列四个结论： 1 ； 1； 1； 33 1其中正确的个数为（） 1 2 3 4 答案： 12设( )f x 在 ab，上连续，则( )f x 在 ab，上的平均值是（） ( )( ) 2 f af b ( ) b a f x dx 1 ( ) 2 b a f x dx 1 ( ) b a f x dx ba 答案： 二、填空题 13若复数 2 22 log (33)log (3)zxxix为实数，则x的值为 答案： 4 14一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆） 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006 年圆中有

5、实心圆的个数 为 答案： 61 15函数 32 ( )6(0)f xaxaxb a在区间 12， 上的最大值为3，最小值为29 ，则a， b 的 值分别为 答案： 2，3 16由 2 4yx 与直线24yx所围成图形的面积为 答案： 9 三、解答题 17设 nN 且 sincos1xx ，求 sincos nn xx 的值 （先观察12 34n， ，时的值，归纳猜测 sincos nn xx 的值 ） 解：当1n时， sincos1xx； 当2n时，有 22 sincos1xx； 当3n时，有 3322 sincos(sincos )(sincossincos )xxxxxxxx ， 而 si

6、ncos1xx， 12sincos1xx， sincos0xx 33 sincos1xx 当4n时，有 4422222 sincos(sincos)2sincos1xxxxxx 由以上可以猜测，当nN 时，可能有sincos( 1) nnn xx成立 18设关于x的方程 2 (tan)(2)0xi xi， （1）若方程有实数根，求锐角和实数根； （2）证明：对任意 () 2 kkZ ，方程无纯虚数根 解： （ 1）设实数根为a，则 2 (tan)(2)0ai ai， 即 2 (tan2)(1)0aaai 由于a， tanR ，那么 2 1tan tan20 tan111 aaa a ， 又 0

7、 2 ， 得 1 4 a ， （2）若有纯虚数根()iR，使 2 ()(tan)()(2)0iiii， 即 2 (2)(tan1)0i， 由， tanR ，那么 2 20 tan10 ， ， 由于 2 20 无实数解 故对任意 () 2 kkZ ，方程无纯虚数根 19设0t，点( 0)P t， 是函数 3 ( )f xxax 与 2 ( )g xbxc 的图象的一个公共点，两函数的 图象在点P处有相同的切线 （1）用t表示 abc， ，； （2）若函数( )( )yf xg x 在 ( 1 3)， 上单调递减，求t的取值范围 解： （ 1）因为函数( )f x ，( )g x 的图象都过点(

8、0)t， ，所以( )0f t，即 3 0tat 因为0t，所以 2 at ( )0g t，即 2 0btc，所以 cab 又因为( )( )f xg x，在点 ( 0)t， 处有相同的切线， 所以( )( )ftg t ，而 2 ( )3fxxa ，( )2g xbx ，所以 2 32tabt 将 2 at 代入上式得b t 因此 3 cab t 故 2 at ， b t ， 3 c t （2） 3223 ( )( )yf xg xxt xtxt ， 22 32(3)()yxtxtxtxt 当(3)()0yxtxt时，函数( )( )yf xg x 单调递减 由0y，若0t，则 3 t xt

9、 ； 若0t，则 3 t tx 由题意，函数( )( )yf xg x 在 ( 13)， 上单调递减，则( 13) 3 t t，或 ( 13) 3 t t， 所以9t或3t 又当93t时，函数( )( )yf xg x 在 ( 13)， 上不是单调递减的 所以t的取值范围为93， 20下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论命题：若abc ，且 0abc，则 2 3 bac a 解：此命题是真命题 0abc ， a b c， 0a，0c 要证 2 3 bac a 成立，只需证 2 3bac a ， 即证 22 3baca ，也就是证 22 ()3acaca ， 即证 ()(2)0ac

10、ac 0ac ， 2 ()0acacaba， ()(2)0acac成立， 故原不等式成立 21某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为 (0)k k，且知当利率为0.012 时，存款量为1.44 亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的 存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，(0 0.048)x，则当x为多少时，银行可获得最 大收益？ 解：由题意，存款量 2 ( )f xkx ，又当利率为0.012 时，存款量为1.44 亿，即0.012x时， 1.44y；由 2 1.44(0.012)k ，得10000k，那么 2 ( )10000f xx ， 银行应支

