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1、高等数学中值定理的题型与解题方法 高数中值定理包含： 1.罗尔中值定理(rolle); 2. 拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定 理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中( , )a b，一定是开区间. 全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里 往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。 题型一：证明：( )0 n f 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle) ，还要考虑极值的问题。 例 1. ( ) , f xC a b在( , )a b可导，( )( )0f
2、af b，( )()0 2 ab f a f， 证明：存在( , )a b，使得( )0f. 分析：由( )( )0f af b，( )()0 2 ab f a f，容易想到零点定理。 证明：( )()0 2 ab f a f，存在 1 ( ,) 2 ab xa，使得 1 ()0f x， 又( )( )0f af b，( ),( )f af b同号，( )()0 2 ab f b f， 存在 2 (, ) 2 ab xb，使得 2 ()0f x， 12 ()()0f xf x，所以根据罗尔中值定理：存在( , )a b，使得( )0f. 例 2. ( )0,3f xC在(0,3)内可导，(0)
3、(1)(2)3fff，(3)1f， 证明：存在(0,3)，使得( )0f 证明： （1）( )0,3f xC，( )f x在0,3使得上有最大值和最小值,M m， 根据介值性定理 (0)(1)(2) 3 fff mM，即1mM 存在0,3c，使得( )1f c， （2）( )(3)1f cf，所以根据罗尔中值定理：存在( ,3)(0,3)c， 使得( )0f. 例 3. ( )f x在(0,3)三阶可导，0,1x，(1)0f， 3 ( )( )F xx f x 证明：存在(0,1)，使得( )0F 证明： （1）(0)(1)0FF，存在 1 (0,1)，使得 1 ()0F， （2） 23 (
4、)3( )( )Fxx f xx fx，所以 1 (0)( )0FF， 存在 21 (0,)，使得 2 ()0F， （3） 223 ( )6( )3( )3( )( )Fxxf xx fxx fxx fx，所以 2 (0)()0FF， 存在 2 (0,)(0,1)，使得 ( )0F， 例 3. ( )0,1f xC在(0,1)内可导，0,1x，(0)1f， 11 () 22 f，(1)2f 证明：存在(0,1)，使得( )0f 证明：(0)1f， 11 () 22 f，(1)2f存在(0,1)，使得( )fm， 又( )f x在(0,1)内可导，存在(0,1)，使得( )0f 题型二：证明：含
5、，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。 ( ) ln( ) ( ) fx f x f x 能够化成这种形式 例 1. ( )0,1f xC在(0,1)可导，(1)0f， 证明：存在(0,1)，使得( )3 ( )0ff. 分析：由 3 ( )3 ( )3( )00ln( )(ln)0 ( ) fx xfxfxf xx f xx ， 3 ln( )0x f x 证明：令 3 ( )( )xx f x，(0)(1)1 存在(0,1)，使得( )0，而 23 ( )3( )( )0ff 存在(0,1)，使得( )3 ( )0ff 例 2. ( ) , f xC a b在( , )a b
6、可导，( )( )0f af b， 证明：存在( , )a b，使得( )2( )0ff. 分析：由 2 ( ) ( )2( )020ln( )(ln)0 ( ) x fx fxf xfxe f x ， 2 ln( )0 x f x e 证明：令 2 ( )( ) x xf x e，( )( )0f af b，( )( )0ab 存在( , )a b，使得( )0，而 222 ( )2 ( )( ) 2 ( )( )0 xxx xf x efx eef xfx 2 2 ( )( )0eff 即存在( , )a b，使得( )2( )0ff 例 3. ( )f x在0,1上二阶可导，(0)(1)
7、ff， 证明：存在(0,1)，使得 2( ) ( ) 1 f f. 分析：由 2 2( )( )2 ( )0ln( )ln(1) 0 1( )1 fxfx fxfxx xfxx ， 2 ln( )(1) 0fx x 证明：令 2 ( )( )(1)xfxx，(0)(1)(0,1)ffc，使得( )0fc， 所以 2 ( )( )(1)0cfc c，又因为(1)0( )(1)0c 由罗尔定理知，存在(0,1)，使得 2( ) ( ) 1 f f. 记：( )( ) kx fkfxe f x ( )( ) k fkfxx f x （2）分组构造法。 ( )( )ff ( )( )0( )( )(
8、)( )0fxf xfxfxfxf x ( )( )( )( )0 0fxf xfxf xgg 10(ln)(ln)0( )( )( ) xxg gexefxfx g ( )( )10ff（还原法行不通） ( )1 ( )100( )( )1 x fxfxggxefx 例 1. ( )0,1f xC，在(0,1)内可导， 11 (0)0,()1,(1) 22 fff， 证明：存在(0,1)c，使得( )f cc， 存在(0,1)c，使得( )2( )1ff. 证明：令( )( )xfxx， 111 (0)0,( ),(1) 222 1 ( ) (1)0 2 ， 1 (,1)(0,1) 2 c使
9、得( )0c，即( )f cc （分析）( )2( )1( )2( )0fxf xxf xxfxx 令 2 ( )( ) x h xef xx，(0)( )0hh c 存在(0,1)c，使得( )2( )1ff. 题型三：证明：含,. 分几种情形：情形1：结论中只有( ),( )()ff 找三 句 次Lagrange 点 两话 两 例 1. ( )0,1f xC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff， 证明：存在(0,1)c，使得( )1f cc， 存在,(0,1)，使得( )( )1ff. 证明：令( )( )1xfxx，(0)1,(1)1(0)(1)0 (0,1)c使得( )1f cc (0, ),( ,1)cc,使得 ( )(0)1 ( ) f cfc f cc (1)( ) ( ) 11 ff cc f cc ，所以存在,(0,1)，使得( )( )1ff 例 2. ( )0,1f xC，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1ff， 证明：存在(0,1)c，使得 1 ( ) 2 f c， 存在,(0,1)，使得 11 2 ( )( )ff .