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1、刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。 本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和 加速度。 一、刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中， 如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体 作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究 刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体 绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(tf （2）定
2、轴转动刚体的角速度： )(tf （3）定轴转动刚体的角加速度： )(tf （4）定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示 速度： rv（71） 加速度： vraaa nt （72） 其中： , 为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量， r是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中， 若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体 作平面运动。 研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运 动。 1、刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A、 B， 过这两点的连线某一基准线的夹角为（如图 7-2） 。 当刚体运动时这个夹角将随时
3、间变化 )(t ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别 定义为： ，（73） （74） 2、刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(),( 321 tftfytfx AA （75） 其中：A点称为基点（如图7-3 所示） 。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图 71 r P 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。 本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和 加速度。 一、刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中， 如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体 作平移或平动。 平移刚体上各点
4、的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究 刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体 绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(tf （2）定轴转动刚体的角速度： )(tf （3）定轴转动刚体的角加速度： )(tf （4）定轴转动刚体上一点P的速度和加速度用矢量表示 速度： rv（71） 加速度： vraaa nt （72） 其中： , 为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中， 若
5、其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体 作平面运动。 研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运 动。 1、刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A、 B， 过这两点的连线某一基准线的夹角为（如图 7-2） 。 当刚体运动时这个夹角将随时间变化 )(t ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别 定义为： ，（73） （74） 2、刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(),( 321 tftfytfx AA （75） 其中：A点称为基点（如图7-3 所示） 。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 移和绕基点转动的合成
6、，而刚体的平面平移（ c ，其中c为常量）和定轴转动 图 71 r P （ , 21 cycx AA 其中 21,c c 为常量）又是刚体平面运动的特殊情况。 同一平面运动刚体， 若选取得不同的基点， 则基点的运动方程会有所不同，刚体 绕不同基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点的选 取无关，根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义（73）式和（ 74）式也可 得到这一结论。 3、平面图形上各点的速度 基点法公式 ： BAAB vvv （76） 基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。 速度投影定理 ：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相
