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1、抛物线及其标准方程 一、温故而知新： 我们知道, 椭圆、双曲线有共同的几何特征： 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和 一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) 那么,当e e = 1= 1时，它又是什么曲线 ？ (1)当0e1时,是椭圆 M F l 0e 1 H (2) 当e1时，是双曲线; l F M e1 H m （1）平面内一个定点F 和一条不经过定点F 的定直线 ，交的垂直平分线m（3）作线段 于 （2）在直线 上任取点H ，过点H 作 二、活动探究：（一）探究一 几何画板观察 探究？ l F H M 当e = 1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是
2、什么？ H2 M m M m H3 m M H4 m M H5 M1 M2 M5 M4 M3 探究？ 点M随着H运动的过程中,总有 ，即平 面内与一个定点F 和定直线l 距离 的点的轨迹 是曲线C。我们把这样的一条曲线叫做 . M F l e=1 探究思考： 当e = 1时，即|MF|=|MH| ， 点M的轨迹是什么？ |MF|=|MH| 相等 抛物线 M F l e=1 在平面内,与一个定点F 和一条 不经过点F的定直线l的距离相等 的点的轨迹叫抛物线. 定点F 叫抛物线的焦点 , 定直线l 叫抛物线的准线 准线 焦 点 （二）抛物线的定义: 课题：抛物线的标准方程和几何性质 d d 为 M
3、 到 l 的距离 如何建立坐标系， 使抛物线的方程更简单呢？ M F l e=1 问题一： 如何建立坐标系呢？ 思考：抛物线是 轴对称图形吗？ （三）探究二：抛物线的标准方程 那么焦点F 的坐标为 ，准线l 的方程为 ， 设抛物线上的点 ， 动点M 满足的几何条件是 则有 化简方程得 方程 叫做抛物线的标准方程。 问题二：抛物线的标准方程的推导 如图所示，取经过点F 且垂直l 的直线为x 轴，垂足为K，以FK 的中点O为原点， 建立直角坐标系，设 M F l x y （四）数形结合思考： 在方程 中，因为一次项含x且其系数为 ， 可以得到焦点坐标 。 可以说：一次项x的系数是 ，则焦点在 上，
4、 且焦点的横坐标等于一次项x的系数的四分之一， 同时也可以得到准线方程 。 反之，如果已知焦点的坐标是 ， 可以写出，抛物线方程 ； 同理， 如果已知准线方程是 ， 也可以写出抛物线方程 。 F l x y 2p 2p x轴 （1）已知抛物线标准方程是 ， 则它的焦点坐标为 ，准线l 的方程为 。 （2）已知抛物线的焦点坐标是F ， 则它的标准方程是 。 （3）已知抛物线的准线方程是 ， 则它的标准方程是 。 （4）点M与点F 的距离和它到直线 的距离相等，则点M的轨迹方程是 。 三、实践感知 例1： 变式：（5）点M与点F（4，0）的距离比它到直线 的距离 小1，求点M的轨迹方程。 M F（
5、4，0） l x y 解法二：（直接法） 设M（x，y）， 则M点到l的距离为d， 依题意 则 化简为 解法一： 可知原条件 M点到F （4，0）和到 距离相等， 由抛物线的定义， 点M的轨迹是以F （4，0）为焦点， 为准线的抛物线。 ，所求方程是 l -5 -4 四、探究三：抛物线 的几何性质 抛物线线 1.范围围 2.对对称性 3.顶顶点 4.离心率 F l x y M ，当 x 值越大， 的值也越大 坐标原点O 以y代y，方程不变，这条抛物线关于 对称 x轴 五、实践感知 例2（1）抛物线 上一点 到焦点F 的距离是 。 （2）抛物线 上一点 到焦点F 的距离是 。 2 F（1，0） x y 焦点 准线 2 2 F x y 归纳总结： 抛物线 的焦半径公式是 （3）斜率为1的直线经过抛物线 的焦点，与抛物线相交 于两点A、B，求线段AB的长。 定义：抛物线上任意一点 与抛物线焦点F 的连线段， 叫做抛物线的焦半径， 归纳总结：抛物线 的 焦点弦长公式_ 引申探究： （4）求经过抛物线 的焦点的弦AB的中 点的轨迹方程。 F l x y A B M 1.抛物线的定义: 2.p的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离 作业： 1.(作业本)P73A组1(2)(4),3,4(1). 补充： 2.同步：P53-54.