电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)全套完整版要点.pdf

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1、1 电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵 )(第二版 ) 全套 第 一 章题解 1-1 已知三个矢量分别为 zy eeeA x 32； zy eeeB x 23； z eeC x 2。试 求 |,|,|CBA； 单 位 矢 量 cbaeee, ； BA； BA； CBA)(及 BCA)(； BCA)(及CBA)(。 解14321 222222 zyx AAAA 14213 222222 zyx BBBB 5102 222222 zyx CCCC zy eee A A A e xa 32 14 1 14 zy eee B B B e xb 23 14 1 14 z ee C C C e xc 2

2、5 1 5 1623 zzyyxx BABABABA zy zy zyx zyx zy BBB AAAeee eeeeee BA x xx 5117 213 321 zy zy eee eee CBA x x 22311 102 5117 2 因 zy zy zyx zyx CCC AAAeee eeeeee CA x xxxx 452 102 321 则 zy zy eee eee BCA x x 1386 213 452 152131532BCA 1915027CBA。 1-2 已 知0z平 面 内 的 位 置 矢 量 A 与 X 轴 的 夹 角 为， 位 置 矢 量 B 与 X 轴 的

3、夹 角 为， 试 证 sinsincoscos)cos( 证 明由 于 两 矢 量 位 于0z平 面 内 ， 因 此 均 为 二 维 矢 量 ， 它 们 可 以 分 别 表 示 为 sincosAA y eeA x sincosBB y eeB x 已 知c o sBABA， 求 得 BA BABAsinsincoscos cos 即sinsincoscos)cos( 1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为)2, 1,0( 1 P， )3, 1,4( 2 P及) 5,2, 6( 3 P。试 问 ： 该 三 角 形 是 否 是 直 角 三 角 形 ； 该 三 角 形 的 面

4、积 是 多 少 ？ 解由 题 意 知 ， 三 角 形 三 个 顶 点 的 位 置 矢 量 分 别 为 zy eeP2 1 ； zyx eeeP34 2 ； zyx eeeP526 3 那 么 ， 由 顶 点 P1指 向 P2的 边 矢量 为 z eePP x 4 12 同 理 ，由 顶 点 P2指 向 P3的 边 矢 量 由 顶 点 P3指 向 P1的 边 3 矢 量 分 别 为 zy eeePP x 82 23zy eeePP x 76 31 因 两 个 边 矢 量0)()( 2312 PPPP，意 味 该 两 个 边 矢 量 相 互 垂 直 ， 所 以 该 三 角 形 是 直 角 三 角

5、形 。 因1714 22 12 PP 69812 222 23 PP， 所 以 三 角 形 的 面 积 为 11735.0 2 1 2312 PPPPS 1-4已 知 矢 量xy y eeA x ， 两 点 P1及 P2的 坐 标 位 置 分 别 为) 1, 1,2( 1 P及) 1,2,8( 2 P。若 取 P1及 P2之 间 的 抛 物 线 2 2yx或 直 线 21P P为 积 分 路 径 ， 试 求 线 积 分 1 2 d p p lA。 解 积 分 路 线 为 抛 物 线 。 已 知 抛 物 线 方 程 为 2 2yx, yyxd4d， 则 142d6d2d4ddd 1 2 3222

6、 1 2 1 2 1 2 1 2 yyyyyyyyxxy P P P P P P P P lA 积 分路 线 为 直 线 。 因 1 P , 2 P 两 点 位 于1z平 面 内 ， 过 1 P , 2 P 两 点 的 直 线 方 程 为2 28 12 1xy， 即46xy， yxd6d， 则 14412d46d6d 1 2 2 1 2 1 2 yyyyyy P P P P lA。 1-5 设 标 量 32 yzxy，矢量 zy eeeA x 22，试 求 标 量 函 数在 点) 1, 1,2(处 沿 矢 量 A 的 方 向 上 的 方 向 导 数 。 解已 知 梯 度 222 3)2(yzz

