中考数学创新题集锦(含答案)-.pdf

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1、第 1 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 中考数学创新题 -折叠剪切问题 折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类 问题 . 一折叠后求度数 【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD为折痕， 则 CBD的度数为 （） A60 0 B 75 0 C 90 0 D 95 0 答案： C 【2】 如图 , 把一个长方形纸片沿EF 折叠后 , 点 D、C 分别落在D、 C的位置，若EFB 65，则 AED 等于（） A50 B55C 60 D 65 答案： A 【 3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧

2、、压平 就可以得到如图（2）所示的正五边形，其中度. 答案： 36 二折叠后求面积 【4】 如图 , 有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB边上，折痕为 AE ，再将 AED以 DE为折痕向右折叠，AE与 BC交于点 F，则 CEF的面积为（） A4 B6 C8 D10 图（ 1） 第 3 题图 C D E B A 图 （2） 第 2 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 答案： C 【5】 如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点 E、F分别是 AB 、BC的中点，若沿左图中 的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 A

3、2 B4 C8 D10 答案： B 【6】 如图 a，ABCD是一矩形纸片，AB 6cm，AD 8cm，E是 AD上一点，且AE 6cm 。操 作： （1）将 AB向 AE折过去，使AB与 AE重合，得折痕AF，如图 b； （ 2）将 AFB以 BF 为折痕向右折过去，得图c。则 GFC的面积是（） E A A A B B B C C C G D D D F F F 图 a 图 b 图 c 第 6 题图 第 3 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 A.1cm2 B.2 cm 2 C.3 cm 2 D.4 cm 2 答案： B 三折叠后求长度 【7】 如图，已知边长为5 的等边三角

4、形ABC纸片，点E 在 AC边上，点F 在 AB边上，沿 着 EF折叠，使点A落在 BC边上的点 D的位置，且EDBC，则 CE的长是（） （A）10 315（B）105 3 （C）5 35（D）2010 3 答案： D 四折叠后得图形 【8】 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分， 将展开后得到的平面图形是（） A矩形 B三角形 C梯形 D菱形 答案： D 【 9】 在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边 形又能拼成三角形和梯形的是（） A. B. C. D. 答案： D 【10】小强拿了张正方形的纸如图（1） ，沿虚线对折一

5、次如图（2） ，再对折一次得图（3） ， 然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是 ( ) A B C D E F 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 4 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 答案： D 【11】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN （图甲），再把 B点叠在折痕MN上的B处。得 到Rt AB E（图乙），再延长EB交 AD于 F，所得到的EAF是（） A. 等腰三角形B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形D. 直角三角形 答案： B 【12】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分， 其中

6、一部分展开后的平面图形是（） 答案： C 【13】如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（） 第 10 题图 A B CD 图3 图 1 第 12 题图 第 5 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 答案： C 【14】 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边， AD BC ，AD=BC. 将此三角形纸片 沿 AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不 全等的四边形的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案： D 五折叠后得结论 【15】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影. 请看图，折叠一张三角

7、形纸片， 把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论： “三角形的三个内角和等于_. ” 答案： 180 【16】如图，把 ABC纸片沿 DE折叠，当点 A落在四边形BCDE 内部时， 则A与12 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（） A. A12B. 212A C. 32 12AD. )21(23 A 答案： B 【17】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形 ( 如图 1)，然后将剩余部分剪 拼成一个矩形 ( 如图 2) ，上述操作所能验证的等式是（ A.a 2 b 2 =(a +b)(a -b) .(a b)

8、 2 = a2 2ab+ b2 .(a + b) 2 = a2 +2ab+ b2 .a 2 + ab = a (a +b) 第 14 题图 第 15 题图 （1） 第 17 题图 （2） 第 6 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 答案： A 【18】如图，一张矩形报纸ABCD 的长 AB a cm，宽 BC b cm，E、 F分别是 AB 、 CD的中 点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽 之比，则ab 等于（） A1:2 B2:1 C1:3 D3:1 答案： A 六折叠和剪切的应用 【 19】将正方形ABCD折叠，使顶点A与

