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1、- 1 - 湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试 数学（理）试题 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1命题“，”的否定是（） A，B， C，D， 【答案】 C 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是： “，”， 故选 C. 2已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（） A B或 C D 或 【答案】 B 【解析】 ： 焦点在 x 轴时，焦点在 y 轴时， 求得结果为 6 2 3秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的 秦九韶算法，至今仍是比较先进
2、的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法 求某多项式值的一个实例，若输入的值为 5，则输出v的值为 - 2 - A B C D 【答案】 B 【解析】 ：依次运行程序框图中的程序，可得 满足条件，； 满足条件，； 满足条件，； 满足条件，； 满足条件， 而不满足 条件，停止运行，输出 故选 B 4随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付 两种 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45 ， 既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15 ， 则不用现金支付的概率为 A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 【答案】 B - 3 - 【解析】 分析：由公式
3、计算可得 详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付， 则 因为 所以 故选 B. 5某 文体 局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图. 根据折线图，下列结论正确的是（） A月跑步平均里程的中位数为6 月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在8、9 月 D1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】 D 【解析】 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5 月份对应的里程数；月跑步平
4、均里程不 是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0 月份，故A，B，C错. 本题选择D选项 . - 4 - 侧视方向 A B C A1 B1 C1 DCBA 22 3312 22 6 已知棱长都为2 的正三棱柱 111ABCAB C 的直观图如图， 若正三棱柱111ABCA BC 绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为 【答案】 B 【解析】无 7已知抛物线 2 :2Cypx（ 0p ）的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点M在C上， 直线 MF 与l交于点N若 3 MFO，则 MF MN A 1 4 B 1 3 C 2 D 2 3 【答案】 C 【解析】作MQ垂直l于Q，则
5、 RTMQN中， 2 MQN， 6 MNQ，所以 1 2 MFMQ MNMN 选 C 8函数的图像大致为 ( ) 第 6 题图 - 5 - A B C D 【答案】 B 【解析】 ：为奇函数，舍去A, 舍去 D; ， 所以舍去C；因此选B. 9函数( )sin()f xAx的部分图象如图中实线所示，图中圆 C与 ( )f x 的图象交于 ,MN 两点，且M在 y轴上，则下列说法 中正确的是 A函数( )f x的最小正周期是2 B函数( )f x的图象关于点 ,0 3 成中心对称 C函数( )f x在 2 (,) 36 单调递增 D函数( )f x的图象向右平移 12 后关于原点成中心对称 -
6、6 - 【试题简析】由图易得点C的横坐标为 3 ，所以( )f x的周期T 不妨令0A，0因为周期T，所以2，又()0 6 f，所以 3 ， 因此( )sin(2) 3 f xAx函数( )f x的图象关于点,0 3 成中心对称故选B 10已知变量 1x ，2 0,0xmm，且 12xx ，若 21 12 xx xx恒成立， 则m的最大值为 （） AeBeC 1 e D1 【答案】 A 【解析】 21 12 xx xx，即 2112 lnlnxxxx 化为 12 12 lnlnxx xx ， 故 lnx fx x 在0,m上为增函数， 2 1ln 00e x fxx x ， 故m的最大值为e，
7、故选 A 11已知,A B为椭圆上的两个动点，, 且满足MAMB, 则MA BA的取值范 围为（） A B C D 【答案】 C 12. 如图， 已知四面体ABCD为正四面体，2,ABE F，分别是,AD BC中点 . 若用一个与直 线EF垂直， 且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体， 由此得到一 个 多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）. A.1 B.2 C. 3 D. 2 【答案】 A 【解析】 补成正方体，如图. - 7 - ,EFQ截面为平行四边形MNKL, 可得2NKKL 可得 LMNK SNK KL 四边形 2 ()1, 2 NKKL 当且仅当NKKL时取等号，选A.
