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1、 绝密 启用前 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 文科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继 部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答
2、案D B B A A B D B D C B C 二、填空题 131714 5 3 15 1 , 8 16 2 ,0 5 三、解答题 17解：（1）因为 tantan 2(tantan ) coscos AB AB BA ， 所以 sinsinsinsinB 2 coscoscoscoscoscos ABA ABABAB 1 分 化简得 2 sincoscossinsinsinABABAB2分 即 2sinsinsinABAB3 分 因在ABC中，ABC，则 sinsinsinABCC4分 从而 sinsin2sinABC5分 由正弦定理，得2abc 所以 =2 ab c 6 分 （2）由（1
3、）知 2 ab c， 且2c，所以4ab 7 分 因为= 3 C，所以 2 2 222 2 cos 22 ababcabc C abab 9 分 即 122 cos 32 ab ab 所以 4ab10 分 所以 11 sin4 sin3 223 ABC SabC 所以ABC的面积为 312 分 18 （1）证明： 取AD的中点O，连结OP，OB，BD， 因为底面ABCD为菱形， 60BAD ， 所以 ADABBD 1 分 因为O为AD的中点，所以BOAD 2 分 在PAD中，PA PD，O为AD的中点， 所以POAD 3 分 因为BOPOO，所以 AD 平面POB 4 分 因为 PB 平面 P
4、 ，所以 AD 5 分 （2）解法 1：在Rt PAD中，2AD ，所以1PO D C BA P O 因为底面ABCD是边长为2 的菱形， 60BAD ，所以 3BO 6 分 在PBO中， 1PO ， 3BO ， 2PBBC ， 因为 222 POBOPB ，所以 P 7 分 【 6-7 分段另证 ：在 APD中，90APD ，O为AD的中点，所以 1 2 POADAO 在 BOP和BOA中，因为POAO，PBADAB，BOBO，所以 BOP BOA 所以 90BOPBOA 所以 OPOB 】 由（ 1）有POAD，且ADBOO，AD平面ABCD，BO平面ABCD， 所以PO平面 A8 分 在
5、PBC中，由（ 1）证得 ADPB，且/ /BCAD，所以BCPB 因为2PBBC， 所以2 PBC S 9 分 在 ABC中， 2ABBC，120ABC， 所以 1 sin3 2 ABC SABBCABC 10 分 设点 A到平面PBC的距离为h， 因为 A PBCPABC VV ， 即 11 33 PBCABC ShSPO 11 分 所以 3 13 22 ABC PBC SPO h S 所以点 A 到平面PBC的距离为 3 2 12 分 解法 2：因为 / /ADBC，BC 平面PBC，AD平面PBC， 所以 / /AD 平面PBC 所以点 A到平面PBC 的距离等于点 O到平面PBC的距
6、离 6 分 过点O作OHPB于点H 7 分 由（ 1）证得 AD 平面POB，且/ /ADBC， 所以BC平面POB 因为OH平面POB，所以BCOH 因为PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC， 所以OH平面PBC8 分 在Rt PAD中，2AD，所以1PO 因为底面ABCD是边长为2 的菱形， 60BAD ，所以 3BO 9 分 在PBO中， 1PO ， 3BO ， 2PBBC ， 因为 222 POBOPB ，所以POBO 10 分 【 9-10 分段另证 ：在 APD中，90APD ，O为AD的中点，所以 1 2 POADAO 在 BOP和BOA中，因为POAO，PBADAB，BO
7、BO，所以 BOP BOA 所以 90BOPBOA 所以 OPOB 】 在PBO中，根据等面积关系得PB OHPO OB 11 分 所以 133 22 POOB OH PB 所以点 A 到平面PBC的距离为 3 2 12 分 19解：（ 1）根据上表中的样本数据及其散点图： H O P AB C D （） 26273941495356586061 47 10 x 2 分 （） r 1 22 22 11 n ii i nn ii ii x ynxy xn xyn y 22 13527.8104727 2363810477759.61027 3 分 13527.812690 23638220907
