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1、. WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角 的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3) 有公共边的，公共边常是对应边 (4) 有公共角的，公共角常是对应角 (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角 (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ， 一对最短
2、边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 (SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理 (ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理 (SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理 (AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过 程中
3、，注意有时会添加辅助线 拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条 线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 例题精讲 板块一、截长补短 【例 1】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和. ACB，BD、CE交于点O，试 判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 【例 2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一 点( 点B除外 ) ，作60DMN，射线MN与DBA外角 的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? D O E CB A N EBMA D . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【
4、变式拓展训练】 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N， MD与MN有怎样的数量关系？ 【例 3】已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE. 【例 4】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE， 连结CD、BE相交于点O 求 证：OA平分DOE 【例 5】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形， 以D为顶 点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 F A B C D E OO E D C B A N M D CB A _ F _ E _ D _ C_
5、 B _ A _ N _ C_ D _ E_ B_ M_ A . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【例 6】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180， 求证：AD平分CDE 板块二、全等与角度 【例 7】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC 的度数 . 【例 8】在等腰ABC中，ABAC，顶角20A ，在边 AB上取点D，使ADBC， 求 BDC. 【例 9】如图所示，在ABC中，ACBC，20C，又M在AC上，N在BC上，且满足 50BAN，60ABM，求NMB. DCB A C E D B A
6、D CB A N M C . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 【例 10】 在四边形ABCD中，已知ABAC，60ABD ，76ADB，28BDC，求DBC 的度数 . 【例 11】 如图所示，在四边形ABCD中，12DAC ，36CAB，48ABD，24DBC， 求 ACD的度数 . 【例 12】 在 正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且 BEBA，求BED. 【例 13】 如图所示，在ABC中，44BACBCA ，M为ABC内一点，使得30MCA， 16MAC，求BMC的度数 . M CA B C D BA D C BA D E C
7、B A . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 全等三角形证明经典50 题（含答案） 1.已知： AB=4 ，AC=2 ，D是 BC中点， AD是整数，求AD A D B C . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 延长 AD到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC全等于三角形EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE中 ,AB-BEBC 时， E点是射线AB,DC的交点）。 则： AED是等腰三角形。 所以： AE=DE 而 AB=CD 所以： BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以： BEC是等腰三角形 所以：角 B=角 C. 15. P
8、是 BAC平分线 AD上一点， ACAB ，求证： PC-PB 三角形 ADC全等于三角形ABC. 所以 BC等于 DC ，角 3 等于角 4,EC=EC 三角形 DEC全等于三角形BEC 所以 5=6 34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且AD CF，求证：ABCDEF 因为 D,C 在 AF上且 AD=CF 所以 AC=DF 又因为 AB平行 DE ，BC平行 EF 所以角 A+角 EDF ，角 BCA= 角 F（两直线平行，内错角相等） 然后 SSA （角角边）三角形全等 35已知：如图，AB=AC，BD AC，CE AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD
9、 证明：因为 AB=AC， 所以EBC= DCB 因为 BDAC ，CE AB 所以BEC= CDB BC=CB (公共边 ) 则有三角形 EBC全等于三角形DCB 所以 BECD 36、如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。 求证：DE=DF AAS证 ADF 6 5 4 3 2 1 E D C B A A C B D E F A E B D C F . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 37. 已知：如图 , ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？ 角 C=角 E=90度 角 B
10、=角 EAD=90度- 角 BAC BC=AE ABC DAE AD=AB=5 38如图： AB=AC ，ME AB ，MF AC ，垂足分别为E、F，ME=MF 。求证： MB=MC 证明 AB=AC ABC是等腰三角形 B=C 又 ME=MF ， BEM 和 CEM 是直角三角形 BEM 全等于 CEM MB=MC 40 在ABC中，90ACB，BCAC， 直线MN经过点C， 且MNAD于D，MNBE 于E.(1)当 直 线MN绕 点C旋 转 到 图1 的 位 置 时 ， 求 证 ：ADCCEB； BEADDE； (2) 当直线MN绕点C旋转到图2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立
11、，请给出证明；若不 成立，说明理由. （1）证明： ACB=90 ， ACD+ BCE=90 ， 而 AD MN于 D，BE MN于 E， ADC= CEB=90 ，BCE+ CBE=90 ， ACD= CBE 在 RtADC和 RtCEB中， ADC= CEB ACD= CBE AC=CB ， RtADC RtCEB （AAS ） ， AD=CE ，DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD； （2）不成立，证明：在ADC和 CEB中， ADC= CEB=90 ACD= D C B A E B CM A F E A E B M C F . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 .
