八年级数学上第一章勾股定理单元测试卷.pdf

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1、.精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 24 八年级数学上第一章勾股定理单元测试卷 2018 年秋八年级上学期第一 勾股定理单元测试卷 数 学 试 卷 考试时间： 120 分钟；满分： 150 分 学 校 :_ 姓 名 ： _ 班 级 ： _考号： _ 题号一二三总分 得分 评卷人得 分 一选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分） 1 （4 分）如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直 角三角形已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的 直角边为b，斜边长为如图，现将这四个全图等的直 角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的

2、周长为 24，=3，则该飞镖状图案的面积（） A6 B 12 24 D24 2 （4 分）如图，两个较大正方形的面积分别为225， 289，则字母 A 所代表的正方形的面积为（） A4 B 8 16 D64 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 24 3 （4 分）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一 边长为 8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三 角形是 （） A B D 4 （4 分）下列各组数中，是勾股数的为（） A1，2，3B4，5，63，4，5D7，8，9 5 （4 分）如图，小明将一张长为20，宽为 15 的长方

3、形纸（ AE DE ）剪去了一角，量得AB=3，D=4 ，则剪去的直 角三角形的斜边长为（） A5 B 12 16 D20 6 （4 分）如图，长为8 的橡皮筋放置在x 轴上，固定 两端 A 和 B，然后把中点向上拉升3 至 D点，则橡皮筋被拉 长了（） A2 B 3 4 D5 7 （4 分）如图所示，圆柱的高AB=3 ，底面直径B=3， 现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角处捕食，则 它爬行的最短距离是（） A B D 8 （4 分）如图，在RtAB中， AB=90 ， DAB ，垂 足为 D， AF平分 AB ， 交 D于点 E， 交 B于点 F 若 A=3， AB=5 ， .精品文

4、档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 24 则 E 的长为（） A B D 9 （4 分）如图，将AB放在正方形网格图中（图中每 个小正方形的边长均为1） ，点 A，B，恰好在网格图中的格 点上，那么 AB中 B的高是（） A B D 10 （4 分）如图是由7 个形状、大小完全相同的正六边 形组成的网络， 正六边形的顶点称为格点，AB的顶点都在 格点上，AB边如图所示，则使 AB是直角三角形的点有 （） A12 个 B 10 个 8 个 D6 个 评卷人得 分 二填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分） 11 （5 分）已知 AB的三边长为

5、a、b、 ，满足 a+b=10， ab=18，=8，则此三角形为三角形 12 （5 分）如图，已知AB中， AB=10 ，A=8，B=6，DE 是 A 的垂直平分线，DE交 AB于点 D，连接 D，则 D= 13 （5 分）如图，圆柱形玻璃杯高为14，底面周长为 32，在杯内壁离杯底5 的点 B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁 正好在杯外壁，离杯上沿3 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从 外壁 A处到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计） .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 24 14 （5 分）把两个同样大小的含45角的三角尺按如 图所示的方式放置，其

6、中一个三角尺的锐角顶点与另一个的 直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B， ，D 在同一直线 上若 AB= ，则 D= 评卷人得 分 三解答题（共9 小题，满分90 分） 15 （8 分）如图，在 AD中， =90，AB是 D边上的 中线， BA=30，若 AB=6，求 AD的长 16（8 分） 如图，在 AB中， AD B， B=45， =30， AD=2 ，求 AB的周长 17（8 分） 如图，在 AB中， AD B， B=45， =30， AD= ，求 AB的面积 18（8 分） 如图，已知在四边形ABD中， A=90， AB=2 ， AD= ，D=5 ，B=4，求四边形ABD的面积 1

7、9 （10 分）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、 股四、弦五” 观察： 3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；， 发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3 起就没有间断过 （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：； （2）若第一个数用字母n（n 为奇数，且n3）表示， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 24 那么后两个数用含n 的代数式分别表示为和，请用 所学知识说明它们是一组勾股数 20 （10 分）方格纸中小正方形的顶点叫格点点A 和 点 B 是格点，位置如图 （1）在图 1 中确定格点使AB为直角三角形，画出一

8、 个这样的 AB； （2）在图 2 中确定格点D使 ABD为等腰三角形，画出 一个这样的 ABD ； （3）在图 2 中满足题（ 2）条件的格点D有个 21 （12 分） （1）如图 1 是一家唇膏卖家的礼品装，卖 家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏， 右图是其横载面， AB为正三角形 求这个包装盒空间的最 大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）； （2）一个长宽高分别为l ，bh 的长方体纸箱装满了 一层高为 h 的圆柱形易拉罐如图2 求纸箱空间的利用率 （易 拉罐总体积和纸箱容积的比）； （3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？ 22 （12 分）为了绿化环境，我县某中学

