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1、二元一次方程组知识点归纳及解题技巧把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。 如果方程组中含有两个未知数, 且含未知数的项的 次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程定义:一个含有两个未知数, 并且未知数的都指数是 1的整式方程, 叫二元一 次方程。 二元一次方程组定义:两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫 二元一次方程组。二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程的 解。二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。一般解法,消元:将方
2、程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。消元的方法有两种:代入消元法例:解方程组 x+y=56x+13y=89解:由得 x=5-y把带入,得 6(5-y+13y=89y=59/7把 y=59/7带入,x=5-59/7即 x=-24/7 x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过 “ 代入 ” 消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elim ination by substitution ,简称代入法。加减消元法例:解方程组 x+y=9x-y=5解: + 2x=14即 x=7把 x=7带入得 7+y=9解得 y=-2 x=7y=-2 为方程组的解像这种解二元一次方程组
3、的方法叫做加减消元法 (elimination by addition-subtraction , 简称 加减法。 二元一次方程组的解有三种情况:1. 有一组解 如方程组 x+y=5 6x+13y=89 x=-24/7 y=59/7 为方程组 的解2. 有无数组解 如方程组 x+y=6 2x+2y=12 因为这两个方程实际上是一个 方程 (亦称作 “ 方程有两个相等的实数根 ” ,所以此类方程组有无数组解。3. 无解 如方程组 x+y=4 2x+2y=10, 因为方程化简后为 x+y=5 这与方程相矛盾,所以此类方程组无解。注意:用加减法或者用代入消元法解决问题时 , 应注意用哪种方法简单 ,
4、 避免计算麻烦或导致 计算错误。教科书中没有的几种解法(一 加减 -代入混合使用的方法 .例 1, 13x+14y=41 (114x+13y=40 (2解 :(2-(1得 x-y=-1 x=y-1 (3把 (3代入 (1得 13(y-1+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把 y=2代入 (3得 x=1所以 :x=1,y=2特点 :两方程相加减 , 单个 x 或单个 y, 这样就适用接下来的代入消元 .(二 换元法例 2, (x+5+(y-4=8(x+5-(y-4=4令 x+5=m,y-4=n原方程可写为 m+n=8m-n=4解得 m=6,n=2所以 x+5=6,y-4=2
5、所以 x=1,y=6特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的 x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要 原因。(三另类换元例 3, x:y=1:45x+6y=29令 x=t, y=4t方程 2可写为:5t+6*4t=2929t=29t=1 所以 x=1,y=4二元一次方程组的解一般地, 使二元一次方程组的两个方程左、 右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做 二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。一般来说,二元一次方程组只有唯一的一个解。注意 :二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的! 也可以由一个 或多个二元一次方程单独组成。重点一元一次、一元二次方程
6、,二元一次方程组的解法 ; 方程的有关应用题(特别是行 程、工程问题 内容提要一、 基本概念 1.方程、方程的解(根 、方程组的解、解方程(组 2. 分类:二、 解方程的依据 等式性质 1. a=ba+c=b+c 2. a=bac=bc (c0三、 解法1.一元一次方程的解法:去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化成 1 解。2. 元一次方程组的解法:基本思想:“ 消元 ” 方法:代入法 加减法四、 一元二次方程 1.定义及一般形式:2.解法:直接开平方法(注意特征 配方法(注意步骤 推倒求根公式 公式法:因式分解法(特征:左边 =0 3.根的判别式:4.根与系数顶的关系:逆定理:若 ,则以
7、 为 根的一元二次方程是:。 5.常用等式:五、 可化为一元二次方程的方程1.分式方程 定义 基本思想:基本解法:去分母法换元法(如, 验根及方法2.无理方程 定义 基本思想:基本解法:乘方法(注意技巧! 换元法(例, 验根及方法3. 简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方 程组都可用代入法解。六、 列方程(组解应用题一概述 列方程(组解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:审题。 理解题意。 弄清问题中已知量是什么, 未知量是什么, 问题给出和涉及的相等关系 是什么。 设元(未知数。直接未知数间接未知数(往往二者兼用。一般来 说,未知数越多
8、,方程越易列,但越难解。用含未知数的代数式表示相关的量。寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出,列方程。一般 地,未知数个数与方程个数是相同的。解方程及检验。答案。综上所述,列方程(组解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程, 在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案。在这个过程中,列方程 起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。二常用的相等关系1. 行程问题(匀速运动 基本关系:s=vt 相遇问题 (同时出发 :+ = ; 追及问题(同时出发:若甲出发 t 小时后,乙才出发,而后在 B 处追上甲,则 水中航行:;2. 配料问题:
9、溶质 =溶液 浓度 溶液 =溶质 +溶剂3.增长率问题:4.工程问题:基本关系:工作量 =工作效率 工作时间(常把工作量看着单位 “1” 。5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化如, “ 多 ” 、 “ 少 ” 、 “ 增加了 ” 、 “ 增加为(到 ” 、 “ 同时 ” 、 “ 扩大为(到 ” 、 “ 扩大了 ” 、 又如,一个三位数,百位数字为 a ,十位数字为 b ,个位数字为 c ,则这个三位数为:1 00a+10b+c,而不是 abc 。四注意从语言叙述中写出相等关系。如, x 比 y 大 3,则 x-y=3或 x=y+3或 x-3=y。又如, x 与 y 的差为 3,则 x-y=3。五注意单位换算如, “ 小时 ”“ 分钟 ” 的换算 ;s 、 v 、 t 单位的一致等。