9、CD边上的点M重合，折痕交AD于 E，交 BC于 F， 边 AB折叠后与BC边交于点 G（如图） . （ 1）如果 M为 CD边的中点，求证：DE DM EM=3 45； （ 2） 如果 M为 CD边上的任意一点， 设 AB=2a ， 问 CMG 的周长是否与点M的位置有关？ 若有关，请把CMG 的周长用含DM的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由. 答案：（1）先求出DE=AD 8 3 ，ADDM 2 1 ，ADEM 8 5 后证之 . （2）注意到 DEM CMG ，求出 CMG 的周长等于4a，从而它与点M在 CD边上 的位置无关 . 【 20】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一

10、般都有一个共同的特征: 每次对折后 , 所 得的长方形和原长方形相似, 问这些报纸的长和宽的比值是多少? 答案：21. 【21】用剪刀将形状如图1 所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM剪成两部分 , 其中 M为 AD的 中点 . 用这两部分纸片可以拼成一些新图形, 例如图2 中的 RtBCE就是拼成的一个图 形 . A B C D E F M G 第 19 题图 E B A C B A M C D M 图 3 图 4 图 1 图 2 第 21 题图 第 7 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 (1) 用这两部分纸片除了可以拼成图2 中的 RtBCE外, 还可以拼成一些四边形. 请

11、你 试一试 , 把拼好的四边形分别画在图3、图 4 的虚框内 . (2) 若利用这两部分纸片拼成的RtBCE是等腰直角三角形, 设原矩形纸片中的边AB和 BC的长分别为a 厘米、 b 厘米 , 且 a、 b恰好是关于x 的方程01)1( 2 mxmx 的两个实数根, 试求出原矩形纸片的面积. 答案：（1）如图 （2）由题可知AB CD AE ，又 BC BE AB AE BC 2AB ，即ab2 由题意知aa 2,是方程01)1( 2 mxmx的两根 12 12 maa maa 消去 a，得07132 2 mm 解得7m或 2 1 m 经检验：由于当 2 1 m，0 2 3 2aa，知 2 1

12、 m不符合题意，舍去. 7m符合题意 . 81mabS矩形 答：原矩形纸片的面积为8cm2. 【22】电脑 CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型 圆片，叫“晶圆片” 。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片 若干。 如果晶圆片的直径为10. 05cm 。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗） B A CB AM CE M 图 3 图 4 E 第 21 题答案图 第 8 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 答案： 可以切割出66 个小正方形。 方法一： （1）我们把 10

13、 个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放 入直径为10. 05cm 的圆内，如图中矩形ABCD 。 AB1 BC10 对角线 2 AC 1001101 2 05.10 （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9 个小正方形。 G F HE D CB A 新加入的两排小正方形连同ABCD 的一部分可看成矩形EFGH ， 矩形 EFGH 的长为 9，高为3，对角线 9098139 222 EG 2 05.10 。但是新加入的这两排小 正方形不能是每排10 个，因为： 1099100310 22 2 05.10 （3）同理： 89256458 22 2 05.10 106

14、258159 22 2 05.10 可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8 个小正方形，那么现在小正方形 已有了 5 层。 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7 层，新矩形的高可以看成是7，那么 新加入的这两排，每排都可以是7 个但不能是8 个。 98494977 22 2 05.10 113496478 22 2 05.10 第 9 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 （5）在 7 层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排 可以是 4 个但不能是5 个。 97811694 22 2 05.10 106812595 22 2 05.10 现在总共