7、xyy zyx zyxzyx eeeeee 那 么 ， 在 点)1, 1,2(处的 梯 度 为 4 zyx eee33 因 此 ，标 量 函 数在 点)1, 1,2(处 沿 矢 量 A 的 方 向 上 的 方 向 导 数 为 13622233 zyxzyx eeeeeeA 1-6试 证 式 （ 1-5-11 ） ， 式 （ 1-5-12 ） 及 式 （ 1-5-13 ） 。 证 明式 （ 1-5-11 ） 为， 该 式 左 边 为 zyx zy eeex zzyyxx zy eeex zyxzyx zyzy eeeeee xx 即 ，。 根 据 上 述 复 合 函 数 求 导 法 则 同 样

8、可证 式 （ 1-5-12 ） 和 式 （ 1-5-13 ） 。 1-7已 知 标 量 函 数 z eyx 3 sin 2 sin，试 求 该 标 量 函 数在 点 P(1,2,3) 处 的 最 大 变 化 率 及 其 方 向 。 解标 量 函 数 在 某 点 的 最 大 变 化 率 即 是 函 数 在 该 点 的 梯 度 值 。 已 知 标 量 函 数的 梯 度 为 zyx zy eeex 那 么 z y z eyxeyx 3 cos 2 sin 33 sin 2 cos 2 eex z z eyx 3 sin 2 sine 5 将 点 P(1,2,3) 的 坐 标 代 入 ， 得 33 2

9、 3 6 ee zyP ee。 那 么 ， 在 P 点 的 最 大 变 化 率 为 27 62 3 6 2 3 33 e ee zy P ee P 点 最 大 变 化 率 方 向 的 方 向 余 弦 为 0cos； 27 cos 2 ； 27 27 cos 2 1-8 若 标 量 函 数 为 zyxxyzyx62332 222 试 求 在) 1,2, 1 (P点 处 的 梯 度 。 解已 知 梯 度 zyx zy eeex， 将 标 量 函 数代 入 得 662432zxyyx zy eeex 再 将 P 点 的 坐 标 代 入 ，求 得 标 量 函 数在 P 点 处 的 梯 度 为 yP e

10、ex93 1-9试 证 式 （ 1-6-11 ） 及 式 （ 1-6-12 ） 。 证 明式 （ 1-6-11 ） 为AACC， 该 式 左 边 为 AAC z A y A x A CCA z CA y CA x C z y x zyx 即AACC 式 （ 1-6-12 ） 为AAA， 该 式 左 边 为 zyx A z A y A x A z A z A y A y A x A x A z z y y x x 6 AA； 即AAA 1-10试 求 距 离| 21 rr在 直 角 坐 标 、 圆 柱 坐 标 及 圆 球 坐 标 中 的 表 示 式 。 解在 直 角 坐 标 系 中 2 12 2

11、 12 2 1221 zzyyxxrr 在 圆 柱 坐 标 系 中 ，已 知cosrx，sinry，zz，因 此 2 12 2 1122 2 112221 sinsincoscoszzrrrrrr 2 121212 2 1 2 2 cos2zzrrrr 在 球 坐 标 系 中 ，已 知cossinrx,sinsinry,cosrz, 因 此 2 1122 2 111222 2 11122221 coscossinsinsinsincossincossinrrrrrrrr 12121212 2 1 2 2 coscoscossinsin2 rrrr 1-11已 知 两 个 位 置 矢 量 1 r

12、及 2 r的 终 点 坐 标 分 别 为 ),( 111 r及),( 222 r，试 证 1 r与 2 r之 间 的 夹 角为 212121 coscos)cos(sinsincos 证 明根 据 题 意 ， 两 个 位 置 矢 量 在 直 角 坐标 系 中 可 表 示为 111111111 cossinsincossinrrr zyx eeer 222222222 cossinsincossinrrr zyx eeer 已 知 两 个 矢 量 的 标 积 为cos 2121 rrrr， 这 里 为 两 个 矢 量 的 夹 角 。 因 此 夹 角为 21 21 cos rr rr 式 中 7