7、等，即： ABABBA vv （77） 该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。 速度瞬心法： 只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度 在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用 v c 表示。平面图形上任一点M的 速度可表示成 M v CM rv （78） 其中： M v C r 是从速度瞬心 v c 引向 M点的矢径，为平面图形的角速度矢量。 4、平面图形上各点的加速度 基点法公式： nt BABAAB aaaa （79） 其中： )(, nt ABAB rara BABA 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速 度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要
8、平面图形的角速度和角加速度不 同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形 的加速度瞬心 ，用 a C 表示。 33 取套筒 B 为动点， OA 杆为动系 根据点的复合运动速度合成定理 图 72 图 73 A B x y A B a v e v A v rea vvv 可得： lvv e 0 a 30cos ， lvvv BCB 3 32 a 研究 AD 杆，应用速度投影定理有： 0 30cos DA vv ， lvD 3 34 再取套筒D 为动点， BC 杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理 rDBCD vvv 将上式在x 轴上投影有： rDBCD vvv ，
9、lvvv BCDD 3 32 r 34 AB 构件（灰色物体）作平面运动，已知A 点的速度 sAOvA/0cm45 10 AB 的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有： rad/s 2 3 AC vA AB BCv ABB， 设 OB 杆的角速度为，则有 rad/s 4 15 OB vB 设 P点是 AB 构件上与齿轮I 的接触点， 该点的速度： CPv ABP 齿轮 I 的角速度为： rad/s6 1 r vP I 36 AB 杆作平面运动，取A 为基点 根据基点法公式有： BAAB vvv A v B v P v C ABI B v BA v A v 将上式在AB 连线上投影，可得 0, 0
10、1B OB v 因此， 0 4 1 AB vA AB 因为 B 点作圆周运动，此时速度为零， 因此只有切向加速度（方向如图）。 根据加速度基点法公式 nt BABAAB aaaa 将上式在AB 连线上投影，可得 n0 60cos BAAB aaa ， raB 2 0 5.2 2 0 1 2 3 1 BO aB BO （瞬时针） 37 齿轮 II 作平面运动，取A 为基点有 nt BABAAB aaaa nt 1BABA aaaa 将上式在x 投影有： n 1 cos BA aaa 由此求得： 2 1 2 n 2 cos 2r aa r aBA II 再将基点法公式在y 轴上投影有： 2 t 2
11、sinraa IIBA， 由此求得 2 2 sin r a II 再研究齿轮II 上的圆心，取A 为基点 ntnt 2222 AOAOAOO aaaaa 将上式在y 轴上投影有 A a B a t BA a n BA a t 2A O a n 2AO a x y n 2 O a t 2 O a 2 sin 2 tt 22 a raa IIAOO ， 由此解得： )(2 sin 2121 t 2 21 rr a rr aO OO 再将基点法公式在x 轴上投影有： n 1 n 22 AOOaaa 由此解得： 2 cos 1n 2 aa aO ， 又因为 2 21 n 212 )( OOO rra
12、由此可得： )(2 cos 21 1 21 rr aa OO 39 卷筒作平面运动，C 为速度瞬心，其上D 点的速度为 v，卷筒的角速度为： rR v DC v 角加速度为： rR a rR v 卷筒 O 点的速度为： rR vR RvO O 点作直线运动，其加速度为： rR aR rR Rv va OO 研究卷筒，取O 为基点，求B 点的加速度。 n 0 t BBOOB aaaa 将其分别在x,y 轴上投影 nt BOByBOOBxaaaaa 422 2 22 )(4 )( vrRa rR R aaa ByBxB 同理，取O 为基点，求C 点的加速度。 n 0 t CCOOC aaaa O
13、a n CO a O t CO a C B t BO a n BO a 将其分别在x,y 轴上投影 nt 0COCyCOOCxaaaaa 2 2 )(rR Rv aa CyC 310 图示瞬时， AB 杆瞬时平移，因此有： m/s2OAvv AB AB 杆的角速度： 0 AB 圆盘作平面运动，速度瞬心在P 点，圆盘的 的角速度为： m/s4 r vB B 圆盘上 C 点的速度为： m/s22PCv BC AB 杆上的 A、B 两点均作圆周运动，取A 为基点 根据基点法公式有 tnt BAABBB aaaaa 将上式在x 轴上投影可得： 0 t B a 因此： 2 2 n m/s8 r v aa
