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1、电动力学习题解答 第1 页 电动力学答案 第一章电磁现象的普遍规律 1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式： BABAABABBA)()()()()( AAAA)()( 2 2 1 A 2. 设u是空间坐标zyx,的函数，证明： u u f uf d d )(， u uu d d )( A A， u uu d d )( A A 证明： 电动力学习题解答 第2 页 3. 设 222 ) () () (zzyyxxr为源点 x到场点 x 的距离，r的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微 商的关系： rrr/r； 3 /)/1( )/1(rrrr；
2、 0)/( 3 rr； 0)/( )/( 33 rrrr，)0(r。 （ 2 ） 求r，r，ra)(，)(ra， )sin( 0 rkE及 )sin( 0 rkE，其中a、k及 0 E均为常向量。 4. 应用高斯定理证明fSf SV Vdd，应用斯托克斯 （Stokes）定理证明 LS lSdd 电动力学习题解答 第3 页 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为d), ()(Vtt V xxp， 利用电荷守恒定律0 t J证明p 的变化率为： V Vt t d), ( d d xJ p 6. 若 m 是常向量， 证明除0R点以外，向量 3 /R）（RmA 的 旋 度 等 于 标 量 3 / RR
3、m的 梯 度 的 负 值 ， 即 A，其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。 电动力学习题解答 第4 页 7. 有一内外半径分别为 1 r和 2 r的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质球内均匀带静止自由电荷 f ，求： （1）空间各点 的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 8. 内外半径分别为 1 r和 2 r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有 恒定均匀自由电流 f J，导体的磁导率为，求磁感应强度和 磁化电流。 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 p总是等于体自由电 荷密度 f 的)/1( 0 倍。 电动力学习题解答 第5 页 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间
4、的相互作用力大小相等方向 相反 (但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 1 l和 2 l，电 容率为 1和2，今在两板接上电动势为 E 的电池，求： （1） 电容器两极板上的自由电荷面密度 1f 和 2f ； （2）介质分界面上的自由电荷面密度 3f 。(若介质是漏电 的，电导率分别为 1和2 当电流达到恒定时，上述两物体 的结果如何？) 电动力学习题解答 第6 页 12.证明： （1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的 曲折满足 1 2 1 2 tan tan 其中 1和2 分别为两种介质的介电常数， 1
5、和2 分别 为界面两侧电场线与法线的夹角。 （2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲 折满足 1 2 1 2 tan tan 其中 1和2分别为两种介质的电导率。 13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情 况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况 下，导体内电场线总是平行于导体表面。 电动力学习题解答 第7 页 14.内外半径分别为a 和 b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电 为 f ，板间填充电导率为的非磁性物质。 （1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因 此内部无磁场。 （2）求 f 随时间的衰减规律。 （3）求与轴相距为
6、r的地方的能量耗散功率密度。 （4）求长度 l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这 段的静电能减少率。 第二章静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为 2 / rKrP，电容率 为。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 电动力学习题解答 第8 页 2. 在均匀外电场中置入半径为 0 R的导体球，试用分离变量法求 下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保 持电势差 0； （2）导体球上带总电荷Q 3. 均匀介质球的中心置一点电荷 f Q，球的电容率为，球外为 真空
7、，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理 所得结果比较。 提示：空间各点的电势是点电荷 f Q的电势RQf4/与球面 上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。 4. 均匀介质球 （电容率为 1）的中心置一自由电偶极子f p，球 外充满了另一种介质（电容率为 2） ，求空间各点的电势和 极化电荷分布。 电动力学习题解答 第9 页 5. 空心导体球壳的内外半径为 1 R和 2 R，球中心置一偶极子p 球壳上带电Q，求空间各点的电势和电荷分布。 6. 在均匀外电场 0 E中置入一带均匀自由电荷 f 的绝缘介质球 （电容率为） ，求空间各点的电势。 7. 在一很大的电解槽中充满电
8、导率为 2 的液体，使其中流着均 匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为 1的小球， 求稳 恒时电流分布和面电荷分布，讨论 21 及 12 两种 情况的电流分布的特点。 电动力学习题解答 第10 页 8. 半径为 0 R的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离 球心为 a 处（ a 0 R）置一点电荷 f Q，试用分离变量法求空 间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。 )( 0 RR 9. 接地的空心导体球的内外半径为 1 R和 2 R， 在球内离球心为a 处(a a），试用电象法求空间电势。 ),( 0baxQ ),( 0baxQ ),( 0 bax Q ),( 0 bax Q a
9、 b y z 电动力学习题解答 第12 页 12. 有一点电荷 Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间 电势。 13. 设有两平面围成的直角形无穷容器，其内 充满电导率为 的液体。取该两平面为xz面和 yz面在 ),( 000 zyx和),( 000 zyx两点分别置正负电极并通以电流 I，求导电液体中的电势。 ),( 000 zyxQ ),( 000 zyxQ z x y o ),( 000 zyxQ ),( 000 zyxQ ),( 000zyxQ ),( 000 zyxQ ),( 000 zyxQ ),( 000 zyxQ ),( 000
10、 zyxA ),( 000zyxB z x y o 电动力学习题解答 第13 页 14. 画出函数dxxd/)(的图，说明)()(xp是一个位 于原点的偶极子的电荷密度。 15. 证明：（ 1）axax/)()()0(a，（若0a，结果 如何？） （2）0)(xx dx xd)( x o 电动力学习题解答 第14 页 16. 一块极化介质的极化矢量为) (xP，根据偶极子静电势的公 式，极化介质所产生的静电势为 V dV r 4 ) ( 3 0 rxP ，另外 根据极化电荷公式) (xP p 及Pn p ，极化介 质所产生的电势又可表为 SV r d dV r 00 4 ) ( 4 ) (Sx
