中考中圆的最值问题.pdf

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1、会滚的几何图形里的最值 1在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 （3，0） ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 为第一象限内一点，且 AC=2 ， 设 tanBOC=m ，则 m 的取值范围是（） Am 0 BCD 2如图 BAC=60 ，半径长1 的 O 与 BAC 的两边相切，P 为 O 上一动点，以P为圆心， PA 长为半径的P 交射线 AB 、AC 于 D、E 两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为（） A3 B6 C D 第 2 题图第 3 题图第 4 题图第 5 题图 3如图， P为 O 内的一个定点，A 为 O 上的一个动点，射线AP、AO 分别与 O 交于 B、C

2、两点若 O 的半 径长为 3，OP=，则弦 BC 的最大值为（） A2 B3 CD3 4如图，扇形AOD 中， AOD=90 ，OA=6 ，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点A 和 D 重合） ，PQOD 于 Q， 点 I 为 OPQ 的内心，过O，I 和 D 三点的圆的半径为r则当点P 在弧 AD 上运动时， r 的值满足（） A0r3 Br=3 C3 r3Dr=3 5如图，已知A、B 两点的坐标分别为（2，0） 、 （0， 2） ， C 的圆心坐标为（1，0） ，半径为1若 D 是 C 上 的一个动点，线段DA 与 y 轴交于点E，则 ABE 面积的最小值是（） A2 B1 CD 6如

3、图，已知A、B 两点的坐标分别为（8，0） 、 （0， 6） ， C 的圆心坐标为（0，7） ， 半径为 5若 P 是 C 上的一个动点，线段PB 与 x 轴交于点D，则 ABD 面积的最大值 是（） A63 B31C32 D30 7如图，已知线段OA 交 O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是 O 上的一个动点，那么 OAP 的最大值是（） A90 B60 C45 D30 二填空题 8如图， E，F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF 连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 第 8 题图第 9 题

4、图第 10 题图第 11 题图 9如图，在RtABC 中， ACB=90 ，AC=4 ，BC=3 ，点 D 是平面内的一个动点，且AD=2 ，M 为 BD 的中点， 在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 10如图， ABC 中， BAC=60 ， ABC=45 ，AB=2， D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为直径画 O 分 别交 AB ，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 11如图，已知直线l 与 O 相离， OA l 于点 A，OA=10 ，OA 与 O 相交于点P，AB 与 O 相切于点B，BP 的 延长线交直线l 于点 C若 O 上存在点Q，使

5、 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则半径r 的取值范围 是： 12如图，在 ABC 中， C=90 ， AC=12，BC=5 ，经过点C 且与边 AB 相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、 Q，则 PQ 长的最小值为 第 12 题图第 13 题图第 14 题图第 15 题图 13如图， AB 是 O 的一条弦，点C 是 O 上一动点，且ACB=30 ，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线EF 与 O 交于 G、H 两点若 O 的半径为7，则 GE+FH 的最大值为 14如图，在RtAOB 中， OA=OB=3， O 的半径为1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P 作 O

6、的一条切线 PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 15在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A（13，0） ，直线 y=kx 3k+4 与 O 交于 B、C 两点， 则弦 BC 的长的最小值为 16如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径画 O，P是 O 是一 动点且 P在第一象限内，过 P 作 O 切线与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B则线段 AB 的最小值是 O A DBC E F O D C E AB 17如图， O 与正方形 ABCD 的两边 AB 、AD 相切，且DE 与 O 相切于 E 点若正方形ABCD 的周长为 28， 且

7、DE=4 ，则 sinODE= 第 17 题图第 18 题图第 19 题图 18如图所示，已知A（1，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 y=图象上的两点，动点P（x， 0）在 x 轴正半轴上运 动，当线段AP 与线段 BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 19如图，定长弦CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动（点C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中点，过点C 作 CPAB 于点 P，若 CD=3，AB=8 ， PM=l ，则 l 的最大值是 20、如图，在等腰RtABC中， C=90 ， AC=BC=4 ，D是 AB的中点，点E在 AB边上运动（点E不与点 A重合） ， 过