14、 B BB 由于任意瞬时，圆盘的角速度均为： r vB B 将其对时间求导有： r a r v BB B t ， 由于 0 t B a ，所以圆盘的角加速度 0 BB 。 圆盘作平面运动，取B 为基点，根据基点法公式有： nnt CBBCBCBBC aaaaaa 22n2n m/s28)()( CBBC aaa 313 滑块 C 的速度及其加速度就是DC 杆的速度 B t BA a t B a A a n B a B C B a n BC a A v B v B P C v B v e v r v v P a a r a e a K a 和加速度。 AB 杆作平面运动，其速度瞬心为P， AB
15、杆的角速度为： rad/s1 AP vA AB 杆上 C 点的速度为： m/s2 .0PCv ABC 取 AB 杆为动系，套筒C 为动点， 根据点的复合运动速度合成定理有： rea vvv 其中： C vve ，根据几何关系可求得： m/s 15 3 ra vv AB 杆作平面运动，其A 点加速度为零， B 点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知 ntnt BABABABAAB aaaaaa 由该式可求得 2 0 n m/s8 .0 30sin BA B a a 由于 A 点的加速度为零，AB 杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB 杆中点的加速度为： 2 m/s4.05.0 BC
16、aa 再取 AB 杆为动系，套筒C 为动点， 根据复合运动加速度合成定理有： Krea aaaa 其中： aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB 杆上 C 点的加速度，即： 2 e m/s4 .0a 将上述公式在垂直于AB 杆的轴上投影有： K 0 e 0 a 30cos30cosaaa 科氏加速度 rK2vaAB ，由上式可求得： 2 a m/s 3 2 a 3-14 ：取圆盘中心 1 O为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为 B a t BA a n BA a C a 直线平移。 由速度合成定理有： rea vvv 速度图如图A所示。由于动系平移，所
17、以 uve ， 根据速度合成定理可求出： u v vu v vvO2 sin ,3 tan e r e a 1 由于圆盘O1 在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为： r u r v2 r 由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。 再研究圆盘，取 1 O为基点根据基点法公式有： 11 BOOB vvv urvv BOBx 00 30sin30sin 1 uvvv BOOBy 3230cos 0 11 uvvv ByBxB 13 22 为求 B 点的加速度，先求 1 O点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心 1 O为动点，半圆盘为动系，根据加速 度合成定理有 t r
18、n rea aaaa（a） 其加速度图如图C所示， r u rR v a 2n rn r ， 将公式（ a）在x和 y 轴上投影可得： sincos: cossin0: n r t ra n r t r aaay aax O 1 o A u B 1 O v 1 BO v 图 B v a v O A B u e v 1o 图 A t r a n r a O y x 图 C 1 o a a 由此求出： r u aa r u a O 2 a 2 t r 2 , 3 1 ，圆盘的角加速度为： 2 2t r 3 r u r a 下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象， 1 O为基点，应用基点法公式有
19、： nt 111 BOBOOB aaaa （b） 将（ b）式分别在yx,轴上投影： 0t0n 0t0n 30cos30sin 30sin30cos 111 11 BOBOOBy BOBOBx aaaa aaa 其中： r u raBO 2 2n4 1 ， r u raBO 2 t 3 1 由此可得： r u aB 2 37 315（b）取 BC 杆为动系（瞬时平移） ， 套筒 A 为动点（匀速圆周运动）。 根据速度合成定理有： rea vvv 由上式可解得： rvv 3 3 30tan 0 ae 因为 BC 杆瞬时平移，所以有： rvvCD 3 3 e 315（d）取 BC 杆为动系（平面运
20、动） ， 套筒 A 为动点（匀速圆周运动）。 BC 杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为 BC 根据速度合成定理有： t 1 BO a A a O 1 o B x y n 1 BOa 图 D a v e v r v a v e v C v P r v y x BC rea vvv 根据几何关系可求出： rCPrPO 3 16 , 3 8 2 将速度合成定理公式在x,y 轴上投影 : BCyyyy BCxxx AOvvvv POvvvv 2erea 2rrea 由此解得 : rvr BC ) 2 3 3 2 (, 4 1 DC 杆的速度 rCPv BCC 3 4 3-16(b) BC 杆作
