2019广东高考数学(理科)试题及详解.pdf

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1、2019 广东高考数学（理科）试题及详解 参考公式：台体的体积公式 1122 1 3 VSS SSh, 其中 12 ,S S分别是台体的上、下底 面积 ,h表示台体的高 . 一、选择题：本大题共8 小题 , 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1设集合 2 |20,Mx xxxR, 2 |20,Nx xxxR, 则MN( ) A .0 B 0,2 C 2,0 D 2,0,2 【解析】 D；易得2,0M,0,2N, 所以MN2,0,2, 故选 D 2定义域为R的四个函数 3 yx,2 x y, 2 1yx, 2sinyx 中 , 奇函数的个

2、数是 ( ) A .4 B 3 C 2 D 1 【解析】 C；考查基本初等函数和奇函数的概念, 是奇函数的为 3 yx与 2sinyx, 故选 C 3若复数 z满足24izi, 则在复平面内 , z对应的点的坐标是 ( ) A .2,4B2, 4C4, 2D4,2 【解析】 C； 24 42 i zi i 对应的点的坐标是4, 2, 故选 C 4已知离散型随机变量X的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 则X的数学期望EX ( ) A . 3 2 B2C 5 2 D3 【解析】 A； 331153 123 51010102 EX , 故选 A 5某四棱台的三视图如图所示, 则该四

3、棱台的体积是 ( ) A .4B 14 3 C 16 3 D 6 【解析】 B；由三视图可知, 该四棱台的上下底面边长分别为 1和2的正方形 , 高为2, 故 2222114 11222 33 V, 故选 B 6设 ,m n是两条不同的直线 ,是两个不同的平面, 下列命题中准确的是( ) A . 若 ,m,n, 则mnB若/,m,n, 则/mn C若mn, m,n, 则 D若m, /mn,/n, 则 【解析】 D；ABC是典型错误命题, 选 D 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第 5 题图 是 否 输入 1,1is 输出 s 结束 开始 in 第 11 题图 n 1sis 1ii

4、7已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F, 离心率等于 3 2 , 在双曲线C的方程是 ( ) A . 22 1 45 xy B 22 1 45 xy C 22 1 25 xy D 22 1 25 xy 【解析】 B；依题意3c, 3 2 e, 所以2a, 从而 2 4a, 222 5bca, 故选 B 8设整数4n, 集合1,2,3,Xn. 令集合 , ,| , ,Sx y zx y zXxyz yzx zxy且三条件恰有一个成立 若, ,x y z和,z w x都在S中, 则下列选项准确的是( ) A ., ,y z wS, ,x y wS B , ,y z wS, ,x y wS C

5、, ,y z wS, ,x y wSD, ,y z wS, ,x y wS 【解析】B；特殊值法,不妨令2,3,4xyz,1w,则 , ,3,4,1y z wS, ,2,3,1x y wS, 故选 B 如果利用直接法：因为, ,x y zS，,z w xS，所以 xyz ， yzx ， zxy 三个式子中恰有一个成立；zwx，wxz，xzw 三个式子中恰有一个成立. 配对后只有四种情况：第一种： 成立， 此时 wxyz ， 于是, ,y z wS，, ,x y wS； 第二种：成立，此时 xyzw ， 于是, ,y z wS， , ,x y wS；第三种：成立，此时yzwx，于是, ,y z

6、wS，, ,x y wS； 第四种：成立，此时zwxy ，于是, ,y z wS，, ,x y wS. 综合上述四种 情况，可得, ,y z wS，, ,x y wS. 二、填空题：本题共7 小题，考生作答6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ( 一) 必做题 (913 题) 9不等式 2 20xx的解集为 _ 【解析】2,1；易得不等式 2 20xx的解集为2,1. 10若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于 x轴, 则k _. 【解析】1；求导得 1 yk x , 依题意10k, 所以1k. 11执行如图所示的程序框图, 若输入n的值为4, 则输出s的值为 _. 【解析】7；第一次循

7、环后： 1,2si ；第二次循环后： 2,3si ； 第三次循环后： 4,4si ；第四次循环后： 7,5si ；故输出7. 12. 在等差数列 na中, 已知38 10aa, 则 57 3aa_. x y 4 4 1 O . A E D C B O 第 15 题图 【解析】20； 依题意 1 2910ad, 所以 57111 334641820aaadadad. 或： 5738 3220aaaa 13. 给定区域D： 44 4 0 xy xy x , 令点集 000000,|,TxyD xyZxy 是zxy在D上取得最大值或最小值的点, 则T中的点共确定_ 条不同的直线. 【解析】6；画出可

