人教版九年级数学下册相似.docx.pdf

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1、初中数学试卷 鼎尚图文 * 整理制作 相似 一、选择题 1已知 2x=5y（y0），则下列比例式成立的是（） ABCD 2若，则等于（） A8 B9 C10 D11 3下列各组条件中，一定能推得ABC与DEF相似的是（） AA=E且D=F BA=B且D=F CA=E且DA=E且 4如图，正方形 ABCD的边长为 2，BE=CE ，MN=1，线段 MN 的两端点在 CD、AD上滑 动，当 DM 为（）时， ABE与以 D、M、N 为顶点的三角形相似 A B C 或 D 或 5如图所示， ABC中若 DE BC ，EF AB，则下列比例式正确的是（） A B C D 6如图，在 ABC中，DE B

2、C ，DE=4 ，则 BC的长是（） A8 B10 C11 D12 7 如图， 四边形 ABCD 四边形 A1B1C1D1， AB=12， CD=15 ， A1B1=9， 则边 C1D1的长是 （） A10 B12 CD 8已知 ABC ABC且，则 SABC：SABC 为（） A1：2 B2：1 C1：4 D4：1 9如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长 16m当短臂端点下降0.5m 时，长臂端 点升高（杆的宽度忽略不计）（） A4m B6m C8m D12m 10如图，在 RtABC中，ACB=90 ，CD AB于点 D，如果 AC=3 ，AB=6，那么 AD的 值为（） ABCD3 二

3、、填空题 11在直角 ABC中，AD是斜边 BC上的高， BD=4，CD=9 ，则 AD= 12如图，直线 ADBE CF ，BC= AC ，DE=4 ，那么 EF的值是 13已知 ABC DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 14如图，以点 O 为位似中心，将 ABC放大得到 DEF ，若 AD=OA ，则ABC与DEF 的面积之比为 15如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的 平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB BD，CDBD，且测得 AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城

4、墙的高度是米 （平面镜的厚度忽略不计） 16如图，在 ABC中，AB=9，AC=6 ，BC=12 ，点 M 在 AB边上，且 AM=3，过点 M 作 直线 MN 与 AC边交于点 N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= 三、解答题 17如图，在 ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，若 DEBC ，AD=3，AB=5 ，求 的值 18已知：平行四边形ABCD ，E是 BA延长线上一点， CE与 AD、BD交于 G、F 求证： CF 2=GF?EF 19如图，在 ABC中，AB=AC ，A=36 ，BD为角平分线， DE AB，垂足为 E （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为

5、1的相似三角形； （2）选择（ 1）中一对加以证明 20如图，已知 A（4，2），B（2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点 （1）把ABC向右平移 4 个单位再向下平移1 个单位，得到 A1B1C1画出平移后的图 形，并写出点 A 的对应点 A1的坐标； （2）以原点 O 为位似中心，将 ABC缩小为原来的一半，得到 A2B2C2，请在所给的坐 标系中作出所有满足条件的图形 21在ABC中，点 D 为 BC上一点，连接 AD，点 E在 BD上，且 DE=CD ，过点 E作 AB 的平行线交 AD于 F，且 EF=AC 如图，求证： BAD= CAD 22如图，在梯形 ABCD中，已知

6、ADBC ，B=90 ，AB=7，AD=9，BC=12 ，在线段 BC 上任取一点 E，连接 DE ，作 EF DE ，交直线 AB于点 F （1）若点 F与 B重合，求 CE的长； （2）若点 F在线段 AB上，且 AF=CE ，求 CE的长 23如图，已知 ABC ADE ， AB=30cm，AD=18cm ，BC=20cm ， BAC=75 ， ABC=40 （1）求 ADE和AED的度数； （2）求 DE的长 24在 RtABC中， C=90 ，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点 P从点 A 出发，沿 AC向 点 C方向运动，动点 Q 从点 C出发，沿线段 CB也向点 B方向

7、运动，如果点 P的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就 停止运动设运动时间为t 秒求： （1）当 t=3 秒时，这时， P，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若 CPQ的面积为 S，求 S关于 t 的函数关系式 （3）当 t 为多少秒时，以点C，P，Q 为顶点的三角形与 ABC相似？ 相似 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知 2x=5y（y0），则下列比例式成立的是（） ABCD 【考点】比例的性质 【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论 【解答】解： 2x=5y， 故选 B 【点评】本题主要考查了比例的

8、性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是 本题的关键 2若，则 等于（） A8 B9 C10 D11 【考点】比例的性质 【分析】设=k，得出 a=2k，b=3k，c=4k，代入求出即可 【解答】解：设 =k， 则 a=2k，b=3k，c=4k， 即 = = =10， 故选 C 【点评】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力 3下列各组条件中，一定能推得ABC与DEF相似的是（） AA=E且D=F BA=B且D=F CA=E且DA=E且 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据三角形相似的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 可以判断出 A、B