8、A、D、E三点作 O， O交 AC于另一点 F，在此运动变化的过程中， 线段 EF长度的最小值为 第 20 题图第 21 题图 21 、如图，线段AB=4 ，C为线段 AB上的一个动点，以AC 、BC为边作等边 ACD和等边 BCE ， O外接于 CDE ， 则 O半径的最小值为( ). A.4 B. 2 3 3 C. 3 2 2 D. 2 三解答题 22如图，在边长为1 的等边 OAB 中，以边 AB 为直径作 D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点，射线AC 交 O 于点 E，BC=a，AC=b （1）求证： AE=b+a； （2）求 a+

9、b 的最大值； （3）若 m 是关于 x 的方程： x 2+ ax=b 2+ ab 的一个根，求m 的取值范围 23已知：如图，AB 是 O 的直径，在AB 的两侧有定点C 和动点 P，AB=5 ，AC=3 点 P 在上运动（点P 不 与 A，B 重合） ，CP 交 AB 于点 D，过点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q （1）求 P的正切值； （2）当 CPAB 时，求 CD 和 CQ 的长； （3）当点 P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长 24如图，已知半径为2 的 O 与直线 l 相切于点A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线 l

10、的垂线， 垂足为 C，PC 与 O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为 x（2x4） （1）当 x=时，求弦PA、PB 的长度； （2）当 x 为何值时， PD?CD 的值最大？最大值是多少？ 25、 如图，已知直角 AOB中，直角顶点O在半径为 1 的圆心上， 斜边与圆相切， 延长 AO ， BO分别与圆交于C，D 试 求四边形ABCD 面积的最小值 2015 年 12 月 18 日王军的初中数学组卷圆的最值问题 参考答案与试题解析 一选择题（共7 小题） 1 （2014 春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 3，0） ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 为

11、第 一象限内一点，且AC=2 ，设 tanBOC=m ，则 m 的取值范围是（） Am 0 BCD 【考点】 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义 【分析】 C 在以 A 为圆心，以2 为半径的圆周上，只有当OC 与圆 A 相切（即到C 点）时， BOC 最小，根据勾 股定理求出此时的OC，求出 BOC= CAO ，根据解直角三角形求出此时的值，根据tanBOC 的增减性，即可求 出答案 【解答】 解： C 在以 A 为圆心，以2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切（即到C 点）时， BOC 最小， AC=2 ，OA=3 ，由勾股定理得：OC=， BOA= ACO=9

12、0 ， BOC+AOC=90 ， CAO+ AOC=90 ， BOC=OAC， tanBOC=tan OAC=， 随着 C 的移动， BOC 越来越大， C 在第一象限， C 不到 x 轴点， 即 BOC90 ， tanBOC， 故选 B 【点评】 本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定BOC 的变化范围是解此题的 关键，题型比较好，但是有一定的难度 2 （2013?武汉模拟）如图BAC=60 ，半径长1 的 O 与 BAC 的两边相切，P 为 O 上一动点，以P为圆心， PA 长为半径的P交射线 AB、AC 于 D、 E 两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为

13、（） A3 B6 C D 【考点】 切线的性质 【专题】 计算题 【分析】 连接 AO 并延长，与圆O 交于 P 点，当 AF 垂直于 ED 时，线段DE 长最大，设圆O 与 AB 相切于点 M， 连接 OM，PD，由对称性得到AF 为角平分线，得到FAD 为 30 度，根据切线的性质得到OM 垂直于 AD ，在直 角三角形 AOM 中，利用30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO 的长，由AO+OP 求出 AP 的长，即为圆P 的半径，由三角形AED 为等边三角形，得到DP 为角平分线，在直角三角形PFD 中，利用 30 度所对的直角边等于 斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD

14、 的长，由DE=2FD 求出 DE 的长，即为DE 的最大值 【解答】 解：连接 AO 并延长，与ED 交于 F 点，与圆O 交于 P 点，此时线段ED 最大， 连接 OM，PD，可得 F 为 ED 的中点， BAC=60 ，AE=AD ， AED 为等边三角形， AF 为角平分线，即FAD=30 ， 在 RtAOM 中， OM=1 ， OAM=30 ， OA=2 ， PD=PA=AO+OP=3 ， 在 RtPDF 中， FDP=30 ，PD=3， PF=， 根据勾股定理得：FD=， 则 DE=2FD=3 故选 D 【点评】 此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30 度直

15、角三角形的性质，熟练掌握切 线的性质是解本题的关键 3 （2014?武汉模拟）如图，P 为 O 内的一个定点，A 为 O 上的一个动点，射线AP、AO 分别与 O 交于 B、C 两点若 O 的半径长为3，OP=，则弦 BC 的最大值为（） A2 B3 CD3 【考点】 垂径定理；三角形中位线定理 【分析】 当 OPAB 时，弦 BC 最长，根据三角形相似可以确定答案 【解答】 解：当 OPAC 时，弦 BC 最长， 又 AC 是直径， CBA=90 ，所以 APO ABC ， ， 又 OP=， BC=2 故答案选 A 【点评】 本题考查了直径所对的圆周角是900这一性质的应用，以及如何取线段最

16、值问题的做法，用好三角形相似 是解答本题的关键 4 （2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD 中， AOD=90 ，OA=6 ，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点A 和 D 重合） ，PQOD 于 Q，点 I 为 OPQ 的内心，过O，I 和 D 三点的圆的半径为r则当点P 在弧 AD 上运动时， r 的值满足（） A0r3 Br=3 C3 r3Dr=3 【考点】 三角形的内切圆与内心 【分析】 连 OI， PI， DI ， 由OPH 的内心为I， 可得到 PIO=180 IPO IOP=180 （ HOP+OPH） =135 ， 并且易证 OPI ODI ，得到 DIO= PIO=1

17、35 ，所以点I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为135 的一段劣弧 上；过 D、I、O 三点作 O，如图，连 OD，OO，在优弧 AO 取点 P，连 PD，P O，可得 DPO=180 135 =45 ， 得 DO O=90 ，OO=3 【解答】 解：如图，连OI，PI，DI ， OPH 的内心为I， IOP=IOD ， IPO=IPH， PIO=180 IPO IOP=180 （ HOP+OPH） ， 而 PHOD，即 PHO=90 ， PIO=180 （ HOP+ OPH）=180 （180 90 ）=135 ， 在OPI 和ODI 中， ， OPI ODI （SAS） ， DIO=

18、 PIO=135 ， 所以点 I 在以 OD 为弦，并且所对的圆周角为135 的一段劣弧上； 过 D、I、O 三点作 O ，如图，连OD，OO， 在优弧 DO 取点 P ，连 P D，PO， DIO=135 ， DP O=180 135 =45 ， DO O=90 ，而 OD=6 ， OO =DO =3， r 的值为 3 故选： D 【点评】 本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键 5 （ 2010?苏州）如图，已知A、B 两点的坐标分别为（2，0） 、 （0，2） ， C 的圆心坐标为（1，0） ，半径为 1若 D 是 C 上的一个动点，线段D

19、A 与 y 轴交于点E，则 ABE 面积的最小值是（） A2 B1 CD 【考点】 切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质 【专题】 压轴题；动点型 【分析】由于 OA 的长为定值， 若 ABE 的面积最小，则 BE 的长最短，此时 AD 与 O 相切； 可连接 CD， 在 RtADC 中，由勾股定理求得AD 的长，即可得到ADC 的面积；易证得AEO ACD ，根据相似三角形的面积比等于 相似比的平方，可求出AOE 的面积，进而可得出AOB 和AOE 的面积差，由此得解 【解答】 解：若 ABE 的面积最小，则AD 与 C 相切，连接CD，则 CDAD ； Rt A

