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1、高中数学选修 4-1 全套教案 一平行线分线段成比例定理 教学目的： 1使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 教学重点： 取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 教学难点： 成比例的线段中，对应线段的确认。 教学用具： 圆规、三角板、投影仪及投影胶片。 教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。 1求出下列各式中的x：y。 （1）3x=5y； （2）x=y 3 2 ； （3）3：2=：； （4）3：=5：。 2已知求, 2 7 。 3已知 zyx
2、zyxz 32 , 432 求。 其中第 1 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3 题以学生各自解 答，指定 2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。 （二）新知识的教学 1提出问题，使学生思考。 在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1： 1 的？ 而后使学生试答，如果答出定理过三角形一边 的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问 理由，如果答不出，那么利用图1（若 E 是 AB中点， EF/BC，交 AC于 F点，则 AF=FC ）使学生观察，并予以 分析而得出 1 1 FC AF EB AE ，并指出此定理也可谓：如果 E是ABC的 AB边上一点
3、，且 1 1 EB AE ，EF/BC 交 AC于 F 点，那么 1 1 FC AE EB AE 。 2引导学生探索与讨论。 就着上述结论提出，在 ABC中，EF/BC 这个条件不变，但 EB AE 不等于 1 1 ，譬 如 EB AE = 3 2 时， FC AF 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜 想”配合着黑板上画出的相应图观察、明确。 而后使学生试证， 如能证明，则让学生进行证明， 并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以 “可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导， 而后指定学生进行证明。 继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1 的定理，学生答出定理过
4、梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后， 画出相应的图（图2） ，并随即提出问题： 在梯形 ABCD 中，EF/BC 的条件不变，但E不是 AB的中点，仍如 EB AE = 3 2 ，那 么是否 FC DF 也等于 3 2 ？ 而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图3） 。 就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包 含 EF的延长线），也得到 EB AE = 3 2 = FC AF （补足图 3 中的比例式）。 3引出平行线分线段成比例定理并作补步证明， 首先引导学生就图1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即 提出问题：
5、对于图3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特 例？而后延长图 3 中梯形的各线段，得出图4，并使观察、试述出： 三条平行线3/2/1lll在直线 1 k 、 2 k 上截出线段 21A A、 32A A、 21B B、 32B B， 如果 32 21 AA AA = 3 2 ，那么 32 21 BB BB = 3 2 ，即 32 21 AA AA = 32 21 BB BB 。 继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。 进一步提出： 32 21 AA AA = n m （m 、n为自然数），那么怎样证明 32 21 BB BB = n m ？并使学 生试证，并概括为： 三条平
6、行线3/2/1lll在直线 1 k 、 2 k 上截出线段 21A A、 32A A、 21B B、 32B B， 那么 32 21 AA AA = 32 21 BB BB 。 在此基础上，教师提出问题：由 32 21 AA AA = 32 21 BB BB ，利用比例的性质还可得到哪些 比例式？（ 21 32 AA AA = 21 32 BB BB ， 31 21 AA AA = 31 21 BB BB ，等） 引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定 理所包含的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。 最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此
7、过程中介 绍“对应线段”的使用，并以正反之例予以明确。 （三）应用举例 例 1（1）已知：如图 5，3/2/1lll，AB =3，DF =2，EF=4，求 BC 。 （2）已知：如图 6，3/2/1lll，AB =3，BC =5，DB =4.5，求 BF 。 （3）已知：如图 7，3/2/1lll，AB =3，BC =5，DF =10，求 DE 。 （4）已知：如图 8，3/2/1lll，AB =a，BC =b，DF =c，求 EF 。 其中（ 1）由学生口答、教师追问理由； （2）（4）则在学生充分思考的基础 上，使其口答。 例 2已知线段 PQ ，PQ上求一点 D，使 PD ：DQ =4：
8、1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法” 的不足，最后使他们实践。 （四）小结 1本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理， 平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线 段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。 2使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组 截得的对应线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（ 1）已知线段 PQ ，在 PQ上求一点 D，使 PD ：PQ =4：1； （2）已知线段 PQ ，在 PQ上求一点 D，使 PQ ：DQ =4：1 课题：平行线
9、分线段成比例定理 一、教学目的： 1使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 四、教学过程： 一、复习 1求出下列各式中的x：y。 （1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。 2已知 x:y=7:2 ，求 x:(x+Y) 3已知 x:2=y:3=z:4 ，求（ x+y+z）:(2x+3y-z) 二、新课学习 1提出问题，使学生思考
10、。 如果两条线段的比是1:1 ，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中， 有没有包含两条线段的比是1：1 的？ 而后使学生试答 ( 学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学）， 如果答出定理过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那 么追问理由， 如果答不出， 那么利用图 1 （若 E是 AB中点，EF/BC，交 AC于 F点， 则 AF=FC ）使学生观察，并予以分析而得出， 并指出此定理也可谓： 如果 E是ABC 的 AB边上一点 , 且 EF/BC 交 AC于 F点，如果 AE:EB=1:1， 那么 AE:EB=AF:FC=1:1 。 2引导学生探索与讨论
11、。 就着上述结论提出，在 ABC 中，EF/BC 这个条件不变，但 AE:EB不等于 1:1 ，譬 如 AE:EB=2:3时，AF:FC应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出 “猜想”配合着黑板上画出的相应图观察、明确。 而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。 继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1 的定理，学生答出定理过梯形 一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出 问题： 如果 E不是 AB的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=? （让生填空） 进一步问，如果 AE ：EB m:n，结论成立吗？如何说明？ 引导学生得
12、出 AE:EB=AF:FC 之后，提问 3、得出平行线分线段成比例定理 强调对应线段： 问 AE:CF=AF:EB 成立吗？ 4、例 1 讲解（略 ) 变式： 已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。 已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10 ，求 DE 。 已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c ，求 EF 。 5、例 2 讲解： ( 略） 分析：已知是给出了 “上：下 “ 的比的形式，而结论是求 “ 上：全 “，故考虑运用合 比性质。 三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明， 平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的