8、759.67290 837.8 1548469.6 4 分 8378 6434 2935 5 分 因为436.56，293554.18， 所以 0r6 分 由 样 本 相 关 系 数0.98r， 可 以 推 断 人 体 脂 肪 含 量 和 年 龄 的 相 关 程 度 很 强7 分 （2）因为回归方程为 ? ?1.56ybx，即? 1.56 a 所以 ?271.56 ? 0.54 47 ya b x 【或利用 1 2 1 ? n ii i n i i xxyy b xx 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y xn x 837.8 0.54 1548 】10 分 所以y关于x的
9、线性回归方程为?0.541.56yx 将 50x 代入线性回归方程得 ?0.54501.5628.5y11 分 所以根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量为 28.56%12 分 【结论没写28.56%扣 1 分】 20解：（1）设,Mx y， 00 ,P xy，则点Q的坐标为 0,0 x 因为2PMMQ， 所以 00 ,2xx，1 分 即 0 0 , 3 . xx yy 2 分 因为点P在抛物线 2 36yx上， 所以 2 00 36yx ，即 2 336yx3 分 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 2 4yx4 分 （2）解法 1：设直线1xmy与曲线C的交点坐标为A 2 1 1 ,
10、 4 y y， 2 2 2 , 4 y By， 由 2 1, 4 , xmy yx 得 2 440ymy 由韦达定理得 1 y 2 y=4m， 1 y 2 y=45 分 设点 2 0 0 , 4 y Ty ，则 10 22 0101 4 44 AT yy k yyyy 6 分 所以直线 AT的方程为 2 0 0 01 4 4 y yyx yy 令 1x ， 得点D的坐标为 01 01 4 1, y y yy 7 分 同理可得点 E 的坐标为 02 02 4 1, y y yy 8 分 如果以 DE 为直径的圆过x轴某一定点,0N n，则满足 0NDNE9 分 因为 01 0 44 1,1, y
11、 yy y NDNEnn yyyy 2 2 1 2 0 4 1 y n y 所以 2 2 00 2 00 41616 1+0 44 ymy n ymy 10 分 即 2 140n，解得1n或3n 11 分 故以DE为直径的圆过x轴上的定点1,0和 3,012 分 解法 2：直线1x与曲线C的交点坐标为1,2A，1, 2B， 若取0,0T，则A T，B T与直线 1x 的交点坐标为1, 2D，1,2E， 所以以D E为直径的圆的方程为 2 2 14xy 该圆与x轴的交点坐标为1,0和3,0 所以符合题意的定点只能是 1 1,0N或 2 3,0N6 分 设直线1xmy与曲线C的交点坐标为A 2 1
12、 1 , 4 y y ， 2 2 2 , 4 y By ， 由 2 1, 4 , xmy yx 得 2 440ymy 由韦达定理得 1 y 2 y=4m， 1 y 2 y=47 分 设点 2 0 0 , 4 y Ty，则 10 22 0101 4 44 AT yy k yyyy 8 分 所以直线AT的方程为 2 0 0 01 4 4 y yyx yy 令 1x ， 得点D的坐标为 01 01 4 1, y y yy 9 分 同理可得点E的坐标为 02 02 4 1, y y yy 10 分 若点 1 1,0N满足要求，则满足 11 0N DN E 因为 0102 11 0102 44 2,2,
13、 y yy y N DN E yyyy 2 120012 2 001212 416 4+ y y yyyy yyyyy y 2 00 2 00 41616 =4+0 44 ymy ymy 11 分 所以点 1 1,0N满足题意 同理可证点 2 3,0N也满足题意 故以 DE 为直径的圆过x轴上的定点1,0和 3,012 分 21 （1）解： 当 2 1 a时， 2 17 ( )(2)ln4 22 f xxxxx， 函数)(xf的定义域为 ), 0(，1 分 且 2 ln3fxxx x 2 分 设 2 ln3g xxx x ， 则 2 222 21 122 ( )1 xx xx g x xxxx