9、的正误；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的 两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案 【解答】解： A、D 和F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此 选项错误； B、A=B，D=F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项 错误； C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断 出ABC与DEF相似，故此选项正确； D、A=E 且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项 错误； 故选： C 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（ 1） 平行线法：平行于三角形的一边

10、的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相 似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两 组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相 等的两个三角形相似 4如图，正方形 ABCD的边长为 2，BE=CE ，MN=1，线段 MN 的两端点在 CD、AD上滑 动，当 DM 为（）时， ABE与以 D、M、N 为顶点的三角形相似 A B C 或 D 或 【考点】相似三角形的判定；正方形的性质 【分析】根据 AE=EB ，ABE中，AB=2BE ，所以在 MNC中，分 CM与 AB和 BE是对应 边两种情况利用相似三角形对应边成

11、比例求出CM 与 CN的关系，然后利用勾股定理列 式计算即可 【解答】解：四边形ABCD是正方形， AB=BC ， BE=CE ， AB=2BE ， 又 ABE与以 D、M、N 为顶点的三角形相似， DM 与 AB是对应边时， DM=2DN DM2+DN 2=MN2=1 DM2+DM2=1， 解得 DM=； DM与BE是对应边时，DM= DN， DM2+DN 2=MN2=1， 即 DM2+4DM2=1， 解得 DM= DM 为或时， ABE与以 D、M、N 为顶点的三角形相似 故选 C 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质解决本题特别要考虑到 DM 与 AB是对应边时，当DM

12、与 BE是对应边时这两种情况 5如图所示， ABC中若 DE BC ，EF AB，则下列比例式正确的是（） ABCD 【考点】平行线分线段成比例 【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案 【解答】解： DEBC ，EF AB， 四边形 DEFB是平行四边形， DE=BF，BD=EF； DE BC ， =， =， EF AB， =，=， ， 故选 C 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用找准对应关系，避免错 选其他答案 6如图，在 ABC中，DE BC ，DE=4 ，则 BC的长是（） A8 B10 C11 D12 【考点】平行线分线段成比例 【分析】

13、由在 ABC中，DEBC ，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE ：BC=AD ： AB，又由，DE=4 ，即可求得 BC的长 【解答】解：， =， 在 ABC中，DEBC ， = ， DE=4 ， BC=3DE=12 故选 D 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题难度不大，注意掌握比例线段的对 应关系 7 如图， 四边形 ABCD 四边形 A1B1C1D1， AB=12， CD=15 ， A1B1=9， 则边 C1D1的长是 （） A10 B12 CD 【考点】相似多边形的性质 【分析】由四边形ABCD 四边形 A1B1C1D1，根据相似多边形对应边的比相等列出比例 式=，将 AB

14、=12 ，CD=15 ，A1B1=9代入，计算即可求出边C1D1的长 【解答】解：四边形ABCD 四边形 A1B1C1D1， =， AB=12 ，CD=15 ，A1B1=9， C1D1= 故选 C 【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是 解题的关键 8已知 ABC ABC且，则 SABC：SABC 为（） A1：2 B2：1 C1：4 D4：1 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可 【解答】解： ABC ABC ， =（ ）2= ， 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计

15、算是解 此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方 9如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长 16m当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端 点升高（杆的宽度忽略不计）（） A4m B6m C8m D12m 【考点】相似三角形的应用 【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比例解题 【解答】解：设长臂端点升高x 米， 则=， 解得： x=8 故选； C 【点评】此题考查了相似三角形在实际生活中的运用，得出比例关系式是解题关键 10如图，在 RtABC中，ACB=90 ，CD AB于点 D，如果 AC=3 ，AB=6，那么 AD的 值为（） A B C D3 【考

16、点】射影定理 【分析】根据射影定理得到：AC 2=AD?AB ，把相关线段的长度代入即可求得线段 AD 的 长度 【解答】解：如图，在RtABC中， ACB=90 ，CD AB， AC 2=AD?AB ， 又AC=3 ，AB=6， 32=6AD，则 AD= 故选： A 【点评】本题考查了射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比 例中项 二、填空题 11在直角 ABC中，AD是斜边 BC上的高， BD=4，CD=9 ，则 AD=6 【考点】射影定理 【分析】根据直角三角形中的射影定理来做：AD 2=BD?CD 【解答】解： ABC是直角三角形， AD是斜边 BC上的高， AD 2

17、=BD?CD （射影定理）， BD=4 ，CD=9 ， AD=6 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：射影定理 12如图，直线 ADBE CF ，BC= AC ，DE=4 ，那么 EF的值是2 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据BC= AC可得=，再根据条件 ADBE CF ，可得=，再把 DE=4 代入可得 EF的值 【解答】解： BC= AC， =， ADBECF ， =， DE=4 ， =2， EF=2 故答案为： 2 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例 13已知 ABC DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它