13、)coscos sinsinsinsincossincos(sin 21 221122112121 rrrr 2121 rrrr 因 此 ， 212121 21212121 coscos)cos(sinsin coscos)sinsincos(cossinsincos 1-12试 求 分 别 满 足 方 程 式0)( 1 rrf及0)( 2 rrf的 函 数)( 1 rf及)( 2 rf。 解在 球 坐 标 系 中 ， 为 了 满 足 031 1 111rf r rf rrfrfrfrrr 即 要 求03 d d 1 1 rf r rf r r r rf rfd3d 1 1 ， 求 得 Crr

14、flnln3ln 1 即 3 1 r C rf 在 球 坐 标 系 中 ， 为 了 满 足 0 222 rrrrfrfrf 由 于0 2 rrf，0r， 即 上 式 恒 为 零 。 故rf2可 以 是 r 的 任意 函 数 。 1-13试证 式 （ 1-7-11 ） 及 式 （ 1-7-12 ） 。 证 明 式 （ 1-7-11 ） 为AACC（C为常 数） 令 zyx eeeA zyx AAA， zzyyxx CACACACeeeA，则 A eeeeee AC AAA zyx C CACACA zyx C zyx zyx zyx zyx 式 （ 1-7-12 ） 为AAA 8 令 zyx e

15、eeA zyx AAA， zzyyxx AAAeeeA， 则 xyz zyx zyx A z A y AAA zyx e eee A zxyyxz A y A x A z A x ee zxyyxzxyz A y A x A z A x A z A y eee z x y y xz x y z y A x A z A x A z A y A eee AA 若 将 式 （ 1-7-12 ） 的 右边 展 开 ， 也 可 证 明 。 1-14试 证0r，0 r r 及0 3 r r 。 证 明已 知 在 球 坐 标 系 中 ， 矢 量 A 的 旋 度 为 ArrAA r rrr r r sin s

16、insin 2 e ee A 对 于 矢 量 r ， 因rAr，0A，0A， 代 入 上 式 ， 且 因 r 与 角度，无 关 ， 那 么 ， 由 上 式 获 知0r。 对 于 矢 量 r r ， 因1 r A，0A，0A， 显 然0 r r 。 对 于 矢 量 3 r r ， 因 2 1 r Ar，0A，0A， 同 理 获 知 0 3 r r 。 1-15若 C 为 常数 ， A 及 k 为 常 矢 量 ， 试 证 ： 9 rkrk k cc eCe； rkrk AkA cc eCe)(； rkrk AkA cc eCe)(。 证 明证 明 rkrk k CC eCe。 利 用 公 式FF，

17、则 rkrk rkrkrkCCC CeCee 而 keeerk zzyyxxzyx kkkzkykxk 求 得 rkrk k CC eCe。 证 明 rkrk AkA CC eCe。 利 用 公 式AAA， 则 rkrkrkrk AAAA CCCC eeee 再 利 用 的 结 果 ， 则 rkrk AkA CC eCe 证 明 rkrk AkA CC eCe。 利 用 公 式AAA， 则 AAAA rkrkrkrkCCCC eeee 再 利 用 的 结 果 ， 则 rkrk AkA CC eCe。 1-16 试 证 r e k r e krkr 22 ， 式 中 k 为 常 数 。 证 明已

18、 知 在 球 坐 标系 中 2 2 222 2 2 2 sin 1 sin sin 11 rrr r rr 则 r e r r rrr e krkr 2 2 2 1 krkr e r k e r r rr 2 2 2 11 10 krkr kree rr 2 1 krkr ekkrek r 1 1 2 r e k kr 2 即 r e k r e krkr 22 1-17试 证 2 | 2 1 )()(EEEEE 证 明利 用 公 式 ABBAABBABA 令 上 式 中 的EBA， 则 EEEEEEEEE2222 2 将 上 式 整 理 后 ， 即 得 2 2 1 EEEEE。 1-18已知