9、有一块四边形 的空地ABD ，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测 量 A=90， AB=3 ，DA=4 ，B=12，D=13 （1）求出空地ABD的面积 （2）若每种植1 平方米草皮需要200 元，问总共需投 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 6 / 24 入多少元？ 23 （14 分） （1）阅读理解： 我们知道在直角三角形中， 有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；但其中 也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5； 是三个连续正整 数组成的勾股数 解决问题：在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶 数能组成勾股数？ 答：，若存

10、在，试写出一组勾股数： 在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整 数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理 由 在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾 股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由 （2）探索升华：是否存在锐角AB 三边也为连续正整 数；且同时还满足：B A； AB=2 BA？若存在， 求出 AB三边的长；若不存在，说明理由 2018 年秋八年级上学期第一 勾股定理单元测试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分） 1 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 7 / 24 【分

11、析】根据飞镖状图案的周长求出AB+A的长，在直 角三角形AB中，利用勾股定理求出A 的长，进而确定出A 的长，求出三角形AB面积，即可确定出所求 【解答】解：根据题意得：4（AB+A ）=24，即 AB+A=6 ， B=3， 在 RtAB中，根据勾股定理得：AB2=A2+B2 ， 即（ 6A）2=32+（3+A）2， 解得： A=1， A=3+1=4， SAB= 34=6， 则该飞镖状图案的面积为24， 故选： 【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及三角形面积， 熟练掌握勾股定理是解本题的关键 2 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形 PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出

12、PR 的平方及 PQ的平方， 又三角形 PQR 为直角三角形， 根据勾股定理求出 QR的平方，即为所求正方形的面积 【解答】解：正方形PQED 的面积等于225， 即 PQ2=225 ， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 8 / 24 正方形 PRGF 的面积为 289， PR2=289， 又 PQR 为直角三角形，根据勾股定理得： PR2=PQ2+QR2， QR2=PR2 PQ2=289 225=64， 则正方形 QNR 的面积为 64 故选： D 【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公 式勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系

13、， 它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质 问题转化为数量关系的问题解决能否由实际的问题，联想 到用勾股定理的知识求解是本题的关键 3 【分析】 过作 DAB于 D，依据 AB=6 ，A=8，可得 D8， 进而得到当D与 A 重合时， D最长为 8，此时， BA=90 ， AB的面积最大 【解答】解：如图，过作DAB于 D， AB=6，A=8， D8， 当 D与 A 重合时， D最长为 8， 此时， BA=90 ， AB的面积最大， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 9 / 24 B= =10 ， 四个三角形中面积最大的三角形的三边

14、长分别为6，8， 10， 故选： 【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的 逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练 运用勾股定理的逆定理进行分析 4 【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检 验即可 【解答】解： A、错误， 12+22=532=9，不是勾股 数； B、错误， 42+52=4162=36，不是勾股数； 、正确， 32+42=25=52=25，是勾股数； D、错误， 72+82=11392=81，不是勾股数 故选： 【点评】此题比较简单，只要对各组数据进行检验，看 各组数据是否符合勾股定理的逆定理即可 5 【分析】解答此题只要把原的图形补全，构造出直

15、角三 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 10 / 24 角形解答 【解答】解：延长AB 、D相交于 F，则 BF构成直角三角 形， 运用勾股定理得： B2=（153）2+（204）2=122+162=400， 所以 B=20 则剪去的直角三角形的斜边长为20 故选： D 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要 延长 AB 、D相交于 F，构造直角三角形，用勾股定理进行计 算 6 【分析】根据勾股定理，可求出AD 、BD的长，则 AD+BD AB即为橡皮筋拉长的距离 【解答】解： RtAD中，A= AB=4，D=3； 根据勾股定理，得：A

16、D= =5； AD+BD AB=2AD AB=10 8=2； 故橡皮筋被拉长了2 故选： A 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定 理的应用 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 11 / 24 7 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利 用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解 【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、的最短距离为线段A 的长 在 RtAD中， AD=90 ， D=AB=3 ， AD为底面半圆弧长， AD=1.5， 所以 A= ， 故选： 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的 关键是

17、会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答 8 【分析】根据三角形的内角和定理得出AF+FA=90， FAD+ AED=90 ，根据角平分线和对顶角相等得出EF= FE，即可得出E=F，再利用相似三角形的判定与性质得出 答案 【解答】解：过点F 作 FG AB于点 G， AB=90， DAB ， DA=90 ， AF+FA=90， FAD+ AED=90 ， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 12 / 24 AF平分 AB ， AF=FAD ， FA=AED= EF， E=F， AF平分 AB ， AF=AGF=90 ， F=FG ， B=B， FG