11、付的利息 3 ( )( )10000g xx f xx， 设银行可获收益为y，则 23 48010000yxx ， 由于， 2 96030000yxx ，则0y，即 2 960300000xx，得0x或0.032x 因为，(0 0.032)x，时，0y，此时，函数 23 48010000yxx 递增； (0.032 0.048)x，时，0y，此时，函数 23 48010000yxx 递减； 故当0.032x时，y有最大值，其值约为0.164 亿 22已知函数 2 ( )(0) 1 x f xx x ，数列 n a满足 1 ( )af x ， 1 () nn af a （1）求 234 aaa，

12、； （2）猜想数列 n a的通项，并予以证明 解： （ 1）由 1 ( )af x ，得 2 1 21 222 1 2 1 () 112 1 1 x ax x af a ax x x ， 2 2 32 222 2 2 12 () 113 1 12 x ax x af a ax x x ， 2 3 43 222 3 2 13 () 114 1 13 x ax x af a ax x x （2）猜想： 2 () 1 n x an nx N， 证明：（1）当1n时，结论显然成立； （2）假设当 nk 时，结论成立，即 2 1 k x a kx ； 那么，当1nk时，由 2 1 22 2 1 () 1

13、(1) 1 1 kk x x kx af a kx x kx ， 这就是说，当1nk时，结论成立； 由（ 1） ， （2）可知， 2 1 n x a nx 对于一切自然数()n nN 都成立 高中新课标数学选修（2-2 ）综合测试题 一、选择题 1函数 2 ( )sinf xx 的导数是（） 2sin x 2 2sinx 2cos x sin2x 答案： 2设复数 13 22 zi ，则满足 n zz的大于 1 的正整数n中，最小的是（） 7 4 3 2 答案： 3下列函数在点0x处没有切线的是（） 2 3cosyxxsinyxx 1 2yx x 1 cos y x 答案： 4 2 23 1

14、111 dx xxx （） 7 ln 2 8 7 ln 2 2 5 ln 2 8 17 ln 2 8 答案： 5编辑一个运算程序：1 12(1)2mnkmnk，则 1 2005 的输出结果为 （） 4008 4006 4012 4010 答案： 6如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头 方向，从A到H有几条不同的旅游路线可走（） 15 16 17 18 答案： 7在复平面内，复数 2 (13 ) 1 i zi i 对应的点在（） 第一象限第二象限第三象限第四象限 答案： 8在ABC中，ABC，分别为 abc， ，边所对的角，若abc， ，成等差数列，则B

15、的 范围是（） 0 4 ， 0 3 ， 0 2 ， 2 ， 答案： 9设 2 11111 ( ) 123 S n nnnnn ，则（） ( )S n 共有n项，当2n时， 11 (2) 23 S ( )S n 共有1n项，当2n时， 111 (2) 234 S ( )S n 共有 2 nn项，当2n时， 111 (2) 234 S ( )S n 共有 2 1nn项，当2n时， 111 (2) 234 S 答案： 10若函数 2 ( )ln(0)f xxx x的极值点是，函数 2 ( )ln(0)g xxxx的极值点是，则有 （） 与的大小不确定 答案： 11已知函数 431 ( )23 2 f

16、 xxxm ， xR ，若( )90f x恒成立，则实数m的取值范围 是（） 3 2 m 3 2 m 3 2 m 3 2 m 答案： 12如图，阴影部分的面积是（） 2 32 3 32 3 35 3 答案： 二、填空题 13若复数 22 (2 )(2)zaaaai 为纯虚数，则实数a的值等于 答案： 0 14若函数 2 4 ( ) 1 x f x x 在区中 (21)mm，上是单调递增函数，则实数m的取值范围是 答案：10m 15类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义： 答案：对 nN ，若 1nn aak（ k是常数），则称数列 n a为等积数列； 2 () 3 () n n a

17、 n ，为奇数 ，为偶数 51 () 22 5 () 2 n nn S n n ， 为奇数 为偶数 16已知函数 32 ( )39f xxxxm在区间 2 2， 上的最大值是20，则实数m的值等于 答案：2 三、解答题 17 已 知 抛 物 线 2 yxbxc 在 点 (1 2 )，处 的 切 线 与 直 线20xy垂 直 ， 求 函 数 2 yxbxc 的最值 解：由于 2 yxbxc ，所以2yxb ，所以抛物线在点(12)， ）处的切线的斜率为2k b ， 因为切线与直线20xy垂直，所以 21b，即1b，又因为点 (12)， 在抛物线上，所以 12bc，得2c因为 2 2yxx，于是函