19、 矢 量 场 F 的 散 度)(rFq， 旋 度0F， 试 求 该 矢 量 场 。 解根 据 亥 姆 霍 兹 定理 ，rArrF， 其 中 V V d 4 1 rr rF r；V V d 4 1 rr rF rA 当0F时 ， 则0rA， 即rrF。 那 么 因 rFq， 求 得 r q V q V 4 d 4 1 rr r r 则 r r q errF 2 4 1-19已 知 某 点 在 圆 柱 坐 标 系 中 的 位 置 为3, 3 2 ,4， 试 求 该 点 在 相 应 的 直 角 坐 标 系 及 圆 球 坐 标 系 中 的 位 置 。 解已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标

20、系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为 11 cosrx，sinry，zz 因 此 ， 该 点 在 直 角 坐 标 下 的 位 置 为 2 3 2 cos4x; 32 3 2 sin4y; z = 3 同 样 ， 根 据 球 坐 标 系 和 直 角 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 ， 222 zyxr； z yx 22 arctan； x y arctan 可 得 该 点 在 球 坐 标 下 的 位 置 为 5r；53 3 4 arctan；120 1-20已 知 直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 zy cbaeeeA x ， 式 中 a, b, c 均

21、为 常 数 ， A 是 常 矢 量 吗 ？ 试 求 该 矢 量 在 圆 柱 坐 标 系 及 圆 球 坐 标 系 中 的 表 示 式 。 解由 于A的 大 小 及 方 向 均 与 空 间 坐 标 无 关 ， 故 是 常 矢 量 。 已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为 22 yxr； x y arctan；zz 求 得 22 bar； a b arctan；cz 22 sin ba b ； 22 cos ba a 又 知 矢 量 A 在 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 中 各 个坐 标 分 量 之 间 的 转 换 关 系

22、为 z y x z r A A A A A A 100 0cossin 0sincos 将 上 述 结 果 代 入， 求 得 12 c ba c b a ba a ba b ba b ba a A A A z r 0 100 0 0 22 2222 2222 即 该 矢 量 在 圆 柱 坐 标 下 的 表 达 式 为 cba zr eeA 22 直 角 坐 标 系 和 球 坐 标 系 的 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为 222 zyxr； z yx 22 arctan； x y arctan 由 此 求 得 222 cbar； c ba 22 arctan； a b arcta

23、n 矢 量 A 在 直 角 坐 标 系 和 球 坐 标 系 中 各 个 坐 标 分 量 之 间 的 转 换 关 系 为 z y xr A A A A A A 0cossin sinsincoscoscos cossinsincossin 求 得 0 0 0cossin sinsincoscoscos cossinsincossin 222 cba c b a A A Ar 即 该 矢 量 在 球 坐 标 下 的 表 达 式 为 222 cba r eA。 1-21已 知 圆 柱 坐 标 系 中 的 矢 量 zr cbaeeeA， 式 中 a, b, c 均 为 常 数 ， A 是 常 矢 量

24、吗 ？ 试 求A及A以 及 A 在 相 应 的 直 角 坐 标 系 及 圆 球 坐 标 系 中 的 表 示 式 。 解因 为 虽 然 a, b, c 均 为 常 数 ， 但 是 单 位 矢 量 er和 e 均 为 变 矢 ， 所 以A不 是 常 矢 量 。 13 已 知 圆 柱 坐 标 系 中 ， 矢 量 A 的 散 度 为 z A A r rA rr z r 11 A 将 zr cbaeeeA代 入 ， 得 r a ar rr 00 1 A 矢 量 A 的 旋 度 为 zr zr ArAA zr rr e e e A z zr r b crba zr rr e e e e 已 知 直 角 坐

