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1、椭圆题型总结 一、椭圆的定义和方程问题 (一)定义 : 1.命题甲 :动点P到两点BA,的距离之 2.和);,0(2常数aaPBPA命题乙 : P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的( B ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.已知 1 F 、 2 F 是两个定点，且4 21F F,若动点P满足4 21 PFPF则动点P的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段 4. 已知 1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的一个动点 ,如果延长 PF1 到 Q ,使得2 PFPQ ,那么动点 Q 的轨迹 是( B ) A.椭圆B.圆
2、C.直线D.点 5.椭圆1 925 22 yx 上一点M到焦点 1 F的距离为 2，N为 1 MF的中点，O是椭圆的中心， 则ON的值是4 。 6.选做： F1是椭圆 1 59 22 yx 的左焦点， P在椭圆上运动，定点A（1，1） ，求| 1 PFPA的最小值。 解：26|2|2| 221 AFaPFaPAPFPA (二)标准方程求参数范围 1.试讨论 k 的取值范围，使方程1 35 22 k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。（略） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“ynymxnm10 22 ( C ) A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3、3.若方程1cossin 22 yx表示焦点在y 轴上的椭圆，所在的象限是（A ） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4.方程 2 31yx所表示的曲线是椭圆的右半部分. 5.已知方程2 22 kyx表示焦点在X轴上的椭圆 ,则实数 k 的范围是k1 (三)待定系数法求椭圆的标准方程 1.根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（ 0， 5） ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为26； 1 144169 22 xy （2）长轴是短轴的2 倍，且过点（ 2， 6） ； 1 37148 , 1 1352 2222 yxxy 或 （3）已知椭圆的
4、中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 )2,3(),1 ,6( 21 PP,求椭圆方程 . 1 39 22 yx 2.简单几何性质 1 求下列椭圆的标准方程（1） 3 2 ,8 ec ；（2）过（ 3，0）点，离心率为 3 6 e 。 1 80144 , 1 80144 2222 yxxy 或1 39 ,1 927 2222 yxxy 或 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。 1 129 , 1 129 2222 yxxy 或 （4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 1 251
5、6 , 1 2516 2222 yxxy 或 （5）已知 P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 3 54 和 3 52 ，过 P作长轴的垂线恰好过椭 圆的一个焦点。 1 10 3 5 , 1 10 3 5 2222 yxxy 或 3过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， F2为右焦点，若60 21PF F，则椭圆 的离心率为 _ 3 3 _ （四）椭圆系共焦点，相同离心率 1 椭圆 1 925 22 yx 与 )90( 1 925 22 k k y k x 的关系为（A ） A相同的焦点B。有相同的准线C。有相等的
6、长、短轴D。有相等的焦距 2、求与椭圆1 49 22 yx 有相同焦点，且经过点23 ，的椭圆标准方程。 1 1015 22 yx （五）焦点三角形4a 1.已知 1 F、 2 F为椭圆1 925 22 yx 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A、B两点。若12 22 BFAF，则AB 8。 2.已知 1 F、 2 F为椭圆 1 925 22 yx 的两个焦点，过 2 F且斜率不为0 的直线交椭圆于A、B两点，则 1 ABF的周长 是 20。 3.已知CAB的顶点B、C在椭圆1 3 2 2 y x 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上， 则CAB的周长为 34。 （六）
