浙江省2019届中考数学专题复习专题六探索型问题训练.pdf

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1、专题六探索型问题 类型一规律探索型问题 ( 2018 山东威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为 (1 ，2) ，以点 O为圆心，以OA1 长为半径画弧，交直线y 1 2x 于点 B 1. 过 B1点作 B1A2y轴，交直线y2x 于点 A2，以点 O为圆心，以OA2 长为半径画弧，交直线y 1 2x 于点 B 2；过点 B2作 B2A3y轴，交直线y 2x 于点 A3，以点 O为圆心，以OA3 长为半径画弧，交直线y 1 2x 于点 B 3；过 B3点作 B3A4y轴，交直线y 2x 于点 A4，以点 O为圆心，以OA4 长为半径画弧，交直线y 1 2x 于点 B 4，按照如此规

2、律进行下去，点B2 018的坐标为 _ 【分析】 根据题意可以求得点B1的坐标，点A2的坐标，点B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从 而可以求得点B2 018的坐标 【自主解答】 规律探索题主要有数式规律和图形规律两种对于数式规律，猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过 对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实 的推测性想象，从而发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段对于图形规律，一种是数图形，将 图形规律转化成数字规律，再用数字规律解决问题；一种是通过图形的直观性，通过拆分图形，观察图形 的构造寻找规律 1( 2018 山东枣庄中

3、考 ) 将从 1 开始的连续自然数按如下规律排列： 则 2 018 在第 _行 2( 2018 江苏淮安中考 ) 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数yx 的图象，点A1的坐标为 (1 ，0) ，过点 A1作 x 轴的垂线交直线l于点 D1，以 A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点 C1作直线l的垂线， 垂足为 A2，交 x 轴于点 B2，以 A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点 C2作 x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点 D3，以 A3D3为边作正方形A3B3C3D3，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是 _ 类型二存在探索型问题 ( 2018 浙江湖

4、州中考)如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，已知 ABC ，ABC 90，顶点A在第 一象限， B，C在 x 轴的正半轴上 (C 在 B的右侧 ) ，BC 2，AB 23，ADC与ABC关于 AC所在的直线对 称 (1) 当 OB 2 时，求点D的坐标； (2) 若点 A和点 D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长； (3) 如图 2，将第 (2) 题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y k x(k 0)的图象与 BA的延长线交于点P. 问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶 点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出

5、所有符合题意的k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 (1) 作 DE x轴于 E，解直角三角形求出DE ， CE即可解决问题； (2) 设 OB a，则点 A的坐标 (a ，23) ，由题意 CE1，DE3，可得 D(3a，3) ，点 A，D在同一反比 例函数图象上，可得23a3(3 a) ，求出 a 即可； (3) 分两种情形：如图2 中，当点A1在线段 CD的延长线上，且PA1AD时， PA1D90. 当 PDA1 90时分别构建方程解决问题即可 【自主解答】 3( 2018 四川攀枝花中考) 如图， 对称轴为直线x1 的抛物线yx 2bxc 与 x 轴交于 A(x 1，0) ，B(x

6、2， 0)(x 1x2) 两点，与y 轴交于 C点，且 1 x1 1 x2 2 3. (1) 求抛物线的表达式； (2) 抛物线顶点为D ，直线 BD交 y 轴于 E点； 设点 P为线段 BD上一点 ( 点 P 不与 B，D两点重合 ) ，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线交于点F，求 BDF 面积的最大值； 在线段BD上是否存在点Q，使得 BDC QCE ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 类型三结论探索型问题 如图 1，在正方形ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC ，AB上的点， 且 CE BF.连结 DE ，过点 E作 EG DE ， 使 EG DE.连结 FG ，FC.

7、 (1) 请判断： FG与 CE的数量关系是_，位置关系是 _ (2) 如图 2，若点 E，F 分别是 CB ，BA延长线上的点，其他条件不变，(1) 中结论是否仍然成立？请作出判 断并予以证明 (3) 如图 3，若点 E，F 分别是 BC ，AB延长线上的点，其他条件不变，(1) 中结论是否仍然成立？请直接写 出你的判断 【分析】 根据正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及性质即可判断 【自主解答】 4( 2018 四川自贡中考 ) 如图，已知 AOB 60，在 AOB 的平分线OM上有一点C ，将一个120角的 顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA ，OB相交于点D，

8、E. (1) 当DCE绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时 ( 如图 1) ，请猜想OE OD与 OC的数量关系，并说明理由； (2) 当DCE绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时，到达图2 的位置， (1) 中的结论是否成立？并说明理由； (3) 当DCE绕点 C旋转到 CD与 OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3 中画出图形， 若成 立，请给予证明；若不成立，线段OD ，OE与 OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 图 1 图 2 图 3 参考答案 类型一 【例 1】 由题意可得点A1的坐标为 (1 ， 2) 设点 B1的坐标为 (a ，1 2a) ， a 2（

9、1 2 a） 2 1 222， 解得 a2(负值舍去 ) ， 点 B1的坐标为 (2 ，1) 同理可得点A2的坐标为 (2 ， 4) ，点 B2的坐标为 (4 ，2)， 点 A3的坐标为 (4 ，8) ，点 B3的坐标为 (8 ， 4)， 点 B2 018的坐标为 (2 2 018 ，2 2 017 ) 故答案为 (2 2 018 ，2 2 017) 变式训练 145 2.( 9 2) n1 类型二 【例 2】 (1) 如图，过点D作 DE x轴于 E. ABC 90， tan ACB AB BC 3， ACB 60. 根据对称性可知DC BC 2，ACD ACB 60， DCE 60， CD