25、 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为 cosrx; sinry; zz a x yx x 22 cos; a y yx y 22 sin 又 知 矢 量 A 在 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 中 各 个 坐 标 分 量 之 间 的 转 换 关 系 为 z r z y x A A A A A A 100 0cossin 0sincos 将 上 述 接 结 果 代 入 ， 得 c x a b y y a b x c b a a x a y a y a x A A A z y x 100 0 0 即 该 矢 量 在 直 角 坐 标 下 的 表

26、 达 式 为 zyx cx a b yy a b xeeeA，其 中 222 ayx。 矢 量 A 在 圆 柱 坐 标 系 和 球 坐 标 系 中 各 个 坐 标 分量 之 间 的 转 换 关 系 14 z rr A A A A A A 010 sin0cos cos0sin 以 及 r a si n， r c cos， 求 得 b r b r ca c b a r a r c r c r a A A Ar 00 010 0 0 22 即 该 矢 量 在 球 坐 标 下 的 表 达 式 为 eeAbr r 。 1-22 已 知 圆 球 坐 标系 中 矢 量eeeAcba r ， 式 中 a,

27、b, c 均 为 常 数 ， A 是 常 矢 量 吗 ？ 试 求A及A， 以 及 A 在 直 角 坐 标 系 及 圆 柱 坐 标 系 中 的 表 示 式 。 解因 为 虽 然 a, b, c 均 为 常 数 ， 但 是 单 位 矢 量 er， e ， e 均 为 变 矢 ， 所 以A不 是 常 矢 量 。 在 球 坐 标 系 中 ， 矢 量 A 的 散 度 为 A r A r Ar rr r sin 1 sin sin 11 2 2 A 将 矢 量 A 的 各 个分 量 代 入 ， 求 得cot 2 r b r a A。 矢 量 A 的 旋 度 为 ArrAA r rrr r r sin si

28、nsin 2 e ee A e e ee r b crrba r rrr r sin sinsin 2 15 利 用 矢 量 A 在 直角 坐 标 系 和 球 坐 标 系 中 各 个 坐 标 分 量 之 间 的 转 换 关 系 A A A A A A r z y x 0sincos cossincossinsin sincoscoscossin 以 及 22 22 si n co s yx y yx x ， a z zyx z a yx zyx yx 222 22 222 22 cos sin ，求 得 该 矢 量 在 直 角 坐 标 下 的 表 达 式 为 z yx a yxb z yx c

29、x yxa byz y yx cy yxa bxz x e eeA 22 22222222 利 用 矢 量 A 在 圆 柱 坐 标 系 和 球 坐 标 系 中 各 个 坐 标 分 量 之 间 的 转 换 关系 r a b z c z a b r c b a a r a z a z a r A A A A A A r z r 0 100 0 0sincos 100 0cossin 求 得 其 在 圆 柱 坐 标 下 的 表 达 式 为 zr r a b zcz a b reeeA 。 1-23若 标 量 函 数zxyzyx 2 1 ),(，sin),( 2 rzzx， 2 3 sin ),( r

30、 r， 试 求 1 2 ， 2 2 及 3 2 。 解xzxz zyx 2020 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 211 zrr r rr 0sin 1 sin 1 2 rz r rz rr 2 3 2 22 3 2 32 23 2 sin 1 sin sin 11 rrr r rr 0 cossin sin 1sin21 223 2 2 rrr r rr sin 1 sin sincossin2 44 22 4 rrr 1-24若 zy yxzxzxyzyxeeeA x 22332 ),( sincos),( 32 reeA zrr zr