8、 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置 13 2019 1i 1i =_ 【答案】 i 【解析】 解法一： 32 1i1i(1i)2i i 1i1i(1i)(1i)2 解法二： 32 2 1i(1i)(1ii ) 1iii 1i1i 14过坐标原点作曲线的切线 ，则曲线、直线 与轴所围成的封闭图形的面积为 【答案】. 【解析】 设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为 ，所以切线的方程为，即； 又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为 ，切线方程为，作出所围图形的简图如下： - 8 - 因此曲线、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为 . 15
9、将正奇数按如图所示的规律排列： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 则 2019 在第行，从左向右第个数 【答案】 32 49 16已知直线xt与曲线ln1 , x fxxg xe分别交于,M N两点，则MN的最小值为 【答案】 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10 分）等比数列中， - 9 - （1）求的通项公式； （2）记为的前项和若，求 【解析】 （1）设的公比为，由题设得 由已知得，解得（舍去），或 故或 5 分 （2）若，则由得，此方程没有正整数解 若，则由得，解得 综上， 5 分 点
10、睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题。 18（本小题满分12 分）在中， （1）若. 求； （2）若面积为 1，求. 【解析】； 由题设知， 2 分 - 10 - 所以. . 4 分 大边对大角， 所以 6 ACB6 分 （2） 1 sin1 2 ABC SbcA，容易得出2b，8 分 在中，由余弦定理得 所以. 12 分 19（本小题满分12 分） 如图四棱锥中，底面是正方形， 且，为中点 . （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值 . 【解析】 （1）证明：底面为正方形，又， 平面，. 同理，平面 . 4 分 - 11 - （2）建立如图的空间直角坐标系，不妨
11、设正方形的边长为2 则，设为平面的一个法向量， 又，6 分 令，得. 同理是平面的一个法向 量， 10 分 则. 二面角的正弦值为.12 分 20（本小题满分12 分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50 元， 每个蛋糕的售价为100 元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理. 现搜集并整理了100 天 生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100 天记录的各需求量的频率作 为每天各需求量发生的概率. - 12 - （1）若蛋糕店一天制作17 个生日蛋糕 . 求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式； 求当天的利润不低于600 元的概率 . （2
12、）若蛋糕店计划一天制作16 个或 17 个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决 策依据，应该制作16 个还是 17 个生日蛋糕？ 【解析】； （1）当天的利润Y关于当天需求量n的函数解析式为： 100850(16)( ) 850(17) nn YnN n 4 分 设“当天利润不低于600”为事件 A，由知，“当天利润不低于600”等价于“需求量 不低于15个” 1222 ()1 10025 P A，所以当天的利润不低于600元的概率为： 22 25 6 分 （2）若一天制作 16 个蛋糕， 则平均利润为： 1 1 (600127001880070)758 100 x； 若一天制作 17
13、个蛋糕，则平均利润为： 2 1 (5501265018750 1885052)760 100 x； 12 xx，蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕 . 12 分 21 （本小题满分12 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 2 2 22 1 y x C ab ：（0ab） 的上顶点为 03A，圆 2 22 4 a Oxy：经过点0 1M，（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）过点 M 作直线 1 l 交椭圆C于 P ， Q 两点，过点M 作直线 1 l 的垂线 2 l 交圆O于另一点N 若PQN的面积为3，求直线 1 l 的斜率 【解析】； （ 1）因为椭圆C的上顶点为 03A，所以3b， -
14、 13 - 又圆 222 1 4 Oxya：经过点0 1M， 所以2a 2 分 所以椭圆C的方程为 2 2 1 43 y x 4 分 （2）若 1l 的斜率为0，则 4 6 3 PQ，2MN， 所以PQN的面积为 4 6 3 ，不合题意，所以直线 1 l 的斜率不为0 5 分 设直线 1 l 的方程为 1ykx， 由 2 2 1 43 1 y x ykx ， 消 y ，得 22 (34)880kxkx， 设 11 P xy， 22 Q xy， 则 2 1 2 42 621 34 kk x k ， 2 2 2 42 621 34 kk x k ， 所以 22 1212 ()()PQxxyy 22
