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1、路径长最值问题 常见 模型 结构示例应用的原理 处理方法 基本思路转化原则 轴 对 称 最 值 模 型 如图 , 定点 A,B 在定直线l 的同侧 ,在 定直线 l 上找一动点P,使 PA+PB的值 最小 . 两点之间 , 线段最 短. 作任意一定点关于直线l 的 对称点 , 然后连接对称点与 另一定点 , 根据两点之间线 段最短 , 得出 PA+PB的最小 值. 尽量减少 变量 , 向定 点、定线段、 定图形“靠 拢”; 使用同一 变量表达所 求目标 . 如图 , 定点 A,B 在定直线l 的异侧 ,在 定直线 l 上找一点P,使|PA-PB| 的值 最大 . 三角形的三边关 系 作任意一定
2、点关于直线l 的 对称点 , 然后作过该对称点 和另一定点的直线, 交直线 l 于点 P,根据三角形中两边 之差小于第三边,可得 |PA-PB| 的最大值 . 折 叠 求 最 值 模 型 如图 , 点 N为定点 , 点 M为动点 , 折叠图 形后 . 求 AB 的最小值 ; 求点 A 到 BC距离的最小值. 平面内的点与 圆上距离最大和 最小的点均在该 点与圆心连线所 在的直线上 ; 垂线段最短. 以点 N为圆心、AN的长为半 径作圆 . 连接BN交N 于 一点 , 当点 A 与该交点重合 时,AB 取最小值 ; 过点 N作 BC的垂线 , 交 N 于一点 , 当点 A 与该交 点重合时 ,
3、点 A 到 BC的距 离最小 . 突破点 1 轴对称最值模型 如图 , 在平面直角坐标系中 , AOB 的边 OB与 x 轴正半轴重合, 点 P是 OA上的一动点 ,点 N(3,0) 在 OB上, 点 M是 ON的中点 , AOB=30 , 要使PM+PN 的值最小 , 则点 P的坐标为. 思路分析定点 M,N在定直线 OA同侧 , 求 PM+PN 的最小值时 , 可作点 N关于定直线OA的对称点 N, 再连接 MN, 根据两点之间线段最短, 得到点 P,M,N 共线时 ,PM+PN的值最小 , 据此进行求解 . 突破点 2 折叠求最值模型 如图 , 在 RtABC中, C=90 ,AC=6,
4、BC=8,点F在边 AC上, 且 CF=2,点 E为边 BC上的动点 , 将CEF沿直线 EF 翻折 , 点 C落在点 P处, 则点 P到边 AB距离的最小值为. 思路分析在该问题中 , 先找到定点F,再以点 F为圆心、CF的长为半径作圆, 则点 P在该圆上运动, 求点 P到 AB距离的最小值, 即是求F上的点到AB的最小距离 , 过点 F 作 AB的垂线 , 交F 于一点 , 当点 P与该点重合 时, 点 P到 AB的距离最小 , 据此求解即可 . 1. 如图 , 在ABC中,AB=AC,AD,CE是ABC的两条中线 , 点 P是 AD上的一个动点 , 则下列线段的长等于BP+EP 最小值的
5、是 ( ) A.BC B.CE C.AD D.AC 2. 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, 点 B的坐标为 (3,4),点 D是 OA的中点 , 点 E在 AB上, 当CDE 的周长最小时 , 点 E的坐标为. ( 第 2 题) ( 第 3 题) 3. 如图, AOB=45 , 点P是AOB内一点 ,PO=5, 点 Q,R 分别是 OA,OB上的动点 , 则PQR周长的最小值 为. 4. 如图 , 菱形 ABCD 的边长为2, DAB=60 , 点 E为 BC的中点 , 点 P是对角线 AC上的动点 ,则PBE周长的最小 值为. ( 第 4 题) ( 第 5 题 ) 5. 如
6、图 , 在平面直角坐标系中, 点 A(1,5),B(3,-1),点 M在 x 轴上运动 , 当 AM-BM的值最大时 , 点 M的坐标 为. 6. 在平面直角坐标系中, 抛物线 y= x 2-2x 经过点 A(4,0), 点 C的坐标为 (1,-3),点 D是抛物线对称轴上一动点, 当|AD-CD| 的值最大时 , 点 D的坐标为. 7. 如图 , 在边长为2 的菱形 ABCD 中, A=60 , 点M是 AD边的中点 , 点 N是 AB边上一动点 , 将AMN沿 MN 所在 的直线翻折得到 AMN,连接AC, 则 AC 的最小值为. ( 第 7 题) ( 第 8 题) 8. 如图 ,CD 是
7、 O的直径 ,CD=4,ACD=20 , 点B为弧 AD 的中点 , 点 P是直径 CD 上的一个动点 , 则 PA+PB的最 小值为. 9. 如图 , 抛物线 y=-x 2+ x-2 与 x 轴交于点 A,B 两点 , 与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为D,在 y 轴上是否存在一 点 S,使得 SD-SB的值最大 ?若存在 , 求出点 S的坐标 , 并求出 SD-SB的最大值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 参考答案 高分突破微专项3 路径长最值问题 例 1 (,) 如图 , 作点 N关于 OA的对称点N, 连接 NM交 OA于点 P,此时 PM+PN 的值最小 . OA 垂直平分 NN