20、CD 中， CD=1，AC=OC+OA=3 ； 由勾股定理，得：AD=2； SACD= AD ?CD=； 易证得 AOE ADC ， =（） 2=（ ） 2= ， 即 SAOE= SADC=； SABE=SAOBSAOE= 2 2=2； 另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！ 故选： C 【点评】 此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出BE 面 积最小时 AD 与 C 的位置关系是解答此题的关键 6 （2013?市中区模拟）如图，已知A、B 两点的坐标分别为（8，0） 、 （0， 6） ， C 的圆心坐标为（0，7） ，半径 为 5若 P是

21、C 上的一个动点，线段PB 与 x 轴交于点D，则 ABD 面积的最大值是（） A63 B31C32 D30 【考点】 一次函数综合题 【分析】 当直线 BP 与圆相切时， ABD 的面积最大，易证OBD PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即 可求得 OD 的长，则AD 的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解 【解答】 解：当直线BP 与圆相切时，ABD 的面积最大 连接 PC，则 CPB=90 ， 在直角 BCP 中， BP=12 CPB=90 DOB= CPB=90 又 DBP=CBP， OBD PBC， =， OD=PC= AD=OD+OA=+8=， SABD= AD ?O

22、B= 6=31 故选 B 【点评】 本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解ADB 的面积最大的条件是关键 7 （ 2013?枣庄）如图，已知线段OA 交 O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是 O 上的一个动点，那么OAP 的最大值 是（） A90 B60 C45 D30 【考点】 切线的性质；含30 度角的直角三角形 【分析】 当 AP 与 O 相切时， OAP 有最大值，连结OP，根据切线的性质得OPAP，由 OB=AB 得 OA=2OP ， 然后根据含30 度的直角三角形三边的关系即可得到此时OAP 的度数 【解答】 解：当 AP 与 O 相切时， OAP 有最大值，

23、连结OP，如图， 则 OPAP， OB=AB ， OA=2OP ， PAO=30 故选 D 【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了含30 度的直角三角形三边的关系 二填空题（共12 小题） 8 （2013?武汉）如图， E，F 是正方形ABCD 的边 AD 上两个动点，满足AE=DF 连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是1 【考点】 正方形的性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据正方形的性质可得AB=AD=CD ， BAD= CDA ， ADG= CDG ，然后利用 “ 边角边 ” 证明 ABE

24、 和DCF 全等， 根据全等三角形对应角相等可得1=2，利用 “ SAS” 证明 ADG 和 CDG 全等， 根据全等三角形 对应角相等可得2=3，从而得到 1=3，然后求出 AHB=90 ，取 AB 的中点 O，连接 OH、OD，根据直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1 ，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知 当 O、D、H 三点共线时， DH 的长度最小 【解答】 解：在正方形ABCD 中， AB=AD=CD ， BAD= CDA ， ADG= CDG， 在ABE 和 DCF 中， ， ABE DCF （SAS） ， 1=2， 在ADG 和 CDG 中

25、， ， ADG CDG（SAS） ， 2=3， 1=3， BAH+ 3=BAD=90 ， 1+BAH=90 ， AHB=180 90 =90 ， 取 AB 的中点 O，连接 OH、OD， 则 OH=AO=AB=1 ， 在 RtAOD 中， OD=， 根据三角形的三边关系，OH+DH OD， 当 O、D、H 三点共线时， DH 的长度最小， 最小值 =ODOH=1 （解法二：可以理解为点H 是在 RtAHB ，AB 直径的半圆上运动当O、H、D 三点共线时， DH 长度最小） 故答案为：1 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 三

26、角形的三边关系，确定出DH 最小时点H 的位置是解题关键，也是本题的难点 9 （2015?黄陂区校级模拟）如图，在RtABC 中， ACB=90 ， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2 ，M 为 BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是CM 【考点】 轨迹 【分析】 作 AB 的中点 E，连接 EM 、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理 求得 CE 和 EM 的长，然后在CEM 中根据三边关系即可求解 【解答】 解：作 AB 的中点 E，连接 EM、 CE 在直角 ABC 中， AB=5， E 是直角 ABC 斜

