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1、第 1 页，共 9 页 2018-2019 学年福建省龙岩九年级（上）期中数学试卷 二、填空题（本大题共6 小题，共24.0 分） 1.若 ，为二次函数图象上的三点， 则 ， ，的大小关系是 _ 【答案】 【解析】解：当时， ， 当时， 当时， 所以 故答案为： 分别计算自变量为，、 2 所对应的函数值即可得到，的大小关系 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式 2.定义符号的含义为：当时，； 当时，如： ，则的最大值是 _ 【答案】 1 【解析】解：联立， 解得， 所以的最大值是1 故答案为： 1 先求出两个函数的交点坐标，再根据min 的定义解答即可 本
2、题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息， 理解定义符号的意义并考虑求两个函 数的交点是解题的关键 三、计算题（本大题共1 小题，共12.0 分） 3.如图，抛物线 的图象与x 轴交于点A 、在 B左侧 ，与 y 轴交于 点，点 D为抛物线的顶点，对称轴 求抛物线的解析式； 求的面积； 是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标 第 2 页，共 9 页 【答案】解：抛物线与 y 轴交于点，对 称轴， ， ， 抛物线的解析式为； 令，得， ， ， ， ； 设对称轴与x 轴交于点E ，过点 P作对称轴于点F， ， ， 在和中， ，
3、 ， 设， ， 点 P坐标， 把点 P代入抛物线解析式得， ，舍去 ， 【解析】把对称轴和点C坐标代入抛物线解析式即可得出答案； 根据抛物线与x 轴的交点，得出点A、B坐标，求得AB ，再根据三角形的面积公式即 可得出答案； 设对称轴与x 轴交于点E ，过点 P作对称轴于点F，根据同角的余角相等，得出 ，根据 AAS得出，得出，设，表示出 点 P坐标，代入抛物线解析式得出a 的值 第 3 页，共 9 页 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数 法求二次函数解析式；灵活运用三角形的面积公式和勾股定理计算线段的长；会利用数 形结合的思想解决数学问题；本题难度较
4、大，综合性较强 四、解答题（本大题共8 小题，共74.0 分） 4.解下列方程： 【答案】解： 直接开平方 ， 解得：，； ， ， ， 或， 解得： ， 【解析】利用直接开平方法解方程得出答案； 利用因式分解法解方程得出答案 此题考查了解二元一次方程因式分解法，直接开方法，熟练掌握各自解法是解本题的 关键 5.若关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围； 请你选取一个合适的k 的值代入方程并求出这个方程的两根 【答案】解：， ， ， 即 k 的取值范围为：， 若， 则， 解得：， 【解析】根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”得到判别 式，得到关于k 的一元一次不等式
5、，解之即可， 结合的结果取，解一元二次方程即可 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如 下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数 根；当时，方程无实数根 第 4 页，共 9 页 6.如图 3 的雪花图案可以看成是基本图案_ 画出示意图绕中心每次旋转， 旋转 _次得到；也可以看成是基本图案图绕中心每次旋转_ ，旋转 _次得到；还可以看成是基本图案图绕中心旋转 _ 得到 【答案】 5 120 2 180 【解析】解：菱形的每一个内角为， ， 旋转 5 次 基本图案1，中心角为， ， 旋转 2 次 基本图案2，每个中心角为， ， 旋转 1 次， 故答案为：，5，120
6、，2，180 根据基本图案的中心角的度数，确定出最小的旋转角，从而确定出次数 主要考查了旋转的性质，此题是利用旋转设计图案，解本题的关键是从雪花图案中能分 解出基本图案，也是本题的难点 7.如图，矩形ABCD 和矩形 AEFG关于点 A中心对称， 四边形 BDEG 是菱形吗？请说明理由 若矩形 ABCD面积为 6，求四边形BDEG的面积 【答案】解：四边形 BDEG 是菱形 理由： 矩形 ABCD 和矩形 AEFG关于点 A中心对称， ， 四边形 BDEG 是平行四边形， 又， ， 四边形 BDEG 是菱形 矩形 ABCD 面积为 6， 第 5 页，共 9 页 ， 菱形 【解析】对角线互相垂直