18、数没有最值，当 1 2 x时，有最小值 7 4 18已知数列 n a满足条件 1 (1)(1)(1) nn nana， 2 6 n a，令() nn ban nN，求数列 n b的通项公式 解：在 1 (1)(1)(1) nn nana中，令1n，得 1 1a；令2n，得 32 3(1)15aa； 令3n， 得 43 24(1)aa，所以 4 28a 将 1234 aaaa，代入 nn ban中，得 1 2b， 234 81832bbb， 由此猜想： 2 2 n bn 以下用数学归纳法证明猜想正确 （1）当1n和2n时，结论成立； （ 2）假设当(2)nk k时，结论成立，即 2 2 k bk

19、，所以 2 2 kk abkkk ，由已知有 2 1 (1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)(21) kk kakakkkkkk， 因 为2k， 所 以 2 1 (1 ) ( 21 )231 k akkkk ，于是 22 1 (231)(1)2(1) k bkkkk，所以当1nk 时，结论也成立，根据(1)和 (2) ，对任意 nN ，均有 2 2 n b n 19已知数列1， 11，111，1111， 1 111 n个 ，写出该数列的一个通项公式，并用反证 法证明该数列中每一项都不是完全平方数 解：由于 1 9 11 111999(101) 99 n n n 个 个 ，所以该数列的一个

20、通项公式是 1 (101) 9 n na ； 证明：假设 1 111 n个 是一个完全平方数，由于 1 111 n个 是一个奇数， 所以它必须是一个奇数的平方， 不妨设 2 1 111(21) n m 个 （m为整数），于是 11 11104 (1) n m m 个 故 1 5552 (1 ) n m m 个5 此 式中左边是奇数，右边是偶数，自相矛盾，所以 1 111 n个 不是一个完全平方数 20已知 1 ai z i ，0a，复数()z zi 的虚部减去它的实部所得的差为 3 2 ，求实数a 解： ()(1)1(1)11 12222 aiaiiaaiaa zi i 2 11111 ()

21、222222 aaaaaaa z ziiii； 2 13 222 aaa ，解得 2a 又因为0a，故2a 21已知函数( )sincos(sincos )f xxxmxx （1）若1m，求函数( )fx 在 0 2 ，上的单调增区间； （2）若函数( )fx 在区间 2 ，上是单调递减函数，求实数m的取值范围 解： （ 1）当1m时，( )sincossincosf xxxxx ，( )sincossincosf xxxxx ， 则 22 ( )cossincossin(cossin )(cossin0)fxxxxxxxxx， 由 于 co ssi n12 s i n1 4 xxx， 而 0

22、 2 x， 所 以 cossin10xx， 因 此 由 ( )0fx，可得 cossin0xx，即 sincosxx ，于是 0 2 x，故函数( )f x 的单调增区间 为 0 4 ，； （2） 22 ( )cossin(cossin )(cossin )(cossin)fxxxmxxxxxxm 因为函数( )f x 在区是 2 ，上是单调减函数，所以( )0fx在 2 ，上恒成立，而由于 x 2 ，所以cossin0xx，因此只要cossin0xxm在 2 ，上恒成立，即 sincosmxx恒成立 又 cossin2 sin( 11) 4 xxx， ，所以应有1m 22如图， 为处理含有某

23、种杂质的污水，要制造一底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为 b 米已知流出的水中该杂质的质量 分数与a， b 的乘积 ab成反比，现有制箱材料60 平方米，问当a， b 各为多少米时，经沉淀 后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计） 解：设y为流出的水中杂质的质量分数，则 k y ab ， 其中(0)k k为比例系数，依题意，即所求的a， b值使y值最小， 根据题设，有42260(00)babaab，得 30 (030) 2 a ba a 于是 22 (2) 3030 2 kkka y aaabaa a 当0y时，6a或10a（舍去） 本题只有一个极值点， 当6a时，3b， 即当a为 6 米， b 为 3 米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小