31、 cos 1 sin 1 sin),( 2 rr rr r eeeA 试 求A，A及A 2 。 解 3232 00zyzy z A y A x A z y x A； 22332 yxzxzxy zyx AAA zyx zyx zyx zyx eeeeee A zyx xyzzxxyzxyxyxeee 3222232 23232； zzyyxx AAA 2222 eeeA zyx xyxzzxyxzeee 2223 22662； z A A r rA rr z r 11 Acos30cos 13 rr rr 17 sin0cos 22 rr zr rr ArAA zr rr zr zr zr e

32、 e ee e e A sinsin2cos sinsin2cos 22 rrr r r rr r zr zr eee e e e zz rr rr A A rr A A A rr A A 2 22 2 22 2222 eeeA sin3sin2cos2 zr eee； （ 此 处 利 用 了 习 题 26 中 的 公 式 ） A r A r Ar rr r sin 1 sin sin 112 2 A 0sin sin 1 sin 1213 2 r r r rr 2 cos2 sin3 r ； cossinsinsin sinsin sin sinsin 1 22 rr r rrr ArrAA

33、 r rrr r r r e ee e ee A cos sincos2sin 233 rrr r eee 233 sin cos cos2sin rrr r eee； A r A r A r A rrr sin 2 sin sin 22 222 22 eA A r A rr A A r 22222 2 sin cos22 sin e 18 A r A rr A A r 22222 2 sin cos2 sin 2 sin e 将 矢 量A的 各 个 坐 标 分 量 代 入 上 式 ， 求 得 2433 2 sin cossin2cos2cos4 sin 2cos rrrrr r eeeA 1

34、-25若矢 量21, cos 3 2 r r r eA，试 求 V VdA，式 中 V 为 A 所 在 的 区 域 。 解在 球 坐标 系 中 ，dddsind 2 rrV， A r A r Ar rr r sin 1 sin sin 11 2 2 A 将 矢 量A的 坐 标 分 量 代 入 ， 求 得 2 00 2 1 2 4 2 4 2 dsin cos ddd cos drr r V r V VV A 2 00 2 dsin 2 cos d 2 0 2 dcos 1-26试 求 S r d)si n3(Se，式 中 S 为 球 心 位 于 原 点 ，半 径 为 5 的 球面 。 解利 用

35、 高斯 定 理 ，V VS ddASA， 则 V VS ddASA 2 00 5 0 2 dsin sin6 ddrr r 2 75 第二章静电场 2-1若真空中相距为d 的两个电荷q1及 q2的电量分别为 q 及 4q，当点电 19 荷q位于 q1及 q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷q1及 q2的力应该大小相 等，方向相反，即 qqqq FF 21 。那么，由 12 2 20 2 2 10 1 2 44 rr r qq r qq ， 同时考虑到drr 21 ，求得 drdr 3 2 , 3 1 21 可见点电荷q可以任意，

36、但应位于点电荷q1和 q2的连线上， 且与点电荷 1 q 相距d 3 1 。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电 量及位置分别为： )0, 1 ,0(,4 )1 ,0 , 1(,1 )1 , 0,0(,1 33 22 11 PCq PCq PCq 试求位于)0, 1,0(P点的电场强度。 解令 321 ,rrr分别为三个电电荷的位置 321 ,PPP到P点的距离，则 2 1 r，3 2 r，2 3 r。 利用点电荷的场强公式 r eE 2 0 4r q ，其中 r e为点电荷q 指向场点 P的单位矢量。那么， 1 q在P点 的 场 强 大 小 为 0 2 10 1 1 8 1 4r q E，

37、 方 向 为 zyr eee 2 1 1 。 2 q在P点 的 场 强 大 小 为 0 2 20 2 2 12 1 4r q E， 方 向 为 习题图 2-2 z x 1 q 2q 3 q P E3 E2 E1 20 zyxr eeee 3 1 2 。 3 q在 P 点的场强大小为 0 2 30 3 3 4 1 4r q E，方向为 yr ee 3 则P点的合成电场强度为 z eee EEEE yx 312 1 28 1 4 1 312 1 28 1 312 11 0 321 2-3 直接利用式（ 2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q位于坐标原点， r为点电荷q至场点 P 的