18、B= AB=90 ， BFG BA ， ， A=3，AB=5 ， AB=90 ， B=4， ， F=FG ， ， 解得： F= ， 即 E的长为 故选： A 【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性 质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性 质等知识，关键是推出EF=FE 9 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 13 / 24 【分析】根据所给出的图形求出AB 、A、B 的长以及 BA的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可 【解答】解：根据图形可得： AB=A= = ， B= ， BA=90， 设 AB中 B 的高是

19、 x， 则 AAB=Bx， ， x= 故选： A 【点评】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定 理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出 关于 x 的方程 10 【分析】根据正六边形的性质，分AB 是直角边和斜边 两种情况确定出点的位置即可得解 【解答】解：如图，AB是直角边时，点共有6 个位置， 即有 6 个直角三角形， AB是斜边时，点共有4 个位置，即有4 个直角三角形， 综上所述， AB是直角三角形的个数有6+4=10 个 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 14 / 24 故选： B 【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在

20、于分AB 是 直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解 题的关键，作出图形更形象直观 二填空题（共4 小题，满分20 分，每小题5 分） 11 【分析】对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定 理的逆定理，从而可判定其形状 【解答】解：a+b=10，ab=18，=8， （ a+b）22ab =10036 =64， 2=64， a2+b2=2， 此三角形是直角三角形 故答案为：直角 【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角 形 AB的三边满足a2+b2=2，则三角形AB是直角三角形 12 【分析】 直接利用勾股定理的逆定理得出AB是直角三 .精品文档 . 2016 全新精品资

21、料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 15 / 24 角形，进而得出线段DE是 AB的中位线，再利用勾股定理 得出 AD ，再利用线段垂直平分线的性质得出D的长 【解答】解：AB=10 ，A=8，B=6， B2+A2=AB2 ， AB是直角三角形， DE是 A 的垂直平分线， AE=E=4 ，DE B，且线段 DE是AB的中位线， DE=3 ， AD=D= =5 故答案为： 5 【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角 形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键 13 【分析】将杯子侧面展开， 建立 A 关于 EF的对称点 A， 根据两点之间线段最短可知AB 的长度即为所求 【

22、解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于 EF的对称点 A， 连接 AB，则 AB即为最短距离， AB= =20（） 故答案为 20 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，将 图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 16 / 24 关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 14 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出B=2， BF=AF=1 ， 再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论 【解答】解：如图，过点A 作 AFB 于 F， 在 RtAB中， B=45， B= AB=2，BF=AF= AB=

23、1 ， 两个同样大小的含45角的三角尺， AD=B=2 ， 在 RtADF中，根据勾股定理得，DF= D=BF+DF B=1+ 2= 1， 故答案为：1 【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的 性质，正确作出辅助线是解本题的关键 三解答题（共9 小题，满分90 分） 15 【分析】求出A、D，利用勾股定理求出AD即可； 【解答】 解：在 RtAB中，=90，BA=30 ，AB=6 ， B= AB=3， 在 RtAB中， A= ， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 17 / 24 AB是 D边上的中线， DB=B=3 ， 所以 D=6，

24、在 RtAD中， AD= 答： AD的长是 3 【点评】本题考查勾股定理，中线的定义，直角三角形 30 度角性质等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 16 【分析】根据垂直求出ADB= AD=90 ， 求出 A=2AD=4 ， AD=BD=2 ，根据勾股定理求出D和 AB ，即可求出答案 【解答】解：AD B， ADB= AD=90 ， 在 RtADB中， DAB=90 B=90 45=45= B， AD=BD=2 ， 由勾股定理得：AB= ； 在 RtAD中， =30， AD=2 ， A=2AD=4 ， 由勾股定理得：D= ， AB的周长是 A+AB+B=4+2 +2+

25、2 =6+2 +2 【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 18 / 24 定理、勾股定理、含30角的直角三角形的性质等知识点， 能灵活运用定理进行计算是解此题的关键 17 【分析】求出BD=AD= ，A=2AD=2 ，根据勾股定理求出 D，根据三角形的面积公式求出即可 【解答】解：AD B， ADB= AD=90 ， 在 RtADB中， B+BAD=90 ， B=45， B=BAD=45 ， BD=AD= ， 在 RtAD中， =30， A=2AD=2 ， D= ，B=BD+D= + ， SAB= B

26、AD= （ + ） =1+ 【点评】本题考查了含30角的直角三角形的性质、等 腰三角形的判定、勾股定理、三角形的面积等知识点，能求 出各个边的长度是解此题的关键 18 【分析】连接BD ，根据勾股定理求得BD的长，再根据 勾股定理的逆定理证明BD是直角三角形， 则四边形 ABD的 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 19 / 24 面积是两个直角三角形的面积和 【解答】解：连接BD A=90，AB=2，AD= ， 根据勾股定理可得BD=3 ， 又 D=5，B=4， D2=B2+BD2 ， BD是直角三角形， BD=90 ， S 四 边 形ABD=S