7、的平行四边形是菱形，直接利用菱形的判定方法得出答案； 直接利用矩形的面积结合菱形的面积计算公式得出答案 此题主要考查了中心对称以及菱形的判定，正确把握菱形的判定是解题关键 8.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为， 的面积是 _； 若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出， 并直接写出顶点的坐标 _； 将绕着点 O按顺时针方向旋转得到，画出，并直接 写出的坐标 _ 【答案】 3 【解析】解：的面积是， 故答案为： 3； 的坐标为， 故答案为：； 第 6 页，共 9 页 的坐标是， 故答案为： 依据三角形面积计算公式即可得出的面积 依据轴对称的性质画出图形，即可得到点 的坐标； 依
8、据旋转的性质，即可得到绕着点 O按顺时针方向旋转 得到的， 即可得出点C的对称点的坐标 本题考查了作图旋转变换和轴对称变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于 旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方 法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形 9.某学校农场要盖一间长方形牛棚，打算一面用一堵旧 墙 墙长 10 米 ，其余各面用19 米长木料围成栅栏， AD边留有 1 米宽的门 设与墙垂直的栅栏AD长 x 米， 设围成的牛棚的面积y 米 ， 试求 y 与 x 的函数关 系式并直接写出自变量x 的取值范围 请计算，当x 为多少时，牛棚的面积最大？并求出最大面
9、积 【答案】解：设与墙垂直的栅栏AD的长为 x 米，米， 根据题意得： ； ， 当时，最大面积为50 平方米 【解析】表示出矩形的长和宽后利用矩形的面积的计算方法表示出y 与 x 的函数关 系即可； 将得到的函数关系式配方后即可确定最大值 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出二次函数模型，难 度不大 10.如图， AB是的一条弦，垂足为点C，交于点 D，点 E在上 若 ，求的度数； 若，求半径的长 第 7 页，共 9 页 【答案】解：连接 OB ， ， ， ， ； ， ，设半径为R， 在中， 的半径为5 【解析】连接 OB ，根据垂径定理得出，故可得出，再 由圆周角定理
10、即可得出结论； 设半径为R，在中，构建方程即可解决问题； 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键，学 会利用参数构建方程解决问题 11.阅读下面材料，并解决问题： 如图等边内有一点P，若点 P到顶点 A、B、C的距离分别为3，4，5， 求的度数 为了解决本题， 我们可以将绕顶点 A旋转到处， 此时， 这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC转化到一个三角形中，从而求 出_； 基本运用 请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图，中， E、 F为 BC上的点且， 求证： ； 能力提升 如图，在中，点 O为内一 点，连接AO ， BO ，CO
11、 ，且，求的值 【答案】 【解析】解：， 、， 由题意知旋转角， 第 8 页，共 9 页 为等边三角形， P ， 易证为直角三角形，且， ； 故答案为：； 如图 2，把绕点 A逆时针旋转得到 ， 由旋转的性质得， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， 即 如图 3，将绕点 B顺时针旋转 至处，连接， 在中， ， ， ， 绕点 B顺时针方向旋转 ， 如图所示； ， ， 第 9 页，共 9 页 ， 绕点 B顺时针方向旋转 ，得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 、O、四点共线， 在中， 根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角 相等
12、以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； 把绕点 A逆时针旋转 得到， 根据旋转的性质可得， ， ，再求出，从而得到 ，然后利用“边角边”证明和全等， 根据全等三角形对应边 相等可得，再利用勾股定理列式即可得证 将绕点 B顺时针旋转 至处，连接，根据直角三角形角所对的 直角边等于斜边的一半求出，即的长，再根据旋转的性质求出是等 边三角形， 根据等边三角形的三条边都相等可得， 等边三角形三个角都是求 出，然后求出C、O、四点共线，再利用勾股定理列式求出 ，从而得到 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理， 读懂题目信息， 理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的 关键