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1、高中物理力学中的临界问题分析 一 .运动学中的临界问题 在在追及与相遇问题中常常会出现临界现象，仔细审题， 挖掘题设中的隐含条件，寻找与 “刚好”、 “最多”、 “至 少”等关键词对应的临界条件是解题的突破口。一般来说两物体速度相等是题中隐含的临界条件，解题时正确处理 好两物体间的时间关系和位移关系是解题的关键。 例题一：一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s 的 速度匀速驶来 ,从后边超过汽车.试问 :（ 1）汽车从路口开动后,在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距 离是多少 ?（2）当两车相距最远时汽车的速度多大？ 解
2、析： （1）设两车运动时间为t 时,自行车的位移X1=v0t，汽车的位移为 2 2 2 1 atx 两车相距的距离 22 0 13 xv tat6tt . 22 当 st2 ) 2 3 (2 6 时， x 有最大值 x=6m. （2）当 t=2s 时，汽车的速度v=at=6m/s=v0，此时两车相距最远。 例题二、在水平轨道上有两列火车A 和 B 相距 s，A 车在后面做初速度为v0、加速度大小为 2a 的匀减速直线 运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A 车的 初速度 v0应满足什么条件？ 解析：要使两车不相撞，A 车追上 B 车
3、时其速度最多只能与B 车速度相等 .设 A、B 两车从相距s 到 A 车追上 B 车时， A 车的位移为sA，末速度为 vA，所用时间为t；B 车的位移为sB，末速度为vB，两车运动的速度时间图象 如图所示，由匀变速直线运动规律有: 对 A 车有 对 B 车有 两车有 s=sA-sB 追上时，两车刚好不相撞的临界条件是vA=vB 以上各式联立解得 故要使两车不相撞，A 的初速度v0 应满足的条件是： 点评：在追及问题中，当同一时刻两物体在同一位置时，两物体相遇，此时若后面物体的速度大于前面物体的 速度即相撞，因此两物不相撞的临界条件是两物体的速度相等。若两物体相向运动，当两物体发生的位移大小之
4、和 等于开始时两物体的距离时相遇，此时只要有一个物体的速度不为零则为相撞。 针对练习：（07 海南卷）两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。0t时两车都在同一计时线处，此 时比赛开始。它们在四次比赛中的tv图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆(AC) 解析 :由 v-t 图象的特点可知，图线与t 轴所围面积的大小，即为物体位移的大小.观察 4 个图象，只有A、C 选 项中， a、 b所围面积的大小有相等的时刻，故选项A、C 正确 . 二、平衡现象中的临界问题 在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与 物理量来寻找临
5、界条件。解题的关键是依据平衡条件及相关知识进行分析，常见的解题方法有假设法、解析法、极 限分析法等。 例题：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和物体 B，物体A 放在倾角为 的斜面上，如图甲所示已 知物体 A 的质量为m，物体 A 与斜面的动摩擦因数为 (12 N 时,A 相对 B滑动 C.当拉力 F=16 N 时,B 受 A的摩擦力等于4 N D.无论拉力F多大 ,A 相对 B始终静止 解析设 A、B 共同运动时的最大加速度为amax,最大拉力为 Fmax 对 B:mAg=mBamaxamax= B A m gm =6 m/s 2 对 A、B 系统 :Fmax=(mA+mB)amax=4
6、8 N 当 FFmax=48 N 时,A、 B 相对静止。 因为地面光滑 ,故 A 错,当 F 大于 12 N 而小于 48 N 时,A 相对 B 静止 ,B 错。 当 F=16 N 时,其加速度a=2 m/s 2。 对 B:f=4 N, 故 C 对。 因为细线的最大拉力为20 N,所以 A、B 总是相对静止 ,D 对。正确选项为CD。 点评：刚好相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，即f静=fm ，此时系统的加速度仍相等。 针对练习：（ 2007）江苏卷如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和 2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是 m
7、g。现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木 块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为 A、 5 mg3 B、 4 mg3 C、 2 mg3 D、mg3 解析：分别对整体、右端一组及右端个体受力分析，运用牛顿第二定律，由整体法、隔离法可得 F 6maFmg 2mamg Tma 由联立可得T3/4mg 所以 B 正确 例题二：如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、 B 两物体， B 的质量是A 的 2 倍， B 受到向右的 恒力 FB2 N，A 受到的水平力FA (92t) N( t 的单位是s)从 t0 开始计时，则 ( ) A、A 物体在 3 s末时刻的加速度是初
8、始时刻的 5 11倍 B、t4 s后， B 物体做匀加速直线运动C、t 4.5 s 时， A 物体的速度为零 D、t4.5 s 后， A、B 的加速度方向相反 解析： 对于 A、 B 整体根据牛顿第二定律有FA FB(mAmB)a， 开始时合力为11 N,3 秒末合力为5N，故 A 正确设A、B 间的作用力为FN，则对 B 进行分析，由牛顿第二定律可得：FNFBmBa， 解得 FNmB FAFB mAmB F B 164t 3 N当 t4 s 时， FN0，A、B 两物体开始分离，此后 B 做匀加速直线运动，故 B 正确；而 A 做加速度逐渐减小的加速运动，当t4.5 s 时，A 物体的加速度