15、排了9 层，高度达到了9，上下各剩下约0. 5cm 的空间，因为矩形ABCD 的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。 102928 272466（个） 方法二： 学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按 9 个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8 个，现在共有6 层。 （2）在前面的基础上，上下各加6 个，现在共有8 层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10 层。 这样共有： 49 28262166（个） 【23】在一张长12cm 、宽 5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形. 李颖同学按照取两组对边 中点的方法

16、折出菱形 EFGH（见方案一） ，张丰同学沿矩形的对角线 AC折出CAE= DAC ，ACF= ACB的方法得到菱形AECF （见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的 折法中，哪种菱形面积较大？ 答案：（方案一） 4 15 12546 22 AEH SSS 矩形菱形 2 30(cm ) （方案二） 设 BE=x ，则 CE=12-x 222 25AEBEABx 由 AECF是菱形，则AE 2=CE2 22 25(12)xx 119 24 x A D E H F B C G （方案一） A D E F B C （方案二） 第 23 题图 第 10 页 共 12 页中考数学创新题 -

17、 折叠剪切问题 2 ABE SSS 矩形菱形 = 1119 12525 224 35.21(m) 比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大. 【24】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下： 仿上面图示的方法，及韦达下列问题： 操作设计： （1）如图（ 2） ，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三 角形等面积的矩形。 （2）如图（ 3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形 等面积的矩形。 答案：（1） 第 24 题图（ 1） 第 24 题图（ 2）第 24 题图（ 3） 方法一：方法二： 第 24 题答案图（ 1）第 24 题答案图（ 2）

18、 第 11 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 （2）略。 【25】如图， O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多 次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1 次剪裁，将圆形纸板等分为4 个扇形；第2 次剪裁，将 上次得到的扇形面中的一个再等分成4 个扇形；以后按 第 2 次剪裁的作法进行下去. (1) 请你在 O中，用尺规作出第2 次剪裁后得到的7 个扇形 ( 保留痕迹，不写作法). (2) 请你通过操作和猜想，将第3、第 4 和第 n 次裁剪后所得扇形的总个数(S) 填入下 表. 等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 ,n 所得扇形的总个数(S) 4 7 , (3)

19、 请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33 个扇形？为什么？ 答案： (1) 由图知六边形各内角相等. (2) 七边形是正七边形. (3) 猜想：当边数是奇数时( 或当边数是3， 5，7，9，, 时 ) ，各内角相等的圆内接多 边形是正多边形. 【26】如图，若把边长为1 的正方形ABCD 的四个角 ( 阴影部 分) 剪掉，得一四边形A1B1C1D1. 试问怎样剪，才能使剩下 的图形仍为正方形， 且剩下图形的面积为原正方形面积的 9 5 ，请说明理由 ( 写出证明及计算过程). 答案： 剪法是：当AA 1=BB1=CC1=DD1= 3 1 或 3 2 时， 四边形 A1B1C1

20、D1为正方形，且S= 9 5 . 在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1， A= B=C=D=90 . AA 1=BB1=CC1=DD1， A1B=B1C=C1D=D1A. D1AA 1 A1BB1 B1CC1 C1DD1. D1A1=A1B1=B 1C1=C1D1， AD 1A1=BA1B1=CB1C1=DC1D1. AA 1D+BA1B1=90 ，即 D1A1B1=90 . 四边形A1B1C1D1为正方形 .设 AA 1=x， 则 AD 1=1x. 第 25 题图 O 第 12 页 共 12 页中考数学创新题 - 折叠剪切问题 正方形A1B1C1D1的面积 = 9 5 ， SAA1D1= 9 1 即 2 1 x(1 x)= 9 1 ， 整理得 9x 29x+2=0. 解得 x1= 3 1 ，x2= 3 2 . 当 AA 1= 3 1 时， AD 1= 3 2 ， 当 AA 1= 3 2 时， AD 1= 3 1 . 当 AA 1=BB1=CC1=DD1= 3 1 或 3 2 时， 四边形 A1B1C1D1仍为正方形且面积是原面积的 9 5 .