8、, AOB=30 , ON=ON, NON=2 AON=60 , NON 是等边三角形 . 点M是 ON的中点 , 点 N(3,0), NMON,ON=3,OM= ON= , PM=OMtan AON= =, P( ,). 即要使 PM+PN 的值最小 , 点 P的 坐标为 ( ,). 例 2 当点 E在 BC上运动时 ,PF 的长固定不变 , 即 PF=CF=2.故点 P在以点 F 为圆心、以2为半径的圆上运 动. 如图 , 过点 F 作 FH AB交F 于点 P,垂足为点H,此时 PH最短 ,则AFH ABC, =. 由已知得 AF=4,AB=10,=, 即 FH= , PH=FH -FP
9、=-2=. 故点 P到 AB距离的最小值为. 强化训练 1.B AB=AC,AD是中线 , AD BC,点B,C 关于直线AD对称 . 连接 CE交 AD于点 F,当点 P与点 F 重合 时,BP+EP的值最小 ,最小值为CE的长 . 故选 B. 2.(3,) 点 B的坐标为 (3,4),OA=3,OC=4,C(0,4). 点D是 OA的中点 , OD=AD=. 如图 , 作点 D关于直线 AB的对称点 F, 则 AF=AD=, 故点 F的坐标为 ( ,0).根据轴对称的性质, 可知直线 FC与 AB的交点就是使得 CDE 的周长最小的点E.利用待定系数法可得直线CF的解析式为y=- x+4,
10、 当 x=3 时,y=, 故点 E的坐标为 (3,). 3.5如图 , 分别作点 P关于 OA,OB的对称点 M,N, 连接 OM,ON,MN,MN 交 OA,OB于点 Q,R, 此时 PQR周长最小 , 为 MN的长 . 由轴对称的性质可得 ,OM=ON=OP=5,MOA= POA, NOB= POB, 则MON=2AOB=2 45=90. 在 RtMON中,MN=5, 即PQR周长的最小值等于5. 4.+1 如图 , 连接 DE,交 AC于点 F, 连接 PD,易得 PB=PD, PD+PE DE,当点P与点 F 重合时 ,PD+PE的值最 小, 且最小值为DE的长 , 易得 DE=, 故
11、 PB+PE的最小值为, 易得 BE=1,故PBE周长的最小值为+1. 5.(,0) 如图 , 作点 B关于 x 轴的对称点B, 连接 AB并延长与x 轴交于点 N,此时 AN-BN=AN-BN=AB,MA-MB=MA- MBAB. 点B 和点 B(3,-1)关于 x 轴对称 , B(3,1).设直线AB的解析式 为 y=kx+b, 将 A(1,5),B(3,1)分别代入 , 得解得故直线 AB的解析式为y=-2x+7, 令 y=0, 解得 x= , 当 AM-BM的值最大时 , 点 M的坐标为 ( ,0). 6.(2,-6) 易知抛物线的对称轴为直线x=2. 如图 ,作点 C关于直线x=2
12、的对称点 C(3,-3),作直线 AC, 与直 线 x=2 交于点 D. 设直线 AC的解析式为y=kx+b, 将 A(4,0),C(3,-3)分别代入 , 得解得故直 线 AC的解析式为y=3x-12, 当 x=2 时,y=-6,故点 D的坐标为 (2,-6). 7.-1 易知 MA是定值 , 且 MA=1,AC 的长度取最小值时, 点 A 在 MC上. 过点 M作 MF DC交 CD的延长线于 点 F,在边长为2 的菱形 ABCD 中, 点 M为 AD的中 点, A=60 , CD=AD=2,DM=AD=1,FDM=60 , FD=DMcos 60 =,FM=DM sin 60=, FC=
13、FD+DC=, MC=, AC=MC -MA=-1. 故 AC 的最小值为-1. 8.2 如图 , 作点 A关于直线 CD的对称点M,则点 M在O 上 ,连接 MB交 CD于点 P,则此时 PA+PB取最小值 , 为 BM.连接 OB,OM. ACD=20 , 点B为弧 AD 的中 点, BOD=20 , DOM=40, BOM=60 . OB=OM, BOM是等边三角形 , BM=OB= CD=2,即 PA+PB的最 小值为 2. 9. 如图 , 作直线 BD交 y 轴于点 S,此时 SD-SB有最大值 , 最大值等于BD的长 . y=-x 2+ x-2=- (x-) 2+ , 点 D的坐标为 ( ,). 将 y=0 代入 y=-x 2+ x-2, 得-x 2+ x-2=0, 解得 x 1=1,x2=4, 点 B的坐标为 (1,0),点 A的坐标为 (4,0). 设直线 BD的解析式为y=kx+b, 将 B(1,0),D(,) 分别代入 , 得解得 故直线 BD的解析式为y= x-, 点 S的坐标为 (0,-). 过点 D作 DE x轴于点 E,则 BE= ,DE= . 在 RtBDE中,BD=. 故在 y 轴上存在一点S,使得 SD-SB的值最大 , 最大值为, 此时点 S的坐标为 (0,-).