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1、第 8 讲曲线与方程 一、选择题 1已知两定点 A(1,1) ，B(1，1)，动点 P满足PA PBx 2 2 ，则点 P的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D拋物线 解析设点 P(x，y) ，则PA (1x, 1y)，PB ( 1x，1y) ， 所以PA PB(1x)( 1x)(1y)( 1y) x2 y 22. 由已知 x 2 y 22x 2 2 ，即 x 2 4 y 2 2 1，所以点 P 的轨迹为椭圆 答案B 2已知点 F 1 4，0 ，直线 l ：x 1 4，点 B是 l 上的动点若过 B垂直于 y 轴的 直线与线段 BF的垂直平分线交于点M ，则点 M的轨迹是 ( ) A双曲
2、线 B椭圆 C圆 D抛物线 解析由已知： | MF | | MB |. 由抛物线定义知，点M的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线，故选D. 答案D 3 设圆(x1) 2y225 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点 线 段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 () A. 4x 2 21 4y 2 25 1 B.4x 2 21 4y 2 251 C.4x 2 25 4y 2 21 1 D.4x 2 25 4y 2 21 1 解析M 为 AQ 垂直平分线上一点，则 |AM|MQ|， |MC|MA|MC|MQ|CQ|5， 故 M 的轨
3、迹为椭圆， a5 2，c1，则 b 2a2c221 4 ， 椭圆的标准方程为 4x 2 25 4y 2 211. 答案D 4已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 |PM|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是 () A2xy10 B2xy50 C2xy10 D2xy50 解析由题意知， M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(2x，4y)，代入 2xy30，得 2xy50. 答案D 5已知二面角 l 的平面角为 ，点 P在二面角内， PA ，PB ， A，B为垂足，且 PA 4，PB 5，设 A，B 到棱 l 的距离分别为x，y
4、，当 变化时，点 ( x，y) 的轨迹方程是 ( ) Ax 2 y 29( x0) Bx 2 y 29(x0，y0) Cy 2 x 29(y0) Dy 2 x 29(x0，y0) 解析实际上就是求 x，y 所满足的一个等式， 设平面 PAB与二面角的棱的交 点是 C，则 AC x，BC y，在两个直角三角形RtPAC ，RtPBC中其斜边相 等，根据勾股定理即可得到x，y 所满足的关系式如图，x 242 y 252， 即 x 2 y 29( x0，y0) 答案B 6在平行四边形ABCD 中， BAD60 ，AD2AB，若 P 是平面 ABCD 内一 点，且满足： xAB yAD PA 0(x，
5、yR)则当点 P 在以 A 为圆心， 3 3 |BD |为半径的圆上时，实数x，y 应满足关系式为() A4x 2y22xy1 B4x2y22xy1 Cx 24y22xy1 Dx 24y22xy1 解析如图，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设AD 2.据题意，得 AB1，ABD90 ，BD3.B、D 的 坐标分别为 (1,0)、 (1， 3)，AB (1,0)，AD (1， 3)设 点 P 的坐标为 (m，n)，即AP (m，n)，则由 xAB yAD PA 0，得： AP xAB yAD ， mxy， n 3y. 据题意， m2n21，x24y22xy1. 答案D 二、填空题 7已知圆的方
6、程为x 2 y 24，若抛物线过点 A(1,0) 、B(1,0) 且以圆的切线为 准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_ 解析 设抛物线焦点为F，过 A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则| AA1| | BB1| 2| OO 1| 4，由抛物线定义得 | AA1| | BB1| | FA | | FB | ，| FA| | FB | 4，故 F点的轨迹是以 A、B为焦点，长轴长为 4 的椭圆 ( 去掉长轴两端 点) 答案 x 2 4 y 2 3 1(y0) 8. 如图，点 F(a,0)(a0)，点 P 在 y 轴上运动， M 在 x 轴 上运动，N 为动点，且 PM PF 0，PM PN
7、 0，则点 N 的轨迹方程为 _ 解析由题意，知 PMPF 且 P 为线段 MN 的中点， 连接 FN，延长 FP 至点 Q 使 P 恰为 QF 之中点；连接 QM，QN，则四边形 FNQM 为菱形，且点 Q 恒在直线 l：xa 上，故点 N 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线，其方程为：y 24ax. 答案y 24ax 9如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且 AM 1 3AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1的距离的平方与P 到点 M 的距离的平方差为1，在平面直角坐 标系 xAy中，动点 P 的轨迹方程是
8、 _ 解析过 P 作 PQAD 于 Q，再过 Q 作 QHA1D1于 H， 连接 PH、 PM， 可证 PHA1D1， 设 P(x， y)， 由|PH|2|PM| 2 1，得 x 21 x1 3 2y2 1，化简得 y 22 3x 1 9. 答案y 22 3x 1 9 10. 曲线 C是平面内与两个定点F1(1,0) 和 F2(1,0) 的距离的积等于常数a 2( a1) 的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线 C过坐标原点； 曲线 C关于坐标原点对称； 若点 P在曲线 C上，则 F1PF2的面积不大于 1 2a 2. 其中，所有正确结论的序号是_ 解析曲线 C 经过原点，这点不难验证是错误的，