27、边 AB 上的中点， CE=AB= M 是 BD 的中点， E 是 AB 的中点， ME=AD=1 在 CEM 中，1 CM+1，即CM 故答案是：CM 【点评】 本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答 10 （2012?宁波）如图，ABC 中， BAC=60 ， ABC=45 ，AB=2，D 是线段 BC 上的一个动点，以AD 为 直径画 O 分别交 AB， AC 于 E，F，连接 EF，则线段EF 长度的最小值为 【考点】 垂径定理；圆周角定理；解直角三角形 【专题】 压轴题 【分析】 由垂线段的性质可知，当AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径AD

28、最短，此时线段 EF=2EH=20E ?sinEOH=20E ?sin60 ，因此当半径OE 最短时， EF 最短，连接OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足 为 H，在 RtADB 中，解直角三角形求直径AD ，由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60 ，在 Rt EOH 中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH 【解答】 解：由垂线段的性质可知，当AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径AD 最短， 如图，连接OE，OF，过 O 点作 OH EF，垂足为H， 在 RtADB 中， ABC=45 ，AB=2， AD=BD=2 ，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知EOH=

29、EOF= BAC=60 ， 在 RtEOH 中， EH=OE ?sinEOH=1 =， 由垂径定理可知EF=2EH= 故答案为： 【点评】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用关键是根据运动变化，找出满足条件的最 小圆，再解直角三角形 11 （2015?峨眉山市一模）如图，已知直线l 与 O 相离， OAl 于点 A，OA=10，OA 与 O 相交于点 P，AB 与 O 相切于点B，BP 的延长线交直线l 于点 C若 O 上存在点Q，使 QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则半 径 r 的取值范围是：2 r10 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】首先证明 AB=AC

30、， 再根据已知得出Q 在 AC 的垂直平分线上， 作出线段 AC 的垂直平分线MN ， 作 OEMN ， 求出 OEr，求出 r 范围即可 【解答】 解：连接 OB如图 1， AB 切 O 于 B，OA AC ， OBA= OAC=90 ， OBP+ABP=90 ， ACP+ APC=90 ， OP=OB， OBP=OPB， OPB=APC， ACP= ABC ， AB=AC ， 作出线段 AC 的垂直平分线MN ，作 OEMN ，如图 2， OE=AC=AB=， 又圆 O 与直线 MN 有交点， OE= r， 2r， 即： 100 r2 4r2， r2 20， r 2 OA=10 ，直线 l

31、 与 O 相离， r10， 2 r10 故答案为： 2 r10 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位 置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度 12 （2013?长春模拟）如图，在ABC 中， C=90 ，AC=12 ，BC=5 ，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P、Q，则 PQ 长的最小值为 【考点】 切线的性质；垂线段最短；勾股定理 【分析】 过 C 作 CD AB 于 D，在 ABC 中，由勾股定理求出AB=13 ，由三角形面积公式求出CD

32、=，当 CD 为 过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是，求出 PQ 为圆的直径即可 【解答】 解：过 C 作 CDAB 于 D， 在ABC 中， C=90 ，AC=12 ，BC=5 ，由勾股定理得：AB=13 ， 由三角形面积公式得：S=AC BC=AB CD， CD=， 当 CD 为过 C 点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是， BCA=90 ， PQ 为圆的直径， 即此时 PQ 的长是， 故答案为： 【点评】 本题考查了勾股定理，三角形面积，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出圆的直径 13 （2013?陕西）如图，AB 是 O 的一条弦，点C 是 O 上一动点，且AC

33、B=30 ，点 E、F 分别是 AC、BC 的 中点，直线EF 与 O 交于 G、H 两点若 O 的半径为7，则 GE+FH 的最大值为10.5 【考点】 圆周角定理；三角形中位线定理 【专题】 压轴题 【分析】 由点 E、F 分别是 AC 、BC 的中点，根据三角形中位线定理得出EF=AB=3.5 为定值，则GE+FH=GH EF=GH 3.5， 所以当 GH 取最大值时， GE+FH 有最大值 而直径是圆中最长的弦，故当 GH 为 O 的直径时， GE+FH 有最大值14 3.5=10.5 【解答】 解：当 GH 为 O 的直径时， GE+FH 有最大值 当 GH 为直径时， E点与 O