21、平面运动 ,根据基点法有: ntntnt CBCBBBCBCBBC aaaaaaaa 由于 BC 杆瞬时平移 , 0 BC ,上式可表示成: tnt CBBBC aaaa 将上式在铅垂轴上投影有: 0tn 30sin0 CBB aa 由此解得 : 2 6 1 BC 再研究套筒A,取 BC 杆为动系（平面运动） ，套筒 A 为动点（匀速圆周运动） Krea aaaaaA (a) 其中 : K a 为科氏加速度,因为 0 AB ,所以 0 K a 动点的牵连加速度为: t e n eeCCC aaaa 由于动系瞬时平移,所以 0 n eC a , ACa BCC t e 牵连加速度为 t eeCC
22、 aaa , 则(a)式可以表示成 r t ea aaaaa CCA 将上式在y 轴上投影 : t CB a C a n B a t B a BC A a t eC a r a C a y t CB a C a n B a t B a BC t e 00 30cos30cos CCA aaa 由此求得 : raC 2 ) 9 32 1( 316(d) 取 BC 杆为动系，套筒A 为动点， 动点 A 的牵连加速度为 nt eACACC aaaa 动点的绝对加速度为 KACACC aaaaaa r nt a 其中 K a 为动点 A 的科氏加速度。 将上式在y 轴上投影有 KACC aaaa t0
23、0 a 30cos30cos 上式可写成 r 002 230cos30cosvACar BCBCC (a) 其中： rvr BC ) 2 3 3 2 (, 4 1 （见 315d） BC为 BC 杆的角加速度。 再取 BC 杆上的 C 点为动点，套筒2 O 为动系，由加速度合成定理有 KC reaC aaaaa 其中 nt e 22 COCOaaa ，上式可表示为 KCOCOC r nt 22 aaaaa 将上式在y 轴投影有： KCOC aaa30cos t0 2 该式可表示成： 0 2 0 30sin230cos CBCBCC vCOa （b） 联立求解 (a),(b)可得 a a K a
24、 r a y x BC t AC a n AC a C a K a C a r a y x BC t 2CO a n 2 CO a 22 8 3 , 9 34 BCC ra 317 AB 杆作平面运动，其速度瞬心位于P， 可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以 O 为 圆心， R 为半径的圆周上，并且A、O、P在同 一直径上。由此可得AB 杆任何时刻的角速度均 为 R v AP v AA AB 2 杆上 B 点的速度为： AABB vPBv 2 2 AB 杆的角加速度为： 0 AP vA ABAB 取 A 为基点，根据基点法有 ntn BAABABAAB aaaaaa 将上式分别在x,y 轴上投
25、影有 R v sinaaa R v cosaa A BAABy A BABx 4 3 45 4 45 2 0n 2 0n R v aaa A ByBxB 4 10 2 22 318 取 DC 杆上的 C 点为动点，构件AB 为动系 reaCCC vvv 根据几何关系可求得： rvvCC3re 再取 DC 杆上的 D 点为动点，构件AB 为动系 B v P O R O R A a n BA a x y aC v eC v rC v eD v rD v x y reaDDD vvv 由于 BD 杆相对动系平移，因此 rrDC vv 将上式分别在x,y 轴上投影可得 rvv rvvv DyD DDx
26、D 2 3 30cos 2 3 30sin 0 ra 0 rea 求加速度：研究C 点有 KreaCCCCC aaaaa 将上式在y 轴投影有 0 K 0 r 0 e 30sin30cos30sin0 CCC aaa 由此求得 raC 2 r 3 再研究 D 点 KreaDDDDD aaaaa 由于 BD 杆相对动系平移，因此 rrDC aa 将上式分别在x,y 轴上投影有 raaaa raaa DDDD DDD 20 K 0 reay 20 K 0 rax 2 33 30sin30cos 2 9 30cos30sin 321 由于圆盘纯滚动，所以有 raC 根据质心运动定理有： mgFF F
27、Fma N SC sin0 cos 根据相对质心的动量矩定理有 0 2 FrrFm S 求解上式可得： x y rC a aC a CK a eC a rD a DK a eD a N F C a S F )( )cos( 22 0 rm rrFr aC ， sinFmgFN 22 0 2 )cos( r rrF FS 若圆盘无滑动，摩擦力应满足 NS fFF ，由此可得： 当： sinFmg 时， 322 研究 AB 杆， BD 绳剪断后，其受力如图所示， 由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知 AB 杆质心 C 的加速度铅垂。 由质心运动定理有： ANC Fmgma 根据相对质心的
28、动量矩定理有： cos 212 1 2 l Fml ANAB 刚体 AB 作平面运动，运动初始时，角速度为零。 A 点的加速度水平，AB 杆的加速度瞬心位于P 点。 有运动关系式 cos 2 l a ABC 求解以上三式可求得： mgFAN 5 2 325 设板和圆盘中心O 的加速度分别为 O aa , 1 ，圆盘的角加速度为，圆盘上与板 min 22 0 2 )(sin( )cos( f rFmg rrF f gm AN F C a A a AB P O a t AO a n AO a A R 的接触点为A，则 A 点的加速度为 nt AOAOOA aaaa 将上式在水平方向投影有 1 t