9、如果经过原点，那么a 1，与条件不符；曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处 | PF1| PF 2| a 2，关于原点的对称点处也一定符合 | PF1| PF2| a2；三角形的 面积 SF1F2P2a 2 2，很显然 SF1F2 P 1 2| PF 1| PF2|sin F1PF21 2| PF 1| PF2| a 2 2 . 所以正确 答案 三、解答题 11. 如图，已知 F(1,0) ，直线 l ：x1，P为平面上的动点， 过点 P作 l 的垂线，垂足为点Q ，且 QP QFFP FQ . 求动点 P的轨迹 C的方程 解法一：设点 P( x，y)，则 Q ( 1，y)， 由
10、QP QF FP FQ ，得( x1,0) (2，y)(x1， y)(2，y)，化简得 C ：y 24x. 法二：由 QP QF FP FQ ， 得 FQ (PQ PF)0，( PQ PF)(PQ PF) 0， PQ 2 PF 20. | PQ | | PF|. 点 P的轨迹 C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为 y 24x. 12设椭圆方程为 x 2y 2 41，过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，O 为坐 标原点，点 P 满足OP 1 2(OA OB )，点 N 的坐标为 1 2， 1 2 ，当直线 l 绕点 M 旋转时，求： (1)动点 P 的轨迹方程； (2)|NP |
11、的最大值，最小值 解(1)直线 l 过定点 M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则 l 的方程为 ykx 1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知， A、B 的坐标满足方程组 ykx1， x 2y 2 4 1. 消 去 y 得(4k 2)x22kx30. 则 4k212(4k2)0. x1x2 2k 4k 2，x1x2 3 4k 2. P(x，y)是 AB 的中点， 则由 x1 2 x1x2 k 4k 2， y 1 2 y1y2 1 2 kx11kx21 4 4k 2； 消去 k 得 4x 2y2y0. 当斜率 k 不存在时， AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P 点的轨
12、迹 方程为 4x 2y2y0. (2)由(1)知 4x 2 y1 2 21 4， 1 4x 1 4 而|NP| 2 x1 2 2 y1 2 2 x1 2 2116x 2 4 3 x 1 6 2 7 12， 当 x 1 6时，|NP |取得最大值 21 6 ， 当 x 1 4时，| NP | 取得最小值 1 4. 13 在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆 E： x 2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)经过点 A 6 2 ，2 ，且点 F(0，1)为其一个 焦点 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设随圆 E 与 y轴的两个交点为A1，A2，不在 y 轴 上的动点 P 在直线 yb 2 上运
13、动，直线 PA1，PA2分 别与椭圆 E 交于点 M，N，证明：直线 MN 通过一个定点，且 FMN 的周长 为定值 解(1)根据题意可得 3 2a 2 2 b 21， b 2a21， 可解得 a3， b2， 椭圆 E 的方程为 x 2 3 y 2 4 1. (2)由(1)知 A1(0,2)，A2(0，2)，P(x0，4)为直线 y4 上一点 (x00)，M(x1， y1)，N(x2，y2)，直线 PA1方程为 y 2 x0x2，直线 PA2 方程为 y 6 x0x2，点 M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组 x 2 3 y 2 4 1， y 2 x0x2， 可得 x16x 0 3
14、x 2 0， y12x 2 06 3x 2 0 . 点N(x2， y2) ， A2(0 ， 2) 的 坐 标 满 足 方 程 组 x 2 3 y 2 4 1， y 6 x0x2， 可 得 x2 18x0 27x 2 0， y22x 2 054 27x 2 0 . 由于椭圆关于 y 轴对称，当动点 P 在直线 y4 上运动时， 直线 MN 通过的定点必在y 轴上，当 x01 时，直线 MN 的方程为 y14 3 x3 2 ，令 x0，得 y1 可猜测定点的坐标为 (0,1)，并记这个定点为B.则直 线 BM 的斜率 kBMy 11 x1 2x 2 06 3x 2 0 1 6x0 3x 2 0 9
15、x 2 0 6x0 ，直线 BN 的斜率 kBNy 21 x2 2x2 054 27x 2 0 1 18x0 27x 2 0 9x 2 0 6x0 ，kBMkBN，即 M，B，N 三点共线，故直线MN 通过 一个定点 B(0，1)， 又F(0，1)，B(0,1)是椭圆 E 的焦点， FMN 周长为 |FM|MB|BN|NF|4b8，为定值 14已知向量 a(x，3y)，b(1,0)，且(a3b)(a3b) (1)求点 Q(x，y)的轨迹 C 的方程； (2)设曲线 C 与直线 ykxm相交于不同的两点M、N，又点 A(0， 1)，当 |AM|AN|时，求实数 m的取值范围 解(1)由题意得 a
16、3b(x3， 3y)，a3b(x3， 3y)，(a3 b)(a3b)，(a3b) (a3b)0， 即(x3)(x3)3y3y0. 化简得 x 2 3 y21，Q 点的轨迹 C 的方程为 x 2 3 y21. (2)由 ykxm， x 2 3 y21 得(3k21)x26mkx3(m21)0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， 0，即 m2m2，解得 00，解得 m1 2， 故所求的 m的取值范围是 1 2，2 . (ii) 当 k0 时，|AM|AN|， APMN，m 23k21，解得 1m1. 综上，当 k0时，m 的取值范围是 1 2，2 ， 当 k0 时，m 的取值范围是 (1,1).