10、E 906030， CE 1，DE 3， OE OB BCCE 5， 点 D坐标为 (5 ，3) (2) 设 OB a，则点 A的坐标 (a ，23) ， 由题意 CE 1，DE3，可得 D(3a，3) 点 A，D在同一反比例函数图象上， 2 3a3(3 a) ，a 3，OB 3. (3) 存在， k 的值为 103或 123. 理由如下： 如图，当点A1在线段 CD的延长线上，且PA1AD时， PA1D90. 在 RtADA1中， DAA130， AD 23， AA1 AD cos 30 4. 在 RtAPA1中， APA160， PA 43 3 ，PB 103 3 . 设 P(m， 103

11、 3 ) ，则 D1(m7，3) P， D1在同一反比例函数图象上， 103 3 m 3(m7) ，解得 m 3， P(3， 103 3 ) ，k 103. 如图，当 PDA190时 PAK KDA190， AKP DKA1， AKP DKA1， AK KD PK KA1， PK AK KA1 DK. AKD PKA1， KAD KPA1， KPA1KAD 30， ADK KA1P30， APD ADP 30， AP AD 23，AA16. 设 P(m，43) ，则 D1(m9，3) P， D1在同一反比例函数图象上， 43m3(m9) ，解得 m 3， P(3， 43) ，k 123. 变式

12、训练 3解： (1) 抛物线对称轴为直线x1， b 2 1， b 2. 由一元二次方程根与系数的关系得x1x2b，x1x2c， 1 x1 1 x2 x1x2 x1x2 b c 2 3，则 c 3， 抛物线表达式为yx 22x3. (2) 由 (1) 得点 D坐标为 (1 ， 4) 当 y0 时， x 22x30， 解得 x1 1，x23， 点 B坐标为 (3 ，0) 设点 F 坐标为 (a ，b) ， BDF的面积 S1 2(4 b)(a 1) 1 2( b)(3 a) 1 224， 整理得 S2ab6. b a 2 2a3，S 2a(a2 2a 3)6 a 24a3. a 10，当 a2 时

13、， S最大 4 831. 存在 由已知点D坐标为 (1， 4)，点 B坐标为 (3 ， 0)， 直线 BD表达式为y2x6. 则点 E坐标为 (0， 6) 连结 BC ， CD ，则由勾股定理得CB 2(3 0)2 ( 30)2 18， CD 212( 43)22，BD2 ( 4)2(3 1)220， CB 2CD2BD2， BCD 90， tan BDC 3. 当点 Q使得 BDC QCE 时，连 QC并延长交x 轴于点 N，过 Q作 QM x轴于点 M. OCN QCE ， CO 3， 在 RtNOC中， NO 3OC 9. 由已知， MQ OE ， OE 6，OB 3， BM MQ OB

14、 OE 1 2. 设 BM a，则 MQ 2a，则 MN 12a. MQN QCE ， RtMNQ中， 3MQ MN ， 12 a32a，a 12 7 ， 则 OM 312 7 9 7，MQ 24 7 ， 则点 Q坐标为 ( 9 7， 24 7 ) 类型三 【例 3】 (1) 相等平行 四边形ABCD 是正方形， ABC BCD 90，AB BC CD. 又CE BF ， ECD FBC(SAS) ， CF DE ，DEC CFB ， DEC BCF 90， FC DE. EG DE ， EG DE ， FC GE ， GE CF， 四边形GECF 是平行四边形， FG CE ， GFCE.

15、(2) 仍然成立证明：四边形ABCD是正方形， ABC BCD 90，AB BC CD. 又CE BF ， ECD FBC(SAS) ， CF DE ，DEC CFB ， DEC BCF 90， FC DE. EG DE ， EG DE ， FC GE ， GE CF， 四边形GECF 是平行四边形， FG CE ， FGCE. (3) 仍然成立 变式训练 4解： (1)ODOE 3OC.理由如下： OM 是AOB的角平分线， AOC B OC 1 2AOB 30. CD OA ， ODC 90， OCD 60， OCE DCE OCD 60. 在 RtOCD中， OD OC cos 30 3

16、 2 OC. 同理 OE 3 2 OC ，OD OE 3OC. (2)(1)中结论仍然成立，理由如下： 如图，过点C作 CF OA于 F，CG OB于 G， OFC OGC 90. AOB 60， FCG 120. 同(1) 的方法得 OF 3 2 OC ，OG 3 2 OC ， OF OG 3OC. CF OA ，CG OB ，且点C是AOB的平分线OM 上一点， CF CG. DCE 120， FCG 120， DCF ECG ， CFD CGE ， DF EG ，OF OD DFOD EG ，OG OE EG ， OF OG OD EG OE EG OD OE ， OD OE 3OC. (3)(1)中结论不成立，结论为：OE OD 3OC ， 理由：如图，过点C作 CF OA于 F，CG OB于 G， OFC OGC 90. AOB 60， FCG 120. 同(1) 的方法得 OF 3 2 OC ，OG 3 2 OC ， OF OG 3OC. CF OA ，CG OB ，且点C是AOB的平分线OM 上一点， CF CG. DCE 120， FCG 120， DCF ECG ， CFD CGE ， DF EG ，OF DF OD EG OD ，OG OE EG ， OF OG EG OD OE EG OE OD ， OE OD 3OC.