29、aRaaaa OAOOAx （ a） 取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有 22 Fam O (b) 应用相对质心动量矩定理有 RFRm 2 2 2 2 1 (c) 再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有 211 FFFam S (d ) 作用在板上的滑动摩擦力为： gmmffFF NS )( 21 (e) 由 (a) (b) (c) (d) (e) 联立可解得： 21 21 1 3 )(33 mm gmmfF a 329 解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运 动到一般位置 时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之
30、和： 22 2 22 12 2 1 2 1 2 1 2 1 AAAABCC JvmJvmT 其中： , sin ,sinsin , 2 , R l R v llv l v A A ABA CAB 因此系统的动能可以表示成： 2N F g 2 m 2 F N F g 1 m F S F g 2 m 2 F A A v C v AB P 222 2 22 1 2 2 22 2 2 2 1 2 12 sin 4 3 6 1 sin 22 1 )sin( 2 1 122 1 22 1 lmlm R lRm lm lml mT 系统从 0 45 位置运动到任意角位置， AB杆的重力所作的功为： )sin
31、45(sin 2 0 121 l gmW 根据动能定理的积分形式 2112 WTT 初始时系统静止，所以 0 1 T ，因此有 )sin45(sin 2 sin 4 3 6 1 0 1 222 2 22 1 l gmlmlm 将上式对时间求导可得： cos 2 cossin 2 3 sin 2 3 3 1 1 32 2 22 2 2 1 l gmlmlmlm 将上式中消去可得： cos 2 sincos 2 3 sin 2 3 3 1 1 22 2 22 2 2 1 l gmlmlmlm 根据初始条件 0 45, 0 ，可求得初始瞬时AB杆的角加速度： lmm gm )94( 23 21 1
32、因为 0，所以 AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时 AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在 a c 点， 由此可求出AB 杆上 A点的加速度： )94( 3 45cos45sin 21 100 mm gm lla ABA 333 设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示 g 1 m a c A a A v AB C v C 根据冲量矩定理有： Ivmvm CA21 (a) 其中： C v 为 AB杆质心的速度，根据平面运动关系有 ABAC l vv 2 (b) 再根据对固定点的冲量矩定理： )(I AA ML 系统对固定点A （与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量
33、矩和AB杆对 A点的动量矩， 由于滑块的 动量过 A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对 A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为： ABCA lm l vmL 2 22 12 1 2 将其代入冲量矩定理有： lIlm l vm ABC 2 22 12 1 2 (c) 由（ a,b,c）三式求解可得： 2 9 2 m I vA (滑块的真实方向与图示相反) 334研究整体，系统对A 轴的动量矩为： )()(BCAACAA LLL 其中： AC 杆对 A 轴的动量矩为 ACACA mlL 2 )( 3 1 设 1 C 为 BC 杆的质心， BC 杆对 A 轴的动量矩为 BCC)BC(A mllm
34、vL 2 12 1 2 3 1 BCACCCCC l lvvv 2 11 根据冲量矩定理 I lLA2 可得： Cy I Cx I BC 1 C v C v C lImlml BCAC 2 6 5 6 1122 （ a） 再研究 BC 杆，其对与C 点重合的固定点的动量矩为 BCACBCCC mlmlml l mvL 222 3 1 2 1 12 1 2 1 根据冲量矩定理 I lLC 有： lImlml BCAC 22 3 1 2 1 （b） 联立求解（ a）,(b) 可得 2 rad/s5.2 7 6 ml I AC 335 碰撞前，弹簧有静变形 k mg st 第一阶段： 3 m 与 1
