《高考数学(人教a版,理科)题库：空间向量及其运算(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(人教a版,理科)题库：空间向量及其运算(含答案).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 6 讲空间向量及其运算 一、选择题 1以下四个命题中正确的是() A空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B若 a，b，c为空间向量的一组基底，则 ab，bc，ca 构成空间向 量的另一组基底 CABC 为直角三角形的充要条件是AB AC 0 D任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析若 ab、bc、ca 为共面向量， 则 ab (bc) (ca)，(1 )a ( 1)b( )c， ，不可能同时为 1，设 1，则 a 1 1 b 1 c， 则 a、b、c为共面向量，此与 a，b，c为空间向量基底矛盾 答案B 2若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满
2、足条件 (ca) (2b)2，则 x () A4 B2 C4 D2 解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)， ca(0,0,1x)，2b(2,4,2) (ca)(2b)2(1x)2，x2. 答案D 3 若a， b， c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A a，ab，ab B b，ab，ab C c，ab，ab Dab，ab，a2b 解析若 c、ab、ab共面，则 c (ab)m(ab)( m)a( m)b， 则 a、b、c 为共面向量，此与 a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，a b，ab 可构成空间向量的一组基底 答案C 4.如图所示，已知空
3、间四边形OABC，OBOC，且 AOBAOC 3，则 cos OA ，BC 的值为() A0 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 2 解析设OA a，OB b，OC c， 由已知条件 a，b a，c 3，且|b|c|， OA BC a (cb)a ca b 1 2|a|c| 1 2|a|b| 0，cosOA ，BC 0. 答案A 5如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a，AD b，AA1 c， 则下列向量中与 BM 相等的向量是() A 1 2a 1 2bc B.1 2a 1 2bc C 1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc
4、解析BM BB1 B1M AA1 1 2(AD AB ) c1 2(ba) 1 2a 1 2bc. 答案A 6如图，在大小为 45的二面角 AEF D中，四边形 ABFE ，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D两点间的距离是 ( ) A.3 B.2 C1 D.32 解析 BD BF FEED， | BD| 2| BF | 2| FE | 2| ED | 22BF FE 2FE ED 2BF ED 111 232，故|BD | 32. 答案D 二、填空题 7. 设, x yR， 向量4,2, 1,1 ,cybxa， 且cbca/,， 则_ _ _ _ _ _ _ba 解析 2402 ,
5、/ /(3, 1)10 242 xx ac bcab yy. 答案10 8. 在空间四边形 ABCD 中，AB CD AC DB AD BC _. 解析如图，设 AB a，AC b，AD c， AB CD AC DB AD BC a (cb)b (ac)c (b a)0. 答案0 9已知ABCD A1B1C1D1为正方体，( 11 A A 11 A D 11 A B ) 23 11 A B 2 ； 1 AC ( 11 A B 11 A A ) 0；向量 1 AD 与向量 1 A B 的夹角是 60；正方体 ABCD A1B1C1D1的 体 积 为 |AB 1 AA AD|. 其 中 正 确 命
6、题 的 序 号 是 _ 解析 由 1 AA 11 A D ， 1 AA 11 A B ， 11 A D 11 A B 11 A B ， 得( 1 A A 11 A D 11 A B ) 23( 11 A B ) 2，故正确；中 11 A B 1 A A 1 AB ，由于 AB1 A 1C，故 正确；中A1B 与 AD1两异面直线所成角为60，但 1 AD 与 1 A B 的夹角为 120，故不正确；中 |AB 1 AA AD| 0. 故也不正确 答案 10如图，空间四边形OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC 45 ，OAB60 ，则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 _ 解析
7、设OA a，OB b，OC c. OA 与 BC 所成的角为 ， OA BC a(cb)a ca ba (aAC )a (aAB )a 2a AC a2a AB 2416 2. cos |OA BC | |OA | |BC | 2416 2 85 32 2 5 . 答案 32 2 5 三、解答题 11已知 A、B、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 1 3 (OA OB OC ) (1)判断MA 、MB 、MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)由已知 OA OB OC 3 OM ， OA OM (OM OB )(OM OC )
8、， 即MA BM CM MB MC ， MA ，MB ，MC 共面 (2)由(1)知，MA ，MB ，MC 共面且基线过同一点M， 四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内 12把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC折起成直二面角， 点 E、F分别是 AD 、 BC的中点，点O是原正方形的中心，求： (1) EF的长； (2) 折起后 EOF 的大小 解如图，以 O点为原点建立空间直角坐标系O xyz，则 A （0， 2 2 a, 0） ， B（ 2 2 a, 0,0 ） ，C（0， 2 2 a, 0） ，D （0,0 ， 2 2 a） ，E（0， 2 4 a， 2
9、 4 a） ， F（ 2 4 a， 2 4 a, 0）. (1)| EF | 22 4 a0 22 4 a 2 4 a 2 0 2 4 a 23 4a 2，| EF | 3 2 a. (2) OE 0， 2 4 a， 2 4 a ，OF 2 4 a， 2 4 a，0 ， OE OF 0 2 4 a 2 4 a 2 4 a 2 4 a0 a 2 8 ， | OE | a 2，| OF | a 2，cosOE ，OF OE OF | OE | OF | 1 2， EOF 120. 13如图，已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GM
10、GA13.求证： B、G、N 三点共线 证明设AB a，AC b，AD c，则 BG BA AG BA 3 4AM a 1 4(abc) 3 4a 1 4b 1 4c， BN BA AN BA 1 3(AC AD ) a 1 3b 1 3c 4 3BG . BN BG ，即 B、G、N 三点共线 14如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线 长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB、AD、CD 的中点， 计算： (1)EF BA ；(2)EF DC ；(3)EG 的长； (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解设AB a，AC b，AD c. 则|a|b|c|1， a，b
11、 b，c c，a60 ， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，BA a，DC bc， EF BA 1 2c 1 2a (a) 1 2a 21 2a c 1 4， (2)EF DC 1 2(ca) (bc) 1 2(b ca bc 2a c)1 4； (3)EG EB BC CG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG | 21 4a 21 4b 21 4c 21 2a b 1 2b c 1 2c a 1 2，则|EG | 2 2 . (4)AG 1 2b 1 2c，CE CA AE b1 2a， cosAG ，CE AG CE |AG |CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是(0 ，90 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 2 3.