18、们的相似比为2：3 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可直接得出结果 【解答】解：因为 ABC DEF ，所以 ABC与DEF的面积比等于相似比的平方， 因为 SABC：SDEF=2：9=（）2， 所以 ABC与DEF的相似比为 2：3， 故答案为： 2：3 【点评】本题比较容易，考查相似三角形的性质利用相似三角形的性质时，要注意相 似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系相似比是联系周长、面积、对应 线段等的媒介，也是相似三角形计算中常用的一个比值 14如图，以点 O 为位似中心，将 ABC放大得到 DEF ，若 AD=OA ，则ABC与DEF

19、 的面积之比为1：4 【考点】位似变换 【分析】由 AD=OA ，易得 ABC与DEF的位似比等于 1：2，继而求得 ABC与DEF 的面积之比 【解答】解：以点O 为位似中心，将 ABC放大得到 DEF ，AD=OA ， AB：DE=OA ：OD=1：2， ABC与DEF的面积之比为： 1：4 故答案为： 1：4 【点评】此题考查了位似图形的性质注意相似三角形的面积比等于相似比的平方 15如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的 平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB BD，CD BD，且测得 AB=1.2 米，B

20、P=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是8 米（平面镜的厚度忽略不计） 【考点】相似三角形的应用 【分析】由已知得 ABP CDP ，根据相似三角形的性质可得，解答即可 【解答】解：由题意知：光线AP与光线 PC ，APB= CPD ， RtABP RtCDP ， ， CD=8（米） 故答案为： 8 【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，关键是根据相似三角形在测量中 的应用分析 16如图，在 ABC中，AB=9，AC=6 ，BC=12 ，点 M 在 AB边上，且 AM=3，过点 M 作 直线 MN 与 AC边交于点 N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=4 或 6 【考点

21、】相似三角形的判定 【分析】分别利用，当MNBC时，以及当 ANM=B 时，分别得出相似三角形，再 利用相似三角形的性质得出答案 【解答】解：如图1，当 MNBC时， 则AMNABC ， 故=， 则=， 解得： MN=4， 如图 2 所示：当 ANM=B 时， 又 A=A， ANMABC ， =， 即=， 解得： MN=6， 故答案为： 4 或 6 【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键 三、解答题 17如图，在 ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，若 DEBC ，AD=3，AB=5 ，求 的值 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例定

22、理得出=，再根据 AD=3，AB=5，即可得出答 案 【解答】解： DEBC ， =， AD=3，AB=5， = 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题难度不大，解题的关键是注意准确 应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用 18已知：平行四边形ABCD ，E是 BA延长线上一点， CE与 AD、BD交于 G、F 求证： CF 2=GF?EF 【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质 【专题】证明题 【分析】根据平行四边形的性质得ADBC ，ABCD ，再根据平行线分线段成比例定理 得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论 【解答】证明：四边形ABCD是平行

23、四边形， ADBC，ABCD ， =，=， =， 即 CF 2=GF?EF 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边 （或 两边的延长线），所得的对应线段成比例也考查了平行四边形的性质 19如图，在 ABC中，AB=AC ，A=36 ，BD为角平分线， DE AB，垂足为 E （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1 的相似三角形； （2）选择（ 1）中一对加以证明 【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定 【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案； （2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可

24、【解答】解：（ 1）ADE BDE ，ABC BCD ； （2）证明： AB=AC ，A=36 ， ABC=C=72 ， BD为角平分线， ABD= ABC=36 =A， 在ADE和BDE中 ， ADE BDE （AAS ）； 证明： AB=AC ，A=36 ， ABC= C=72 ， BD为角平分线， DBC= ABC=36 =A， C= C， ABC BCD 【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题 关键 20如图，已知 A（4，2），B（2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点 （1）把ABC向右平移 4 个单位再向下平移1 个单位，得到 A1B1

25、C1画出平移后的图 形，并写出点 A 的对应点 A1的坐标； （2）以原点 O 为位似中心，将 ABC缩小为原来的一半，得到 A2B2C2，请在所给的坐 标系中作出所有满足条件的图形 【考点】作图位似变换；作图平移变换 【分析】（ 1）直接利用平移的性质，可分别求得A1B1C1各点的坐标，继而画出图形； （2）利用位似的性质，可求得A2B2C2各点的坐标，继而画出图形 【解答】解：（ 1）A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为：（ 0，1）； （2）符合条件 A2B2C2有两个，如图所示 【点评】此题考查了位似变换与平移的变换注意根据平移与位似的性质求得各点的坐 标是关键 21在ABC中，点