34、点重合， AC 也是直径， AC=14 ABC 是直径上的圆周角， ABC=90 ， C=30 ， AB=AC=7 点 E、F 分别为 AC 、BC 的中点， EF=AB=3.5 ， GE+FH=GH EF=143.5=10.5 故答案为： 10.5 【点评】 本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度确定GH 的位置是解题的关键 14 （2013?咸宁）如图，在RtAOB 中， OA=OB=3， O 的半径为1，点 P 是 AB 边上的动点，过点P作 O 的一条切线PQ（点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为2 【考点】 切线的性质；等腰直角三角形 【专题】 压轴题 【分

35、析】 首先连接 OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP 2OQ2，可得当 OPAB 时，即线段 PQ 最短，然后由勾股 定理即可求得答案 【解答】 解：连接 OP、OQ PQ 是 O 的切线， OQPQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2OQ2， 当 PO AB 时，线段PQ 最短， 在 RtAOB 中， OA=OB=3， AB=OA=6 ， OP=3， PQ=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法， 注意得到当POAB 时，线段PQ 最短是关键 15 （2013?内江）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆

36、过点A（ 13，0） ，直线 y=kx3k+4 与 O 交于 B、C 两点，则弦BC 的长的最小值为24 【考点】 一次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 根据直线y=kx3k+4 必过点 D（3，4） ，求出最短的弦CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出OD 的长，再根据以原点O 为圆心的圆过点A（13，0） ，求出 OB 的长，再利用勾股定理求出BD ，即可得出答案 【解答】 解：直线y=kx 3k+4=k（x3）+4， k（x3）=y4， k 有无数个值， x3=0，y4=0，解得 x=3，y=4， 直线必过点D（3，4） ， 最短的弦CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，

37、 点 D 的坐标是（ 3， 4） ， OD=5， 以原点 O 为圆心的圆过点A（13，0） ， 圆的半径为13， OB=13， BD=12 ， BC 的长的最小值为24； 故答案为： 24 【点评】 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC 最短 时的位置 16 （2011?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心， 2 为半径画 O，P是 O 是一动 点且 P 在第一象限内，过P作 O 切线与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B则线段AB 的最小值是4 【考点】 切线的性质；坐标与图形性质 【分析】 如图，设 AB 的中

38、点为 C，连接 OP，由于 AB 是圆的切线，故OPC 是直角三角形，有OPOC，所以当 OC 与 OP 重合时， OC 最短； 【解答】 解： （1）线段 AB 长度的最小值为4， 理由如下： 连接 OP， AB 切 O 于 P， OPAB ， 取 AB 的中点 C， AB=2OC ； 当 OC=OP 时， OC 最短， 即 AB 最短， 此时 AB=4 故答案为： 4 【点评】 本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目 17 （2015 秋?江阴市校级期中）如图，O 与正方形ABCD 的两边 AB、AD 相切，且DE 与 O 相切于 E 点若 正方形 ABCD 的周长

39、为 28，且 DE=4，则 sinODE= 【考点】 切线的性质；正方形的性质 【分析】 先证得四边形ANOM 是正方形，求出AM 长，根据勾股定理求得OD 的长，根据解直角三角形求出即可 【解答】 解：设切线AD 的切点为M，切线 AB 的切点为N，连接 OM、ON、OE， 四边形 ABCD 是正方形，正方形ABCD 的周长为28， AD=AB=7 ， A=90 ， 圆 O 与正方形ABCD 的两边 AB 、AD 相切， OMA= ONA=90 = A， OM=ON ， 四边形 ANOM是正方形， AD 和 DE 与圆 O 相切， OEDE，DM=DE=4 ， AM=7 4=3， OM=ON

40、=OE=3 ， 在 RTODM 中， OD=5， OE=OM=5 ， sinODE= 故答案为 【点评】 本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM 长和得出 DE=DM 18 （2014 春?兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 y=图象上的两点，动点P （x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段 BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（3， 0） 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系 【专题】 计算题 【分析】 先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A 点坐标