11、PxP ，试证明以上两表达 式是等同的。 17. 证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的 变化。 （1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。 （2）在面偶极层两侧，电势有跃变 012 /Pn，而电 势的法向微商是连续的。 （各带等量正负面电荷密度而靠的很近的两个面，形成面 偶极层，而偶极矩密度 lP 0 lim l ） E E S x z 1 2 电动力学习题解答 第15 页 18. 一个半径为 R0 的球面，在球坐标2/0的半球面上电 势为 0在 2/的半球面上电势为 0，求空间各 点电势。 提示： 1 0 1 0 11 12 )()( )( n xPxP dxx
12、P nn n ， 1) 1( n P， 偶数）（ 奇数）（ n n n n P n n , 642 ) 1(531 ) 1( ,0 )0( 2/ 第三章静磁场 1. 试用A表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场 0 B， 写出A的两种 不同表示式，证明二者之差为无旋场。 2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流 强度 I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度B。 电动力学习题解答 第16 页 3. 设有无限长的线电流I 沿 z轴流动，在 z0 区域为真空，试用唯一性定理求磁感应 强度B，然后求出磁化电流分布。 4. 设 x0 空间为真空， 今有线电流I 沿 z 轴流动，求磁感应强度和
13、磁化电流分布。 5.某 空 间 区 域 内 有 轴 对 称 磁 场 。 在 柱 坐 标 原 点 附 近 已 知 )2/( 22 0 zCBBz ， 其中 0 B为常量。 试求该处的B。 提示：用0B，并验证所得结果满足0H。 电动力学习题解答 第17 页 6. 两个半径为a 的同轴圆形线圈，位于Lz面上。每个线圈 上载有同方向的电流I。 （1）求轴线上的磁感应强度。 （2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L 和 a 的关系。 提示：用条件0/ 22 zBz 7. 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面 上，试解矢势A的微分方程。设导体的磁导率为 0，导体 外的磁导率为。 电
14、动力学习题解答 第18 页 8. 假 设 存 在 磁 单 极 子 ， 其 磁 荷 为 m Q， 它 的 磁 场 强 度 为 3 0 4/rQmrH。给出它的矢势的一个可能的表示式，并 讨论它的奇异性。 9. 将一磁导率为，半径为 0 R的球体，放入均匀磁场 0 H内， 求总磁感应强度B和诱导磁矩m。 (对比 P49 静电场的例子。 ) 10. 有一个内外半径为 1 R和 2 R的空心球，位于均匀外磁场 0 H 内，球的磁导率为，求空腔内的场B，讨论 0时的 磁屏蔽作用。 电动力学习题解答 第19 页 11. 设理想铁磁体的磁化规律为 00M HB，其中 0 M是恒 定的与H无关的量。 今将一个
15、理想铁磁体做成的均匀磁化球 （ 0 M为常值）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强 度和磁化电流分布。 12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场 0 H中，结果如何？ 13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为 0 R，总电荷为Q，今使 球壳绕自身某一直径以角速度转动，求球内外的磁场B。 提示：本题通过解A或 m 的方程都可以解决，也可以比较 本题与 5 例 2 的电流分布得到结果。 电动力学习题解答 第20 页 14. 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q，半径为 0 R， 它以角速度绕自身某一直径转动，求（1）它的磁矩； （2） 它的磁矩与自转角动量之比（设质量M0是均匀分布的） 。 15.
16、 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物 的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力F。 第四章电磁波的传播 1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和 d的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。 （1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。 （2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 电动力学习题解答 第21 页 2. 一平面电磁波以45 从真空入射到2 r 的介质， 电场强 度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。 3. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60 ，证明这时 将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空 气的深度。设该波在空气
17、中的波长为 5 0 1028.6cm， 水的折射率为n=1.33。 4. 频率为的电磁波在各向异性介质中传播时，若HBDE, 仍按 )(ti e xk 变化， 但D不再与E平行 （即ED不成立）。 （ 1 ） 证 明0EBDBDkBk， 但 一 般 0Ek。 （2）证明 22 / )(kEkEDk。 （3）证明能流S 与波矢 k 一般不在同一方向上。 电动力学习题解答 第22 页 5. 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿 x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，但相位比前者超前2， 求合成拨的偏振。反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个 线偏振？ 6. 平面电磁波垂直射到金属表
18、面上，试证明透入金属内部的电 磁波能量全部变为焦耳热。 7. 已知海水的1 r ，1Sm -1，试计算频率 为 50，106 和 109Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。 8. 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为 1。 求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度。若导电介质为金属， 结果如何？ 提示：导电介质中的波矢量ki，只有 z 分量。 （为 什么？） 电动力学习题解答 第23 页 9. 无限长的矩形波导管，在z=0 处被一块垂直插入的理想导体 平板完全封闭，求在z到 z=0 这段管内可能存在的波 模。 10. 电磁波 )( ),(),( tzki z eyxtzyxEE在波
19、导管中沿z方向传 播，试使用 HE 0 i及EH 0 i证明电磁场 所有分量都可用 ),(yxEx 及 ),(yxH z 这两个分量表示。 11. 写出矩形波导管内磁场H满足的方程及边界条件。 电动力学习题解答 第24 页 12. 论证矩形波导管内不存在TMm0或 TM0n波。 13. 频率为 9 1030Hz 的微波，在0.4cmcm7. 0的矩形波导管 中能以什么波模传播？在0.6cmcm7 .0的矩形波导管中能 以什么波模传播？ 14. 一对无限大的平行理想导体板，相距为 b，电磁波沿平行于板 面的 z 方向传播，设波在x 方向是均匀的，求可能传播的波 模和每种波模的截止频率。 15. 证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总 相等。