35、m 通过完全塑性碰撞后一起向下运动， 不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有： ghmv)mm(2 331 碰撞结束时两物体向下运动的速度为 2 2gh v 第二阶段：3 m 与1 m 一起向下运动后再回到碰撞结束时 的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上， 大小仍然为 2 2gh v 第三阶段： 3 m 与 1 m 一起上升到最高位置，此时弹簧 被拉长。根据动能定理 21 12 WTT 有： 22 31 2 31 22 )()()( 2 1 0 kk gmmvmm stst 3 m st v 3 m st v 上式可表示成： 2 22 2 22 2 2 2 3 22 )(2 2 k m
36、g k gmk k gm k mg mg mgh 若使 2 m 脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有k mg ，将k mg 代入上式求得：k mg h 8 。 若k mg ，则k mg h 8 注：上述结果是在假设 3 m 与 1 m 始终粘连在一起的条件下得到的，若 3 m 与 1 m 之间没有粘着力， 答案应为k mg h 9 ，如何求解，请思考。 336 取 AB 杆为研究对象，初始时，杆上的A 点与水平杆上的O 点重合，当 0t时系统静止，0t AB 杆上 A 点的速度 为v，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O 的冲量矩定理可得 02 12 1 2 )l(mlmvL
37、 CO 其中： lvlvv AC 由此解得： l v 4 3 当0t时，滑块A 以加速度a向右运动， 取 AB 杆为研究对象，应用相对动点A 的动量矩定理有： sinlmgcosmal)l(m 2 2 3 1 将上式积分并简化可得： Cgalcossin 3 2 2 其中 C 是积分常数由初始条件 , 0 确定出 g l v C 8 3 2 。 上式可表示成 Ay F Ax F B A gm a am )( 8 3 cossin 3 2 2 2 fg l v gal 若 AB 杆可转动整圈， 则应有0，因此 0)(f 。若 )(f 的最小值大于零，则 AB 杆就可以完成整圈转动。 下面求 )(
38、f 的极值。 g l v gaf 8 3 cossin)( 2 将上式求导令其为零有 0sincos)( gaf 求得极值点为： g a* tan 当 22 * 22 * cos,sin ga g ga a ， 函数 )( * f 取最大值 当 22 * 22 * cos,sin ga g ga a ， 函数 )( * f 取最小值，若使最小值大于零，则有 0 8 3 8 3 3 2 2 22 2 22 2 22 2 2 g l v gag l v ga g ga a l 由此求得： )(83 222 gaglv 思考题与习题 （刚体的平面运动） 71 平面运动刚体如图所示，哪种运动情况是可能
39、的？ （a） 0|,| BA vv （b） 2 , BA vv（c） 0, BA aa A B A v B v A v B v A B A B A a B a A a B a A B A a B a A A a B a A （b） 0, 2 0 0 BA aa （e） BAaa0 （f） ABaa0 题 71 图 72 如图所示圆盘在地面上纯滚动，圆盘中心的速度为u（常量） ，设 P为圆盘左 半侧的任意一点（且不在铅垂直线上） ，若 P v 为该点速度的大小，则： A: 0 d d t vP B: 0 d d t vP C: 0 d d t vP 题 72 图题 73 图 73 半径为 r 的
40、齿轮 A 通过 OA 杆连接在半径为R 的固定齿轮 O 上纯滚动，且 R=nr（n 为正整数），若 OA 杆转动一周，求齿轮A 转过的角度。 74 机构如图所示， AB 杆以匀角速度绕A 轴转动，在图示瞬时， AB 杆平行于 CD 杆，试确定 BC 杆和 CD 杆的角加速度转向。 题 74 图题 75 图 75 半径为 r 的圆盘 A 以匀角速度在半径为 R 的固定半圆盘上纯滚动，求圆盘 中心 A 的加速度。 76 滑块 A 以匀速 A v 沿水平滑道运动， AB 杆的 A 端用铰链与滑块A 连接，另一 端放在半径为 R可绕 O 轴转动的圆盘上， 杆与圆盘无相对滑动。 求图示瞬时圆盘的 角速度
41、和角加速度，以及AB 杆的角速度和角加速度与x 之间的关系。 P u O A B D C A A B R r A x O A v B L 0 45 题 76 图题 77 图 77 边长为L2的正方形板在自身平面内运动，图示瞬时圆盘的角速度为，角 加速度为，求该瞬时板上最高点的速度和加速度。 78 机构如图所示，长为0.1m 的曲柄 AO1 以匀角速度rad/s4 1绕 1 O 轴转动，同样 长的曲柄 BO2 以匀角速度rad/s2 2 绕 2 O 轴转动，杆 BD 可在套筒 AC 中滑动。在图 示瞬时，曲柄 AO 1 铅垂，曲柄 BO2 水平， AB 与水平线的夹角为 0 45，且m24 .0
42、AB， 求该瞬时 BD 杆的角速度和角加速度。 题 78 图题 79 图 79 图示平行四边形机构ABCD 在铅垂面内运动，半径为 R 的圆盘由铰链与长为 4R 的 AE 杆连接，并可在BC 杆上纯滚动。已知长为3R 的 AB 杆在图示瞬时的角 速度为， 角加速度为零， AB 杆垂直于 BC 杆。求该瞬时圆盘的角速度和角加速度， 以及 AE 杆的角速度和角加速度。 710 AB 杆的 A 端用铰链与绕 O 轴作定轴 OA 杆连接，并且放在半径为 R的半 圆盘上，若板圆盘在水平面以速度u 匀速移动，OA 杆以匀角速度转动，OA2R， Ru。图示瞬时，OA 铅垂，AB 杆于水平线的夹角为 0 30。求图示瞬时 AB 杆的角 速度和角加速度。 题 710 图 A B C D 1 O 1 2 O 2 0 45 B D C A E