41、为（ 1，1） ，B 点坐标为（ 2，） ，再利用待定系数 法确定直线AB 的解析式为y=x+，然后根据三角形三边的关系得到|PA PB| AB，当点 P 为直线 AB 与 x 轴 的交点时，取等号，则线段AP 与线段 BP 之差达到最大，然后确定直线y=x+与 x 轴的交点坐标即可 【解答】 解：把 A（1，y1） ，B（2，y2）代入 y=得 y1=1，y2= ，则 A 点坐标为（ 1，1） ，B 点坐标为（ 2，） ， 设直线 AB 的解析式为y=kx+b ， 把 A（1， 1） ，B（2，）代入得，解得， 所以直线 AB 的解析式为y=x+， 因为 |PAPB| AB， 所以当点 P

42、为直线 AB 与 x 轴的交点时，线段AP 与线段 BP 之差达到最大， 把 y=0 代入 y=x+得x+=0，解得 x=3， 所以 P 点坐标为（ 3，0） 故答案为（ 3，0） 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数， k 0）的图象是双曲线，图象上 的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值k，即 xy=k 19 （2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动（点C、D 与点 A、B 不重合），M 是 CD 的中点，过点C 作 CP AB 于点 P，若 CD=3，AB=8 ，PM=l ，则 l 的最大值是4 【考点】 垂径定理

43、；三角形中位线定理 【分析】 当 CDAB 时， PM 长最大，连接OM ，OC，得出矩形CPOM ，推出 PM=OC ，求出 OC 长即可 【解答】 解：法 ：如图：当CDAB 时， PM 长最大，连接OM，OC， CDAB ，CP CD， CPAB ， M 为 CD 中点， OM 过 O， OMCD， OMC= PCD=CPO=90 ， 四边形 CPOM 是矩形， PM=OC ， O 直径 AB=8 ， 半径 OC=4， 即 PM=4 ， 故答案为： 4 法 ：连接 CO，MO，根据 CPO=CM0=90 ，所以 C，M，O，P，四点共圆，且CO 为直径连接PM，则 PM 为 E 的一条弦

44、，当PM 为直径时PM 最大，所以PM=CO=4 时 PM 最大即PMmax=4 【点评】 本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD 的位置，题 目比较好，但是有一定的难度 三解答题（共5 小题） 20 （2013?武汉模拟）如图，在边长为1 的等边 OAB 中，以边 AB 为直径作 D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O，C 为半圆 AB 上不与 A、B 重合的一动点，射线AC 交 O 于点 E，BC=a，AC=b （1）求证： AE=b+a； （2）求 a+b 的最大值； （3）若 m 是关于 x 的方程： x 2+ ax=b 2+ ab 的一

45、个根，求m 的取值范围 【考点】 圆的综合题 【分析】（ 1）首先连接BE，由 OAB 为等边三角形，可得AOB=60 ，又由圆周角定理，可求得E 的度数，又 由 AB 为 D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a； （2）首先过点C 作 CHAB 于 H，在 RtABC 中， BC=a，AC=b ，AB=1 ，可得（ a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH 1+2AD=1+AB=2 ，即可求得答案； （3）由 x2+ ax=b 2+ ab，可得（ xb） （x+b+a）=0，则可求得x 的值，继而可求得m 的取值范围 【解答】 解： （1）连接

46、 BE， OAB 为等边三角形， AOB=60 ， AEB=30 ， AB 为直径， ACB= BCE=90 ， BC=a， BE=2a，CE=a， AC=b ， AE=b+a； （2）过点 C 作 CHAB 于 H，在 RtABC 中， BC=a，AC=b ，AB=1 ， a 2+b2=1， SABC= AC ?BC=AB ?CH， AC?BC=AB ?CH， （ a+b） 2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH 1+2AD=1+AB=2 ， a+b， 故 a+b 的最大值为， （3） x 2+ ax=b 2+ ab， x2b2+ axab=0， （ x+b） （xb）+a（ xb）=0， （ xb） （x+b+a）=0， x=b 或 x=（