12、 . CBE AC=CB ， ADC CEB （AAS ） ， AD=CE ，DC=BE ， DE=CE-CD=AD-BE； 41如图所示，已知AE AB，AFAC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ； （ 2）EC BF （1）证明 ; 因为 AE垂直 AB 所以角 EAB= 角 EAC+ 角 CAB=90度 因为 AF垂直 AC 所以角 CAF= 角 CAB+ 角 BAF=90度 所以角 EAC= 角 BAF 因为 AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形 FAB全等 所以 EC=BF 角 ECA= 角 F （2）(2) 延长 FB与 EC的延长线交于点G 因为
13、角 ECA= 角 F(已证） 所以角 G= 角 CAF 因为角 CAF=90度 所以 EC垂直 BF 42如图： BE AC ，CFAB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ； （2） AM AN 。 证明： （1） BE AC ，CFAB ABM+ BAC=90 ，ACN+ BAC=90 ABM= ACN BM=AC ，CN=AB ABM NAC AM=AN （2） ABM NAC BAM= N N+ BAN=90 BAM+ BAN=90 即MAN=90 AM AN 43如图 , 已知 A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证 :BCEF 连接 BF 、CE， 证
14、明 ABF全等于 DEC （SAS ） ， 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF F B C A M N E 1 2 3 4 . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 从而求得 BC平行于 EF 44如图 , 已知 AC BD ，EA 、EB分别平分 CAB和 DBA ，CD过点 E，则 AB与 AC+BD相等吗？请说 明理由 在 AB上取点 N , 使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 为公共边 , 所以三角形CAE全等三角形EAN 所以 ANE= ACE 又 AC平行 BD 所以 ACE+ BDE=180 而 ANE+ ENB=180 所以 ENB
15、= BDE NBE= EBN BE为公共边 , 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD 45、 （10 分）如图 , 已知 : AD 是 BC上的中线 , 且 DF=DE 求证 :BE CF 证明： AD是中线 BD=CD DF=DE ， BDE= CDF BDE CDF BED= CFD BE CF 46、(10 分) 已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足， DEBF 求证： ABCD 证明： DE AC ，BFAC ， DEC= AFB=90 ， 在 RtDEC和 RtBFA中， DE=BF ，AB=CD ， RtDEC R
16、tBFA ， C= A， AB CD A D E C B F . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 47、(10 分) 如图，已知 1=2， 3=4，求证： AB=CD 【待定】 48、 (10 分) 如图，已知AC AB ，DB AB ，AC BE ，AE BD ，试猜想线段CE与 DE的大小与位置关 系，并证明你的结论. 结论： CEDE 。当 AEB越小，则DE越小。 证明： 过 D作 AE平行线与AC交于 F，连接 FB 由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC为矩形，且 DFB为等腰三角形。 RTBAE中， AEB为锐角，即 AEB45 RTAFB中， FB
17、A=90 - DBF 45 ABAF AB=CE AF=DE CEDE 49、 (10 分 ) 如图，已知AB DC ，AC DB ，BE CE ，求证： AE DE. 先证明 ABC BDC 的出角 ABC= 角 DCB 在证明 ABE DCE 得出 AE=DE A C E D B A B E C D . 3 4 2 1 D C B A . WORD 格式整理 . . . .专业知识分享 . . 50如图 9 所示， ABC是等腰直角三角形，ACB 90， AD是 BC边上的中线， 过 C作 AD的垂线， 交 AB于点 E，交 AD于点 F，求证： ADC BDE 证明：作 CG平分 ACB交 AD于 G ACB=90 ACG= DCG=45 ACB=90 AC=BC B=BAC=45 B=DCG= ACG CFAD ACF+ DCF=90 ACF+ CAF=90 CAF= DCF AC=CB ACG= B ACG CBE CG=BE DCG= B CD=BD CDG BDE ADC= BDE A B C D E F 图 9