38、距离。再令点 电荷q位于 +z坐标轴上， 1 r为点电荷q至场点 P 的距离。两个点电荷 相距为l，场点 P 的坐标为（ r, ） 。 根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为 3 1 1 3 0 4rr qrr E 考虑到 r l， 1 r e= er，cos 1 lrr，那么上式变为 rr rr rrrrq rr rrq eeE 2 1 2 11 0 2 1 2 22 1 0 )( 44 式中 2 1 2 2 2 1 221 1 cos21 1 cos2 r l r l r rllrr 以 r l 为变量，并将 2 1 2 2 cos21 r l r l 在零点作泰勒展开。由于 rl

39、，略去高阶项后，得 cos 1 cos1 1 2 1 1 r l rr l r r 利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为 r eeE 3 0 3 0 2 0 4 sin 2 cos1 cos 1 4r ql r ql rr l r q 21 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为 6 102C，相距为 2cm， 如习题图 2-4 所示。试求：P 点的电位；将电量为 6 102C 的点电荷由无限远 处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。 解 根据叠加原理，P点的合成电位为 V105.2 4 2 6 0r q 因此，将电量为C102 6 的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须 做的功为

40、J5qW 2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。 解建立圆柱坐标系。令先电 荷沿 z 轴放置，由于结构以z 轴对称，场 强与无关。为了简单起见，令场点位于 yz 平面。 设线电荷的长度为L，密度为 l，线电荷的中点位于坐标原 点，场点P的坐标为 zr, 2 , 。 1cm P 1 c m q q 1cm r 习题图 2-4 y 习题图 2-5 r0 P z z r o dl l 1 2 22 利用电位叠加原理，求得场点 P的电位为 2 200 d 4 L L l r l 式中 2 2 0 rlzr。故 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 22 22 ln 4 ln 4 r L z

41、L z r L z L z rlzlz l L L l 因E，可知电场强度的z 分量为 2 2 2 2 0 22 22 ln 4 r L z L z r L z L z zz E l z 2 2 2 2 0 2 1 2 1 4 r L zr L z l 22 0 2 1 1 2 1 1 4 r Lz r Lz r l 2222 0 22 4 Lzr r Lzr r r l 12 0 sinsin 4r l 电场强度的r 分量为 23 2 2 2 2 0 22 22 ln 4 r L z L z r L z L z rr E l r 2222 0 222 4 rLzLzrLz r l 2222

42、222rLzLzrLz r 22 0 2 1 22 1 1 4 r Lz r Lz r Lz r l 22 2 1 22 1 1 r Lz r Lz r Lz 1 2 1 1 2 0 tan 1 1 tan 1 tan 1 1 1 4r l 2 2 22 2 tan 1 1 tan 1 tan 1 1 1 21 0 cos1cos1 4r l 24 21 0 coscos 4r l 式中 2 tanarc, 2 tanarc 21 L z r L z r ，那么，合成电强为 rz l r eeE 1212 0 coscossinsin 4 当 L时，, 0 21 ，则合成电场强度为 r l r

43、 eE 0 2 可见，这些结果与教材2-2 节例 4完全相同。 2-6 已 知 分 布 在 半 径 为a的 半 圆 周 上 的 电 荷 线 密 度 0,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。 解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6 所示。那么，点电荷l ld 在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和 Ey。 由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的 y E分量，即 sin 4 d dd 2 0a l EE l y 考虑到sin,dd 0l al，代入上式求得合成电场强度为 习题图 2-6 a y x o ld E 25 yy aa eeE 0 0

