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1、- 1 - 浙江省浙北名校联盟2014届高三上学期期中联考数学理试题 第卷 一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1. 复数 i21 i1 （ i 为虚数单位） （A）i 5 1 5 3 （B）i 5 1 5 3 （C）i 5 1 5 1 （D）i 5 3 5 1 2. 已知全集RU，集合22|,0lg| x xBxxA，则BA （A）1,（B）1 ,（C）, 1（D） 3. 设实数yx,满足约束条件 .013 ,2 ,01 yx x yx 则yxz5的最大值为 （A） 1 （B）3（C） 5（D）11 4. 已知
2、aR, 则“2a”是“1aa”成立的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）4（B） 8 （C）34（D）38 6. 已 知 函 数)1( xfy为 偶 函 数 ， 且)(xf在, 1上 递 减 ， 设)10(log2fa，)10(log3fb， )1.0( 2.0 fc，则cba,的大小关系正确的是 （A）cba（B）cab（C）abc（ D）bac 7. 过双曲线)0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，若 2 2bP
3、NPM，则该双曲线的离心率为 （A） 3 6 （ B）3（C） 2 6 （D）2 3 1 2 2 32 32 第 5 题 - 2 - 8. 在等腰 ABC 中，D是腰 AC 的中点，若 4 1 sinCBD，则ABDsin （A） 8 10 （ B） 4 6 （C） 4 10 （D） 8 6 9. 已知2,1 ba，1ba，若ca与cb的夹角为 60 ，则 c 的最大值为 （A）1 2 7 （B）3（C）17（ D）13 10.已知1 2 mmxxxA，若A1 ,1，则实数m的取值范围为 （A）0,（B）0,222（ C）2,（D）222,222 第卷 二、填空题（本大题共7 小题，每小题4
4、分，共 28 分） 11已知函数 )1( )1( 2 log )( 5. 0 x x x xf x ，则)4( ff. 12 n x x 3 的展开式中各项二项式系数的和为64，则该展开式中的 常数项为. 13某程序框图如图所示，则输出的结果为. 14已知等差数列 n a的前 n 项的和为 n S ，且 0 1 a， 107 SS，则使 n S 取到最大值的n 为. 15已知直线 l 与圆 O ：1 22 yx在第一象限内相切于点C ，并且分别 与yx,轴相交于BA、两点，则AB 的最小值为. 16一袋中装有分别标记着1，2，3 数字的 3 个小球，每次从袋中取出一 个球（每只小球被取到的可能
5、性相同），现连续取3 次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3 次取出 的球中标号最小的数字与最大的数字分别为YX ,，设XY，则)(E. 17已知关于x的不等式xaxe x 在Rx上恒成立，则实数a 的取值范围为. 1, 1 sn 1nn 开始 2nss 是 否 输出 s 结束 ?5n 第 13 题 - 3 - 三、解答题（本大题共5 小题，共72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （本题满分14 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 nS， 22 nn aS. （）求数列 n a的通项公式； （）设 12 log nnn aab, 求数列 n b的前 n 项和 n T .
