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1、高考高中数学基础知识归纳 第一部分集合 1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因 变量的取值？还是曲线上的点？ 2 . 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图 等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 3. (1) 元素与集合的关系： U xAxC A, U xC AxA. （2）德摩根公式：();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. （3） ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况 . （
2、4）集合 12 , n a aa的子集个数共有2 n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n1 个； 非空真子集有2n2 个. 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 第二部分函数 1映射： 注意 : 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一. 2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法； 利用均值不等式 22 22 baba ab； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等） ；利用函数有界性（ x a、xsin、xcos等） ；平方法；导数法 3复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为 a， b, 则复合函数fg
3、(x)的定义域由不等式a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b 时，求g(x) 的值域 . （2）复合函数单调性的判定： 首先将原函数)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5函数的奇偶性: 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 )(xf是奇函数)()(xfxf；)(xf是偶函数)()(xfxf . 奇函数)(xf在 0 处有定义
4、，则0)0(f 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6函数的单调性: 单调性的定义： )(xf在区间M上是增函数, 21 Mxx当 21 xx时有 12 ()()f xf x； )(xf在区间M上是减函数, 21 Mxx当 21 xx时有12 ()()f xf x ； 单调性的判定：定义法：一般要将式子)()( 21 xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以 利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7函数的周期性： (1) 周期性的定义：对定义域内
5、的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数） ，则 称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周 期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2） 三角函数的周期： 2:sinTxy； 2:cosTxy； Txy:tan； | 2 :)cos(),sin(TxAyxAy； | :tanTxy (3) 与周期有关的结论： )()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2 8基本初等函数的图像与性质： . 指数函数： ) 1, 0(aaay x ；对数函数 : ) 1, 0(logaaxy a ； 幂函数： xy（)R；正弦函数
6、 :xysin；余弦函数：xycos； （ 6）正切函数：xytan；一元二次函数：0 2 cbxax（a0） ；其它常用函数： 正比例函数：)0(kkxy；反比例函数：)0(k x k y；函数)0(a x a xy . 分数指数幂： m nm n aa； 1 m n m n a a （以上0,am nN，且1n）. .bNNa a b log；NMMN aaa logloglog； NM N M aaalogloglog；loglog m n a a n bb m . .对数的换底公式: log log log m a m N N a . 对数恒等式 : logaN aN. 9二次函数：
7、解析式：一般式：cbxaxxf 2 )(；顶点式：khxaxf 2 )()(，),(kh为顶点； 零点式：)()( 21 xxxxaxf（ a0）. 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。 二次函数cbxaxy 2 的图象的对称轴方程是 a b x 2 ，顶点坐标是 a bac a b 4 4 2 2 ， 。 10函数图象： 图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法 图象变换： 平移变换：)()(axfyxfy，)0(a左“ +”右“”； )0(,)()(kkxfyxfy上“ +”下“”； 对称变换：)(xfy )0,0
8、( )(xfy； )(xfy 0y )(xfy； ) )(xfy 0x )(xfy； )(xfy xy ( )xfy； 翻折变换： )|)(|)(xfyxfy（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去 掉） ； )|)(|)(xfyxfy（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|)(xf| 在x下面无图 象） ； 11函数图象（曲线）对称性的证明： (1) 证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称 点仍在图像上； （2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对 称中心（对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，
9、反之亦然。 注：曲线C1:f(x,y)=0关于原点（ 0,0 ）的对称曲线C2方程为： f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0关于直线x=0 的对称曲线C2方程为： f( x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0关于直线y=0 的对称曲线C2方程为： f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C2方程为： f(y, x)=0 f(a+x)=f(b x) （xR）y=f(x)图像关于直线x= 2 ba 对称； 特别地： f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a 对称 . ( )yfx的图象关于点( , )a b对称bx
10、afxaf2. 特别地：( )yf x的图象关于点( ,0)a对称xafxaf. 函数()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称 ; 函数)(xafy与函数()yf ax的图象关于直线0x对称。 12函数零点的求法： 直接法（求0)(xf的根）；图象法；二分法. (4) 零点定理：若y=f(x)在a,b上满足 f(a) f(b)0 , 则 y=f(x)在（ a,b) 内至少有一个零 点。 第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 1角度制与弧度制的互化：弧度 180， 180 1 弧度，1弧度 ) 180 ( 1857 弧长公式：Rl；扇形面积公式： 2 2 1 2 1 RlRS
11、。 2三角函数定义: 角终边上任一点（非原点）P),(yx, 设rOP |则： ,cos,sin r x r y x y tan 3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c” ） 4诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限” 5)sin(xAy对称轴：令 2 xk，得;x对称中心： )(0 ,(Zk k ； )cos( xAy对称轴：令kx，得 k x；对称中心： )(0 , 2 (Zk k ； 周期公式 : 函数sin()yAx及cos()yAx的周期 2 T (A 、 、为常 数， 且 A0). 函数xAytan的周期T (A 、 、为常数，且A0). 6同角三角函数的基本关系：x x x xxtan cos sin ; 1cossin 22 7三角函数的单调区间及对称性： sinyx的单调递增区间为2,2 22 kkkZ, 单调递减区间为 3 2,2 22 kkkZ，对称轴为 () 2 xkkZ, 对称中心为,0k()kZ.