44、 0 2 0 0 8 dsin 4 2-7 已知真空中半径为a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为 l ，试求通 过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。 解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7 所示。那么，点电 荷l ld 在 z轴上P点产生的电位为 r l l 0 4 d 根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为 22 0 2 0 0 2 0 0 2 d 4 d 4 1 za a l r l r z l a l a l 因电场强度E，则圆环线电荷在P点产生的电场强度为 23 22 0 2za az z z l zz eeE 2-8 设宽度为 W，面密度为 S的带状电荷位于真

45、空中， 试求空间任一点的电场强度。 习题图 2-7 x y z P r o a 26 解 建立直角坐标， 且令带状电荷位于xz 平面内， 如习题图2-8 所示。 带状 电荷可划分为很多条宽度为xd的无限长线电荷，其线密度为x sd 。那 么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即 r eE r x s 0 2 d d 式中 2 2 yxxr yxx rr y r xx yxyxr eeeee 1 得 yxx yxx x s yx eeE 22 0 2 d d 那么 yxx yxx x s w wyx eeE 22 0 2 2 2 d y w x y w x y w x y w x s

46、s 2 arctan 2 arctan 2 2 2 ln 4 0 2 2 2 2 0 yx ee 2-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度 习题图 2-8 x y z 2 w 2 w xd o r y x 2 w 2 w dx x (a) (b) P(x,y) 27 为 S，位于 z = 0 平面，且盘心与原点重合，试求圆盘 轴线上任一点电场强度E。 解 如图2-9 所示，在圆盘上取一半径为 r，宽度为rd 的圆环，该圆环具 有的电荷量为 s rrqd2d。由于对称性， 该圆环电荷在z 轴上任一点P 产生的电场强度仅的r有z分量。根据习题2-7 结果，获知该圆环电荷在P 产生的电场强

47、度的 z分量为 23 22 0 2 d d zr rzr E s z 那么，整个圆盘电荷在P 产生的电场强度为 22 0 0 23 22 0 2 d 2 az z z z rz rzr s z a s z eeE 2-10 已知电荷密度为 S及S的两块无限大面电荷分别位于 x = 0 及 x = 1 平面，试求10,1xx及0x区域中的电场强度。 解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限 大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0 平面内的无限大面电荷 S， 在 x 0 区域中产生的电场 强度 11 E x eE 。位于 x = 1 平面内的无限大面电荷 S，在 x

48、 1区 域 中 产 生 的 电 场 强 度 22 E x eE。 习题图 2-9 o x y z r dr P(0,0,z) 28 由电场强度法向边界条件获知， 0 1010 x s EE 0 2020 x s EE 即 0 1010 x s EE 1 2020 x s EE 由此求得 0 21 2 s EE 根据叠加定理，各区域中的电场强度应为 0, 0 2121 xEE xx eeEEE 10, 0 2121 xEE s xx eeEEE 1, 0 2121 xEE xx eeEEE 2-11若在球坐标系中，电荷分布函数为 试求braar,0及br区域中的电通密度D。 解 作一个半径为r

49、的球面为高斯面，由对称性可知 r eDsD 2 4 d r q q s 式中 q 为闭合面S包围的电荷。那么 在ar0区域中，由于q = 0，因此 D = 0。 在bra区域中，闭合面S包围的电荷量为 336 3 4 10darvq v 因此， r eD 2 336 3 10 r ar 在br区域中，闭合面S包围的电荷量为 336 3 4 10dabvq v 因此， r eD 2 336 3 10 r ab 2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为 29 ar a qr ar r q , , 2 r eE 试求球内外各点的电位。 解 在ar区域中，电位为 a q ra a q r a a rr 22 2 dddrErErE 在ar区域中， r q r r rE d 2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为 ar r a arr , , 2 5 3 r eE 试求空间的电荷密度。 解利用高斯定理的微分形式 0 E，得知在球坐标系中 r Er rr r 2 2 00 d d1 E 那么，在ar区域中电荷密度为 2 0 5 20 5 d d1 rr rr r 在ar区域中电荷密度为 0 d d15 20 a rr r 2-14 已知真空中的电荷