14、 0x 当01x时，( )0g x；当1x时，( )0g x， 即函数g x在0,1上单调递减， 在1,上单调递增， 3 分 所以当0x时，10g xg（当且仅当1x时取等号）4 分 即当0x时，( )0fx（当且仅当1x时取等号） 所以函数 fx 在), 0(单调递增，至多有一个零 点. 5 分 因为(1)0f，1x是函数)(xf唯一的零点 . 所以若 2 1 a，则函数fx的所有零点只有 1x6 分 （2）证法 1：因为 2 ( )(2)ln47f xxxaxxa， 函数)(xf的定义域为),0(，且 2 ()ln24 x fxxax x 7 分 当 1 2 a时， 2 ln3fxxx x
15、 ， 9 分 由（1） 知03 2 lnx x x 10 分 即当0x时0fx， 所以 fx 在 0, 上单调递 增11 分 所以)(xf不存在极 值12 分 证法 2：因为 2 ( )(2)ln47f xxxaxxa， 函数)(xf的定义域为),0(，且 2 ()ln24 x fxxax x 7 分 设 2 ( )ln24 x m xxax x ， 则 2 22 1222 ( )2 axx m xa xxx 0x 设)0(22)( 2 xxaxxh，则( )m x与)(xh同号 当 2 1 a时，由 2 ( )220h xaxx， 解得 1 11 16 0 4 a x a ， 2 11 16
16、 0 4 a x a 8 分 可知当 2 0xx时，( )0h x，即( )0m x，当 2 xx时，( )0h x，即( )0m x， 所以( )fx在 2 0,x上单调递减，在 2, x上单调递 增9 分 由（1） 知03 2 lnx x x 10 分 则 22222 2 2 ()ln3(21)(21)0fxxxaxax x 所以 2 ( )()0fxfx， 即( )f x在定义域上单调递增11 分 所以)(xf不存在极 值12 分 22 （1）解法 1：因为直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t为参数）， 当= 2 时， 直线l的直角坐标方程为2x 1 分 当 2 时
17、，直线l的直角坐标方程为3tan2yx 3 分 因为 2 ,cxy， 4 分 因为8cos2 2 ，所以 22 28xyx 所以 C 的直角坐标方程为 082 22 xyx5分 解法 2：因为直线l的参数方程为 sin3 ,cos2 ty tx （t为参数）， 则有 si co xt yt 2 分 所以直线 l 的直角坐标方程为 sincos2sin3cosxy3 分 因为 2 ,cxy，4 分 因为8cos2 2 ，所以 22 28xyx 所以C的直角坐标方程为 082 22 xyx 5 分 （2）解法 1：曲线C的直角坐标方程为082 22 xyx， 将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理
18、， 得05)cos2sin32( 2 tt 6 分 因为 020)cos2sin32( 2 ，可设该方程的两个根为 1 t， 2 t， 则 12 2 3sin2costt， 1 2 5t t 7 分 所以 2 12121 2 4ABttttt t 2 2 3 sin2cos204 2 8 分 整理得 2 3sincos3， 故 2sin3 6 9 分 因为0，所以 63 或 2 63 ， 解得 6 或 2 综上所述， 直线l的倾斜角为 6 或 2 10 分 解法 2：直线l与圆C交于A，B两点，且4 2AB， 故圆心)0 ,1 (C到直线l的距离 1)22(9 2 d6 分 当 2 时， 直线
19、l的直角坐标方程为2x， 符合题意 7 分 当0, 22 时，直线l的方程为0tan23tanyx 所以 1 ta1 |t230ta| 2 d，8 分 整理得 2 3tan1tan 解得 6 9 分 综上所述， 直线l的倾斜角为 6 或 2 10 分 23 （1）解： 当1a时，由( )f xx，得2111xx 1 分 当 1 2 x时，21 11xx， 解得3x 当 1 2 x时，1211xx， 解得 1 3 x 4 分 综上可知， 不等式( )1fxx的解集为 1 3 3 x xx或 5 分 （2）解法 1：由 1 ( )(1) 2 f xf x，得 1 2121 22 a xax 则 2 2121axx 6 分 令( )2 2121g xxx， 则问题等价于 min ( )ag x 因为 1 23 2 11 ( )61, 22 1 23, 2 xx g xxx xx 9 分 min 1 ( )2 2 g xg 所以实数a的取值范围为( 2,) 10 分 解法 2：因为2121(21)(21)xxxx， 6 分 即221212xx，则21212xx 7 分 所以 ()gx， 8 分 当且仅当 1 2 x时等号成立 9 分 所以 min ( )2g x 所以实数a的取值范围为( 2,) 10 分