7、焦点三角形的面积： 1.已知点P是椭圆 1 4 2 2 y x 上的一点， 1 F、 2 F为焦点， 0 21 PFPF ，求点P到x轴的距离。 解：设 ),(yxP 则 1 4 3 2 2 22 y x yx 解得 3 3 | y，所以求点 P到x轴的距离为 3 3 | y 2.设M是椭圆 1 1625 22 yx 上的一点， 1 F、 2 F为焦点， 6 21MF F，求 21MF F的面积。 解： |2 |24 |2 4|2|)|(| |2 | cos 21 21 2 21 2 21 2 21 21 2 21 2 2 2 1 PFPF PFPFb PFPF cPFPFPFPF PFPF
8、FFPFPF 当 6 21MF F，S= )32(16 6 sin| 2 1 21 PFPF 3.已知点P是椭圆 1 925 22 yx 上的一点， 1 F、 2 F为焦点，若 2 1 21 21 PFPF PFPF ，则 21F PF的面积为 33 。 4.已知 AB为经过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点， 则 AFB的面积的最大值为cb 。 （七）焦点三角形 1.设椭圆 1 49 22 yx 的两焦点分别为 1 F和 2 F，P为椭圆上一点，求 21 PFPF 的最大值，并求此时P点的坐标。 2.椭圆 1 29 22 yx 的焦点
9、为 1 F、 2 F，点P在椭圆上， 若4 1 PF，则 2 PF2 ； 21PF F120 O 。 3.椭圆 1 49 22 yx 的焦点为 1 F、 2 F，P为其上一动点，当 21PF F为钝角时，点P的横坐标的取值范围为 ) 5 53 , 5 53 ( 。 4.P 为椭圆 1 1625 22 yx 上一点， 1 F、 2 F分别是椭圆的左、 右焦点。 （1） 若 1 PF的中点是M， 求证： 1 2 1 5PFMO； （2）若60 21PF F，求 21 PFPF的值。 解： （1）MO 为三角形PF1F2的中位线，| 2 1 5|)|2( 2 1 | 2 1 | 112 PFPFaP
10、FMO （2） 21 PFPF = 3 64 （八）与椭圆相关的轨迹方程 定义法： 1.点 M(x,y)满足 10)3()3( 2222 yxyx，求点 M 的轨迹方程。 （ 1 1625 22 xy ） 2.已知动圆P过定点)0 ,3(A，并且在定圆 64)3(: 22 yxB的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程 . 1 716 22 yx 3. 已知圆4)3( : 22 1 yxC,圆100) 3(: 22 2 yxC，动圆P与 1 C 外切，与2 C 内切，求动圆圆心 P的轨迹方 程. 解：由题12102| 21 rrPCPC 所以点P的轨迹是：以 1 C， 2 C为焦点的距离之和为
11、12 的椭圆。6, 3 ac，方程为1 2736 22 yx 4. 已知)0, 2 1 (A，B是圆4) 2 1 (: 22 yxF（F为圆心）上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P 的轨迹方程为 1 3 4 2 2 y x 5. 已知 A(0,-1),B(0,1), ABC的周长为6，则 ABC 的顶点 C的轨迹方程是 1 43 22 yx 。 直接法 6.若ABC的两个顶点坐标分别是)6,0(B和)6,0(C，另两边AB、AC的斜率的乘积是 9 4 ，顶点 A的轨迹方程 为1 3681 22 yx 。 相关点法 7.已知圆 9 22 yx， 从这个圆上任意一点P向x轴引垂线段P
12、P， 垂足为P， 点M在PP上，并且 2MPPM ， 求点 M 的轨迹。 1 9 2 2 y x 8.已知圆 1 22 yx， 从这个圆上任意一点P向 X轴引垂线段PP ， 则线段 PP 的中点 M 的轨迹方程是14 22 yx。 9.已知椭圆 1 45 2 2 2 2 yx ， A、B 分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。 1 425 )52( 22 yx 10. 一条线段 AB 的长为 a2 ，两端点分别在 x轴、y 轴上滑动，点 M 在线段 AB 上，且 2:1: MBAM ,求点M 的 轨迹方程 . 19 4 9 2 2 y x 二、直线和椭圆的位置关系
13、 (一)判断位置关系 1 当m为何值时 ,直线 mxyl :和椭圆 144169 22 yx(1)相交； (2)相切； (3)相离。 解：由 144169 22 yx mxy 消去 y 得 0144163225 22 mmxx ，判别式：)25(576 2 m 所以，当55m时直线与椭圆相交；当5m时直线与椭圆相切；当5mm或5时直线与椭圆相离。 2 若直线 2kxy 与椭圆632 22 yx有两个公共点，则实数k的取值范围为。 3 6 3 6 kk或 (二)弦长问题 1.设椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左右两个焦点分别为 1 F、 2 F，过右焦点 2 F且与x轴垂直的直线l与椭圆 C 相交，其中一个交点为 ) 1 ,2(M 。 （1）求椭圆的方程；1 24 22 yx （2）设椭圆 C 的一个顶点为B（0，-b） ，直线 2 BF交椭圆 C于另一点N，求BNF1的面积。 解：由（ 1）点 B（0， 2 ） ， )0 ,2( 2 F，直线 BF2的方程为：2yx