15、 2 12 2 4 6 121 1 34 kk kxx k 8 分 直线 2 l 的方程为 1 1yx k ，即0xkyk， 所以 2 2 2 2 2 1 1 1 k MN k k 9 分 所以PQN的面积 1 2 SPQ MN 22 2 2 46 12112 3 2 34 1 kk k k ， 解得 1 2 k，即直线 1 l 的斜率为 1 2 12 分 第（ 2）小题的若没有讨论“若 1 l的斜率为0”，则扣一分（原因是直线 2 l的方程使用） - 14 - 22 （本小题满分12 分）已知函数 21 ln 2 fxxxax aR （1）讨论fx的单调性； （2）若 12 ,xx为f x的
16、两个极值点，证明： 2 12 12+44 282 fxfxaaxx f. 22 【解析】（1）fx的定义域为0,， 2 1 0 xax fxx x ， 1 分 对于函数 2 10yxax， 当 2 40a时，即22a时， 2 10xax在0x恒成立 2 1 0 xax fx x 在0,恒成立，fx在0,为增函数；2分 当0，即2a或2a时， 当2a时，由0fx，得 2 4 2 aa x或 2 4 2 aa x， 22 44 0 22 aaaa ， fx在 2 4 0, 2 aa 为增函数， 22 44 , 22 aaaa 减函数， 2 4 , 2 aa 为增函数，4 分 当2a时，由 2 1
17、0 xax fx x 在0,恒成立，fx在0,为增函数5 分 综上，当2a时，fx在 2 4 0, 2 aa 为增函数， 22 44 , 22 aaaa 减函数， 2 4 , 2 aa 为增函数；当2a时，fx在0,为增函数5 分 - 15 - （2）由（ 1）知2a，且 121 2,1xxa x x，6 分 故 2 12 22 111222 12 121212 2 11 lnln 2 22 ln 222222 1 ln+ 228 xx xxaxxxax fxfxxxxxxx fa aa 9 分 故只需证明ln10 22 aa ，令 2 a t，故1t，原不等式等价于ln1tt对1t成立，容易
18、 得证 . 12 分。 - 16 - 数学理科试题参考答案 一、选择题 C B B B D B C B B A C A 二、填空题 13. i 14. . 15. 32 49 16. 1 三、解答题 17. 【解析】 （1）设的公比为，由题设得 由已知得，解得（舍去），或 故或 5 分 （2）若，则由得，此方程没有正整数解 若，则由得，解得 综上， 5 分 18【解析】； 由题设知， 2 分 - 17 - 所以. . 4 分 大边对大角， 所以 6 ACB6 分 （2） 1 sin1 2 ABC SbcA，容易得出2b，8 分 在中，由余弦定理得 所以. 12 分 19【解析】 （1）证明：底
19、面为正方形，又， 平面，. 同理，平面. 4 分 （2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2 - 18 - 则，设为平面的一个法向量， 又，6 分 令，得. 同理是平面的一个法向 量， 10 分 则. 二面角的正弦值为.12 分 20【解析】；（1）当天的利润Y 关于当天需求量n的函数解析式为： 100850(16)( ) 850(17) nn YnN n 4 分 设“当天利润不低于600”为事件 A，由知，“当天利润不低于600”等价于“需求量 不低于15个” 1222 ()1 10025 P A，所以当天的利润不低于600元的概率为： 22 25 6 分 （2）若一天制作 16
20、 个蛋糕， 则平均利润为： 1 1 (600127001880070)758 100 x； 若一天制作 17个蛋糕，则平均利润为： 2 1 (55012650187501885052)760 100 x； 12 xx，蛋糕店一天应该制作17 个生日蛋糕 . 12 分 - 19 - 21 【解析】； （1）因为椭圆C的上顶点为 03A，所以3b，又圆 222 1 4 O xya： 经过点0 1M， ，所以2a 2 分所以椭圆C的方程为 2 2 1 43 y x 4 分 （2）若 1 l 的斜率为0，则 4 6 3 PQ，2MN，所以PQN的面积为 4 6 3 ，不合题意，所以 直线 1 l 的斜
21、率不为0 5 分设直线 1 l 的方程为1ykx，由 2 2 1 43 1 y x ykx ， 消 y ，得 22 (34)880kxkx， 设 11 P xy， 22 Q xy，则 2 1 2 42 621 34 kk x k ， 2 2 2 42 621 34 kk x k ，所以 22 1212 ()()PQxxyy 22 2 12 2 4 6 121 1 34 kk kxx k 8 分 直线 2 l 的方程为 1 1yx k ，即0xkyk，所以 2 2 2 2 2 1 1 1 k MN k k 9 分 所以PQN的面积 1 2 SPQ MN 22 2 2 4 6 12112 3 2
22、34 1 kk k k ，解得 1 2 k， 即直线 1 l 的斜率为 1 2 12 分 备注：第 （2） 小题的若没有讨论 “若 1l 的斜率为0” ， 则扣一分（原因是直线2l 的方程使用 1 k ） 。 22 【解析】（1） fx 的定义域为0, ， 2 1 0 xax fxx x ， 1 分 对于函数 2 10yxax， 当 2 40 a时，即22a时， 2 10xax在0x恒成立 2 1 0 xax fx x 在 0, 恒成立，fx 在 0,为增函数；2分 - 20 - 当 0 ，即 2a 或 2a 时， 当2a时，由0fx，得 2 4 2 aa x或 2 4 2 aa x， 22
23、44 0 22 aaaa ， fx 在 2 4 0, 2 aa 为增函数， 22 44 , 22 aaaa 减函数， 2 4 , 2 aa 为增函数，4 分 当2a时，由 2 1 0 xax fx x 在 0, 恒成立，fx 在 0,为增函数5 分 综上，当 2a 时， f x 在 2 4 0, 2 aa 为增函数， 22 44 , 22 aaaa 减函数， 2 4 , 2 aa 为增函数； 当2a时， fx 在 0,为增函数 5 分 （2）由（ 1）知2a，且 121 2,1xxa x x，6 分 故 2 12 22 111222 12 121212 2 11 lnln 2 22 ln 222222 1 ln+ 228 xx xxaxxxax fxfxxxxxxx fa aa 9 分 故只需明 ln10 22 aa ，令 2 a t，故1t，原不等式等价于ln1tt对1t成立，容易得 证. 12 分。