6、 19 （本题满分14 分） 在 ABC 中，角CB、A的对边分别为cba,， c ca C B2 tan tan . （）求角B的大小； （）求函数)cos(cos)(Bxxxf) 2 ,0( x的值域 . 20 （本题满分14 分） 已知在长方体 DCBAABCD 中，点E为棱 CC 上任意一点， 2BCAB，1CC. （）求证：平面ACAC平面BDE； （）若点P为棱DC的中点，点E为棱CC的中点，求二面角 EBDP的余弦值 . P E B A C D B A D C - 4 - 21 （本题满分15 分） 已知椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的焦点为 1 F)0
7、, 1(， 2 F)0,1(，且经过点) 2 3 ,1(P. （）求椭圆C 的方程； （）设过 1 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B两点，问在椭圆C 上是否存在一点M，使四边形 2 AMBF为 平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 22 （本题满分15 分） 已知函数xaxxxfln2)( 2 （其中 a是实数） . ()求)( xf的单调区间； ()若5) 1 ( 2a e e，且)( xf有两个极值点)(, 2121 xxxx，求)()( 21 xfxf的取值范围 （其中 e是自然对数的底数） - 5 - 2013学年第一学期联盟学校高三期中联考数学（理
8、）试卷参考答案与评分意见 一.选择题（本大题有10 小题，每小题5 分，共 50 分） BADBBCCADB 二填空题（本大题有7 小题，每小题4 分，共 28 分，请将答案写在答题卷上） 11 4 1 1213513106148 或 9 152 16 3 4 170a 三、 解答题 ： （本大题共5 小题 ，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. （本题 14 分） （）当1n时，2 1 a，,1 分 当2n时，)22(22 11nnnnn aaSSa,3 分 即：2 1n n a a ，数列 n a为以 2 为公比的等比数列,5 分 n n a2,7 分 （） nnn
9、 n nb2) 1(2log2 1 2 ,9 分 132 12 2)1(223222 2)1(22322 nn n nn n nnT nnT ,11 分 两式相减，得 1132 22)1(2224 nnn n nnT,13 分 1 2 n n nT,14 分 19. （本题 14 分） （） C CA BC CB sin sinsin2 cossin cossin , 而0sinC,3 分 CBBACBsincoscossin2cossin ABACBsincossin2)sin(,5 分 2 1 cosB 3 B,7 分 （）xxxxfcossin 2 3 cos 2 1 )( 2 ,8 分
10、 x x 2sin 4 3 4 2cos1 ,9分 4 1 ) 3 2cos( 2 1 x,11 分 3 4 , 33 2x 2 1 ) 3 2cos(1x,13 分 )( xf的值域为 2 1 , 4 1 ,14 分 - 6 - 20. （本题 14 分） （）ABCD 为正方形BDAC,2 分 CC平面 ABCDCCBD,4 分 又CACCC BD平面ACAC 平面 BDE平面ACAC,6 分 （）建立以DA 为 x轴，以 DC 为 y轴，以DD为 z 轴的空间直角坐标系 ,7 分 设平面 BDE 的法向量为),(zyxm ) 2 1 ,2,0(),0,2,2(DEDB 0 2 1 2 0
11、22 zyDEm yxDBm )4,1,1(m,9 分 设平面 PBD 的法向量为),(zyxn )1 ,1 ,0(DP 0 022 zyDPn yxDBn ) 1,1, 1(n,11 分 3 6 ,cos nm nm nm,13 分 二面角EBDP的余弦值为 3 6 ,14 分 21 （本题 15 分） （） 222 2 , 2 3 ,1cba a b c,3 分 3,2 ba，,5分 椭圆 C 的方程为1 34 22 yx ,7 分 （）假设存在符合条件的点),( 00 yxM, 设直线 l 的方程为1myx,8 分 由 1243 1 22 yx myx 得:096)43( 22 myym
12、，0 43 6 2 21 m m yy， AB 的中点为 43 3 , 43 4 22 m m m ,10 分 四边形 2 AMBF为平行四边形 - 7 - AB 与 2 MF的中点重合，即： 43 3 2 43 4 2 1 2 0 2 0 m my m x ) 43 6 , 43 123 ( 22 2 m m m m M,13 分 把点 M 坐标代入椭圆C 的方程得 :0802427 24 mm 解得 9 20 2 m,14 分 存在符合条件的直线l 的方程为：)1( 10 53 xy,15 分 22 （本题 15 分） () a x axxf4 2 2)(,1 分 当04a，即4a时，0)
13、( xf )( xf的增区间为,0,3 分 当4a时， x axx xf 22 )( 2 01,0 2 ,016 2121 2 xx a xxa 21 0xx,5 分 )( xf的增区间为, 4 16 , 4 16 ,0 22 aaaa ， 减区间为 4 16 , 4 16 22 aaaa ,7 分 () 由()可知，)(xf在),(2, 1xx内递减 )()( 21 xfxf,8 分 1 1 2 1 x x x，10 1 x ) 2 1 2(25) 1 (2)(2) 1 (2 1 121 x xxxa e e 而) 1 (2 1 1 x xy在1 ,0上递减， e x 1 2 1 1 ,10 分 1 2 1 2 1 2 1 2121ln4 1 ln2)( 2 )()(xx x x x xx a xfxf,12 分 - 8 - 令 1 2 1 2 1 1 ln4 1 )(xx x xg) 1 2 1 ( 1 e x 0 )1(2 )( 3 1 22 1 1 x x xg )( 1 xg在) 1 , 2 1 ( e 上递减,14 分 2ln4 4 15 ,2 1 )()( 21 e exfxf,15 分