8、行域如图所示, 其中zxy取得最小值时的整点为0,1, 取得最大值 时的整点为 0,4 , 1,3 , 2,2 , 3,1 及 4,0 共5个整点 . 故可确定516条不同 的直线 . （二）选做题（ 14、15 题, 考生只能从中选做一题, 两题全答的 , 只计前一题的得 分） 14. ( 坐标系与参数方程选讲选做题) 已知曲线C的参数方程为 2 cos 2 sin xt yt (t为参数 ),C 在点1,1处的切线为l, 以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则l的 极坐标方程为_. 【解析】sin2 4 ； 曲线C的普通方程为 22 2xy,其在点1,1处的切线l的 方程为

9、2xy, 对应的极坐标方程为cossin2, 即sin2 4 . 15. ( 几何证明选讲选做题) 如图 ,AB是圆O的直径 , 点C在圆O上, 延长BC到D使BCCD, 过C作圆O的切线交AD于E. 若 6AB,2ED,则BC_. 【解析】 2 3 ；依题意易知ABCCDE, 所以 ABBC CDDE , 又 BCCD, 所以 2 12BCAB DE, 从而2 3BC . 三、解答题：本大题共6 小题, 满分 80 分, 解答须写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . 16（本小题满分 12 分） 已知函数( )2 cos 12 f xx ,xR. ( ) 求 6 f 的值； () 若 3 c

10、os 5 , 3 ,2 2 , 求2 3 f 【解析】 ( )2 cos2 cos2 cos1 661244 f ； 179 2 0 1 5 30 第 17 题图 ( ) 22 cos 22 cos 2cos2sin2 33124 f 因为 3 cos 5 , 3 ,2 2 , 所以 4 sin 5 , 所以 24 sin 22sincos 25 , 227 cos2cossin 25 所以2 3 fcos2sin 2 72417 252525 . 17（本小题满分 12 分） 某车间共有12名工人 , 随机抽取6名, 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示, 其中 茎为十位数 , 叶为个位数

11、. ( ) 根据茎叶图计算样本均值； ( ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人； ( ) 从该车间12名工人中 , 任取2人, 求恰有1名优秀 工人的概率 . 【解析】 ( ) 样本均值为 171920212530132 22 66 ； ( ) 由 ( ) 知样本中优秀工人占的比例为 21 63 , 故推断该车间12名工人中有 1 124 3 名优秀工人 . ( ) 设 事 件A： 从 该 车 间12名 工 人 中 , 任 取2人 , 恰 有1名 优 秀 工 人 , 则 P A 11 48 2 12 C C C 16 33 . 18（

12、本小题满分 14 分） 如图1, 在等腰直角三角形ABC中 ,90A,6BC,D E分别是,AC AB上的 点,2CDBE, O为BC的中点 . 将ADE沿DE折起 , 得到如图2 所示的四棱锥ABCDE, 其中 3A O. . C O B D E A C D O B E A 图 1 图 2 C D O B E A H C D O x E A 向量法图 y z B ( ) 证明：A O平面BCDE； ( ) 求二面角ACDB的平面角的余弦值. 【解析】 ( ) 在图 1 中, 易得3,3 2,2 2OCACAD 连结,OD OE, 在OCD中, 由余弦定理可得 22 2cos455ODOCCD

13、OC CD 由翻折不变性可知2 2A D, 所以 222 A OODA D, 所以A OOD, 理可证A OOE, 又ODOEO, 所以A O平面BCDE. ( ) 传统法 ：过O作OHCD交CD的延长线于H, 连结A H, 因为A O平面BCDE, 所以A HCD, 所以A HO为二面角ACDB的平面角 . 结合图 1 可知 ,H为AC中点 , 故 3 2 2 OH, 从而 2230 2 A HOHOA 所以 15 cos 5 OH A HO A H , 所以二面角ACDB的平面角的余弦值为 15 5 . 向量法 ：以O点为原点 , 建立空间直角坐标系Oxyz如图所示 , 则 0,0,3A,

14、0, 3,0C,1, 2,0D 所以 0,3,3CA,1,2,3DA 设, ,nx y z为平面A CD的法向量 , 则 0 0 n CA n DA , 即 330 230 yz xyz , 解得 3 yx zx , 令 1x , 得1, 1,3n 由( ) 知, 0,0,3OA为平面CDB的一个法向量, 所以 315 cos, 535 n OA n OA n OA , 即二面角ACDB的平面角的余弦 值为 15 5 . 19（本小题满分 14 分） 设数列 n a的前n项和为 n S. 已知 1 1a, 2 1 212 33 n n S ann n , * nN. ( ) 求 2 a的值；