26、D 为 BC上一点，连接 AD，点 E在 BD上，且 DE=CD ，过点 E作 AB 的平行线交 AD于 F，且 EF=AC 如图，求证： BAD= CAD 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】延长 FD到点 G， 过 C作 CG AB交 FD的延长线于点 M， 可证明 EDF CMD， 可得 CM=EF=AC ，进一步得到结论； 【解答】证明：延长FD到点 G，过 C作 CG AB交 FD的延长线于点 M， 则EFMC， BAD= EFD= M， 在EDF和CMD中， EDF CMD（AAS ）， MC=EF=AC ， M=CAD ， BAD= CAD 【点评】本题考查了全等三角形的判定

27、于性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；证 明三角形全等是解决问题的关键 22如图，在梯形 ABCD中，已知 ADBC ，B=90 ，AB=7，AD=9，BC=12 ，在线段 BC 上任取一点 E，连接 DE ，作 EF DE ，交直线 AB于点 F （1）若点 F与 B重合，求 CE的长； （2）若点 F在线段 AB上，且 AF=CE ，求 CE的长 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；梯形 【分析】（ 1）根据题意画出图形，得出矩形ABEC求出 BE，即可求出 CE ； （2）过 D 作 DMBC于 M，得出四边形 ABMD 是矩形，推出 AD=BM=9，AB=DM=7 ，

28、CM=129=3，设 AF=CE=a ，则 BF=7 a，EM=a3，BE=12 a，求出 BFE= DEM， B=DME，证FBEEMD，得出比例式= ，求出 a即可 【解答】解：（ 1）当F和B重合时， EF DE， DE BC ， B=90 ， ABBC ， ABDE， ADBC， 四边形 ABED是平行四边形， AD=EF=9 ， CE=BC EF=12 9=3； （2）过 D 作 DMBC于 M， B=90 ， ABBC ， DMAB， ADBC， 四边形 ABMD 是矩形， AD=BM=9 ，AB=DM=7 ，CM=129=3， 设 AF=CE=a ，则 BF=7a，EM=a3，B

29、E=12 a， FEC= B=DMB=90 ， FEB +DEM=90 ，BFE +FEB=90 ， BFE= DEM， B=DME， FBEEMD， = ， =， a=5，a=17， 点 F在线段 AB上，AB=7， AF=CE=17 （舍去）， 即CE=5 【点评】本题考查了直角梯形性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知 识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较 好的题目 23如图，已知 ABC ADE ， AB=30cm，AD=18cm ，BC=20cm ， BAC=75 ， ABC=40 （1）求 ADE和AED的度数； （2）求 DE的

30、长 【考点】相似三角形的性质 【分析】（ 1）根据三角形的内角和定理求出C，再根据相似三角形对应角相等解答； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可 【解答】解：（ 1） BAC=75 ，ABC=40 ， C=180 BACABC=180 7540 =65， ABC ADE ， ADE= ABC=40 ， AED= C=65 ； （2） ABC ADE ， =， 即=， 解得 DE=12cm 【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形 对应角相等，对应边成比例的性质 24在 RtABC中， C=90 ，AC=20cm ，BC=15cm ，现有动点 P从点

31、 A 出发，沿 AC向 点 C方向运动，动点 Q 从点 C出发，沿线段 CB也向点 B方向运动，如果点 P的速度是 4cm/秒，点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就 停止运动设运动时间为t 秒求： （1）当 t=3 秒时，这时， P，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若 CPQ的面积为 S，求 S关于 t 的函数关系式 （3）当 t 为多少秒时，以点C，P，Q 为顶点的三角形与 ABC相似？ 【考点】相似三角形的性质；三角形的面积；勾股定理 【分析】（ 1）在 RtCPQ中，当 t=3 秒，可知 CP 、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的 长求出； （2）

32、由点 P，点 Q的运动速度和运动时间，又知AC ，BC的长，可将 CP 、CQ用含 t 的 表达式求出，代入直角三角形面积公式SCPQ=CP CQ求解； （3）应分两种情况：当RtCPQ RtCAB时，根据=，可将时间 t 求出；当 Rt CPQ RtCBA时，根据=，可求出时间 t 【解答】解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则 CP=20 4t， （1）当 t=3 秒时， CP=20 4t=8cm，CQ=2t=6cm ， 由勾股定理得 PQ= ； （2）由题意得 AP=4t，CQ=2t，则 CP=20 4t， 因此 RtCPQ的面积为 S=cm2； （3）分两种情况： 当 RtCPQ RtCAB时，即，解得 t=3 秒； 当 RtCPQ RtCBA时，即，解得 t=秒 因此 t=3 秒或 t=秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC相似 【点评】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解， 在解题过程应防止漏解或错解