9、为零而速度不为零，故C 错误 t4.5 s 后， A 所受合外力反向，即A、B 的加速度方向相反，故D 正确当t4 s时， A、B 的加速度均为a FAFB mAmB. 综上所述，选项A、B、 D 正确 点评：相互接触的两物体脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零，即N=0 。 针对练习1：不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M15kg 的重物，重物静止于地面上， 有一质量 m10kg 的猴子从绳的另一端沿绳上爬，如右图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子 向上爬的最大加速度为(g 取 10m/s2)( ） A、25m/s 2 B、5m/s 2 C、 10m/s 2
10、D、15m/s 2 解析： 本题的临界条件为FMg，以猴子为研究对象，其受向上的拉力F和 mg，由牛顿第二定律可知， F mgma，而 F F，故有 Fmgma，所以最大加速度为a5m/s 2. 点评：此题中的临界条件是：地面对物体的支持力为零。 针对练习2：一弹簧秤的秤盘质量m1=15kg，盘内放一质量为m2=105kg 的物体 P，弹簧质量不计， 其劲度系数为k=800N/m ，系统处于静止状态，如图所示。现给P 施加一个竖直向上的力F，使 P从静止 开始向上做匀加速直线运动，已知在最初02s 内 F 是变化的，在02s 后是恒定的，求F 的最大值和 最小值各是多少？（g=10m/s2）
11、解析：依题意， 0.2 s 后 P离开了托盘， 0.2 s 时托盘支持力恰为零，此时加速度为：a=（F 大mg）/m (式中 F大为 F 的最大值 )此时 M 的加速度也为a. a=（kxMg）/M 所以kx=M （g+a）原来静止时，压缩量设为x0，则： kx0=（ m+M ）g 而 x0x=at 2/2 由、有：即 mgMa=0.02ak a=mg/（M+0.02k ）=6 m/s 2 代入： Fmax=m（a+g）=10.5（6+10）N=168 N F 最大值为168 N. 刚起动时F 为最小，对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得 F小+kx0（ m+M ）g=（m+M ）a 代入有
12、：Fmin=（ m+M ）a=72 N F 最 小值为 72 N. 点评：此题中物块与秤盘刚分离时，二者具有相同的速度与加速度，此时二者间相互作用的 弹力为零，在求拉力F 的最大值与最小值时要注意弹簧所处的状态， 例题三、表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子长为l，绳子能够承受的最大拉力是 杯子和杯内水重力的倍，要使绳子不断，节目获得成功，则杯子通过最高点时速度的最小值为 _，通过最低点时速度的最大值为_。 解析：要使水在最高点恰不流出杯子，此时绳子对杯子拉力等于零，杯子和水做圆周运动的向心力仅由其重力mg 提供，由牛顿第二定律，在最高点处对杯子和水列方程：mg=mv 1 2 /L，所以
13、，杯子通过最高点时速度的最小值 1 vgl。在最低点处对杯子和水应用牛顿第二定律 2 2 v Fmgm L ，当 F=8mg 取最大值时， 速度 v2也取最大值， 而 2 2 8 v mgmgm L ，故通过最低点时速度的最大值 2 7vgl 点评：重力场中，在竖直平面内作圆周运动的物体恰好能通过最高点的临界条件是：仅由重力提供作圆周运动 的向心力，此时与物体连的细绳、细杆、或其他接触物对作圆周运动的物体的作用力为零。 针对练习 :(04 甘肃理综 )如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球 和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高
14、点时杆对小球的作用力，则F（D ） A、一定是拉力B、一定是推力C、一定等于0 D、可能是拉力，可能是推力，也可能等于0 例题四：如图所示，细绳一端系着质量m 0.6 kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光 滑的小孔吊着质量m0.3 kg 的物体， m的重心与圆孔距离为0.2 m，并知 m和水平面的最大静 摩擦力为2 N现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围， m 会处于静止状态(取 g 10 m/s2) 解析：要使m 静止， m也应与平面相对静止，而m与平面静止时有两个临界状态： 当为所求范围最小值时，m有向着圆心运动的趋势，水平面对m的静摩擦力的方向背离圆心， 大小等于最大静摩擦
15、力2 N.此时，对m运用牛顿第二定律，有T fmaxm 12r ， 且 Tmg 解得 12.9 rad/s. 当为所求范围最大值时，m有背离圆心运动的趋势，水平面对m的静摩擦力的方向向着圆心， 大小还等于最大静摩擦力2 N.再对 m运用牛顿第二定律，有 Tfmaxm22r，且 T mg 解得 26.5 rad/s. 所以，题中所求的范围是： 2.9 rad/s6.5 rad/s. 点评：分析“在什么范围内, ”这一类的问题时要注意分析两个临界状态。最大静摩擦力的方向与物体的相 对运动趋势方向有关，当角速度最小时，有向着圆心的方向运动的趋势，当角速度达到最大的时候，有远离圆心的 方向运动的趋势，
16、因此出现了极值情况。 例题五、如图所示，质量为M=4kg 的木板长L=1.4m ，静止在光滑且足够长的水平地面上，其水平顶面右端静 置一质量m=1kg 的小滑块（可视为质点） ，其尺寸远小于L，小滑块与木板间的动摩擦因数=0.4。 （1）现用恒力F 的作用于木板M 上为使 m 能从 M 上滑落， F 的大小范围是多少？（2）其他条件不变，若恒力F=22.8N 且始终作 用于 M 上，最终使m 能从 M 上滑落， m 在 M 上滑动的时间是多少？（不计空气阻力，g=10m/s2） 解析： （ 1）小滑块与木板间的滑动摩擦力为Ff=fN=mg，小滑块在滑动摩擦力作用下向右做匀加速运动，由 牛顿第二定律有，Ff=ma1, 2 1 /4smg m F a f , 对木板有： 2 MaFF f 木板的加速度 M FF a f 2 使 m 能从 M 上滑落的条件为a1a2 M FF f m Ff 由以上各式得，F (M+m)g=20N ，即 F20N。 (2)设 m 在 M 上面滑行的时间为t，木板的加速度 M FF a f 2 =4.7 m/s 2 小滑块的位移 2 11 2 1 tax木板的位移 2 22 2 1 taxLxx 21 解得 t=2s