27、 ABD+S BD= ABAD+ BBD= 2 + 43= +6 （2） 【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用， 辅助线的作法是关键 解题时注意： 如果三角形的三边长a， b，满足 a2+b2=2，那么这个三角形就是直角三角形 19 【分析】 （1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、 13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11， 60，61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1 的二 分之一，弦是勾的平方加1 的二分之一 【解答】解：（1）11，60，61； （2）后两个数表示为和 ， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文

28、 -全程指导写作 独家原创 20 / 24 又 n3，且 n 为奇数， 由 n， ， 三个数组成的数是勾股数 故答案为： 11，60，61 【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关 系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可 20 【分析】（1）A 所在的水平线与B 所在的竖直线的交点 就是满足条件的点； （2）根据勾股定理可求得AB=5，则到 A 的距离是 5 的 点就是所求； （3）到 A 点的距离是5 的格点有 2 个，同理到B 距离 是 5 的格点有 2 个，据此即可求解 【解答】解：（1） （2）如图所示： （3）在图 2 中满足题（ 2）条件的格点D有 4 个 故

29、答案是： 4 【点评】本题考查了等腰三角形，勾股定理，正确对等 腰三角形的顶点讨论是关键 21 【分析】（1）如图 1，设半径为r ，纸盒长度为h，则 .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 21 / 24 D= r ，B=2 r 根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得 圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值； （2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值； （3）利用（ 1） （2）的数据进行解答 【解答】 解： （1）由题意， 是 AB内接圆， D为切点， 如图 1， 连结 D ， 设半径为r， 纸盒长度为h， 则 D= r ， B=2 r 则圆柱

30、型唇膏和纸盒的体积之比为： 第二种包装的空间利用率大 【点评】考查了勾股定理的应用，圆的有关计算，立体 图形的体积公式，综合性较强，需要学生对所学知识的系统 掌握 22 【分析】（1）连接 BD ，在直角三角形ABD中，利用勾股 定理求出BD ，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BD 为直角三角形，四边形ABD面积等于三角形ABD面积 +三角 形 BD面积，求出即可； （2）由（ 1）求出的面积，乘以200 即可得到结果 【解答】解：（1）连接 BD ， 在 RtABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52 ， .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独

31、家原创 22 / 24 在 BD中， D2=132，B2=122， 而 122+52=132， 即 B2+BD2=D2 ， DB=90 ， 则 S 四边形 ABD=S BAD+S DB= ADAB+ DBB= 43+ 125=36； （2）所以需费用36200=7200（元） 【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定 理及逆定理是解本题的关键 23 【分析】（1）6，8，10； 设这三个正整数为n1，n，n+1，根据勾股定理列方 程可得方程解x=4，得出还是3，4，5 这三个数，可得结论 不存在； 设这三个奇数分别为：2n1，2n+1，2n+3，同理列 方程，方程无整数解，可知，不存在

32、； （2）设 AB=x，A=x+1，B=x1，作辅助线，构建等腰三 角形，证明AB DA ，列比例式，可得方程，解出即可 【解答】解： （1）存在三个连续偶数能组成勾股数， 如 6，8，10， （3 分） 故答案为：存在；6，8，10； .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 23 / 24 答：不存在， （4 分） 理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连 续正整数能组成勾股数， 设这三个正整数为n1，n，n+1， 则（ n1）2+n2=（n+1）2， （5 分） n1=4，n2=0（舍） ， 当 n=4 时， n1=3，n+1=5， 三个连

33、续正整数仍然是3，4，5， 不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；（6 分） 答：不存在， （7 分） 理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成 勾股数， 设这三个奇数分别为：2n1，2n+1，2n+3（n1 的整 数） ， （2n1）2+（2n+1）2=（2n+3）2， n1= ，n2= ， 不存在三个连续奇数能组成勾股数；（8 分） （2）答：存在，三边长分别是4，5，6， （9 分） 理由是：如图，在AB中，设 AB=x，A=x+1，B=x1， 则： B A；AB=2BA ， 延长 B至 D，使 BD=AB ，连接 AD ， BAD= BDA ， （10 分） .精品文档 . 2016 全新精品资料 -全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 24 / 24 AB= BAD+ BDA=2 BDA ， AB=2BA ， BA= BDA ， =， AB DA ， ， A2=BD， （ x+1）2=（x1） （x1）+x ， x=5 或 0（舍） ， 当 x=5 时， x1=4，x+6， B=4，AB=5 ，A=6， 答：满足条件的AB三边的长为4，5，6 （12 分） 【点评】本题是阅读材料问题，考查了勾股数的有关问 题，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数验 证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作 出判断，本题熟练掌握勾股定理列方程是关键