15、( ) 求数列 n a的通项公式； ( ) 证明：对一切正整数n, 有 12 1117 4 n aaa . 【解析】 ( ) 依题意 , 12 12 21 33 Sa, 又 11 1Sa, 所以 2 4a； () 当2n时, 32 1 12 2 33 nn Snannn, 32 1 12 21111 33 nn Snannn 两式相减得 2 1 12 2133121 33 nnn ananannn 整理得 1 11 nn nanan n, 即 1 1 1 nn aa nn , 又 21 1 21 aa 故数列 n a n 是首项为 1 1 1 a , 公差为1的等差数列 , 所以111 n a

16、 nn n , 所以 2 n an. () 当1n时, 1 17 1 4a ；当2n时, 12 11157 1 444aa ； 当3n时, 2 11111 11 n annnnn , 此时 222 12 11111111111111 11 434423341 n aaannn 111717 1 4244nn 综上 , 对一切正整数 n, 有 12 1117 4 n aaa . 20（本小题满分 14 分） 已知抛物线C的顶点为原点, 其焦点0,0Fcc到直线l：20xy的距离为 3 2 2 . 设P为直线 l上的点 , 过点P作抛物线C的两条切线,PA PB, 其中,A B为切点 . ( )

17、求抛物线C的方程； ( ) 当点 00 ,P x y为直线l上的定点时 , 求直线AB的方程； ( ) 当点P在直线l上移动时 , 求AFBF的最小值 . 【解析】 ( ) 依题意 , 设抛物线C的方程为 2 4xcy, 由 02 3 2 2 2 c 结合0c, 解得1c. 所以抛物线C的方程为 2 4xy. () 抛物线C的方程为 2 4xy, 即 21 4 yx , 求导得 1 2 yx 设 11 ,A x y, 22 ,B xy( 其 中 22 12 12 , 44 xx yy), 则 切 线,P A PB的 斜 率 分 别 为 1 1 2 x, 2 1 2 x, 所以切线PA的方程为

18、1 11 2 x yyxx, 即 2 11 1 22 xx yxy, 即 11 220x xyy 同理可得切线PB的方程为 22 220x xyy 因为切线,PA PB均过点 00 ,P xy, 所以 1001 220x xyy, 2002 220x xyy 所以 1122 ,x yxy为方程 00 220x xyy的两组解 . 所以直线AB的方程为 00 220x xyy. ( ) 由抛物线定义可知 1 1AFy, 2 1BFy, 所以 121212 111AFBFyyy yyy 联立方程 00 2 220 4 x xyy xy , 消去x整理得 222 00020yyxyy 由一元二次方程

19、根与系数的关系可得 2 1200 2yyxy, 2 120 y yy 所以 22 1212000 121AFBFy yyyyxy 又点 00 ,P xy在直线l上, 所以 00 2xy, 所以 2 222 000000 19 212252 22 yxyyyy 所以当 0 1 2 y时, AFBF取得最小值 , 且最小值为 9 2 . 21（本小题满分 14 分） 设函数 2 1 x fxxekx( 其中kR). ( ) 当1k时, 求函数fx的单调区间； ( ) 当 1 ,1 2 k 时, 求函数fx在0,k上的最大值M. 【解析】 ( ) 当1k时, 2 1 x fxxex,1222 xxx

20、x fxexexxexx e 令0fx, 得 1 0x, 2 ln 2x 当x变化时 ,fxfx的变化如下表： x,000,ln 2ln 2ln 2, fx 00 fx 极大值极小值 右表可知 , 函数fx的递减区间为0,ln 2, 递增区间为,0,ln 2,. ()1222 xxxx fxexekxxekxx ek , 令0fx, 得 1 0x, 2 ln 2xk, 令ln 2g kkk, 则 11 10 k gk kk , 所以g k在 1 ,1 2 上递增 , 所以ln 2 1ln 2ln0g ke, 从而ln 2kk, 所以ln 20,kk 所以当 0,ln 2xk时,0fx；当ln

21、2,xk时,0fx； 所以 3 max0 ,max1,1 k Mffkkek 令 3 11 k h kkek, 则3 k h kk ek, 令3 k kek, 则330 k kee 所以k在 1 ,1 2 上递减 , 而 13 130 22 ee 所以存有 0 1 ,1 2 x 使得 0 0x, 且当 0 1 , 2 kx 时 ,0k, 当 0,1 kx时 ,0k, 所以k在 0 1 , 2 x 上单调递增 , 在 0,1 x上单调递减 . 因为 117 0 228 he ,10h, 所以0h k在 1 ,1 2 上恒成立 , 当且仅当1k时取得“”. 综上 , 函数fx在0,k上的最大值 3 1 k Mkek.