【优质文档】2015年2017年全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案).pdf

《【优质文档】2015年2017年全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】2015年2017年全国中考二次函数压轴题集锦(附详细答案).pdf（85页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 1如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形， ACB=90 ，AC=BC ，OA=1，OC=4 ， 抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A，B两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 E是直角 ABC斜边 AB上一动点（点 A、B除外） ，过点 E作 x轴的垂线交抛物线于 点 F，当线段 EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使 EFP是以 EF为直角边的直角三角 形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，关于 x 的二次函数 y=x 2+bx+c 的图

2、象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的对称轴与x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，使 PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3） 有一个点 M 从点 A 出发， 以每秒 1 个单位的速度在AB上向点 B运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点 B时， 点 M、N 同时停止运动，问点M、N 运动到何处时， MNB 面积最大，试求出最大面积 3如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象经过 A（1，0） 、B（4，

3、0） 、C（0，2） 三点 （1）求该二次函数的解析式； （2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足DBA= CAO （O是坐标原点），求点 D的坐 标； （3）点 P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA分别交 BC 、y 轴于点 E、F， 若PEB 、CEF的面积分别为 S1、S2，求 S1S2的最大值 4如图 1，已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a、b、c 为常数， a0）的图象过点 O（0，0）和点 A ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） （4，0） ，函数图象最低点M 的纵坐标为，直线 l 的解析式为 y=x （1）求二次函数的解析

4、式； （2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线l ，l 与线段 OA相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交 于点 C，过点 C作 CE x 轴于点 E，把 BCE沿直线 l 折叠，当点 E恰好落在抛物线上点E 时 （图 2） ，求直线 l 的解析式； （3）在（2）的条件下， l 与 y 轴交于点 N，把BON绕点 O逆时针旋转 135 得到 BON ，P 为 l 上的动点，当 PB N 为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标 5如图，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1，0） ，B（5，0）两点 （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点C，作 CD垂直 X轴

5、于点 D，链接 AC ，且 AD=5，CD=8 ，将 RtACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C落在抛物线上时，求m 的值； （3） 在 （2） 的条件下，当点 C第一次落在抛物线上记为点E， 点 P是抛物线对称轴上一点 试 探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点 B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 6如图 1，在平面直角坐标系中， O是坐标原点， 抛物线 y=x 2 x+8与 x 轴正半轴 交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 M，N 分别是 OA，AB的中点， RtCDE RtABO ， 且CDE始终保持边 ED

6、经过点 M，边 CD经过点 N，边 DE与 y 轴交于点 H，边 CD与 y 轴交 于点 G （1）填空： OA的长是，ABO的度数是度； （2）如图 2，当 DE AB，连接 HN 求证：四边形 AMHN 是平行四边形； 判断点 D 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由； （3）如图 3，当边 CD经过点 O 时， （此时点 O 与点 G 重合） ，过点 D 作 DQOB ，交 AB延 长线上于点 Q， 延长 ED到点 K， 使 DK=DN ， 过点 K作 KIOB， 在 KI上取一点 P， 使得 PDK=45 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） （点 P，Q 在

7、直线 ED的同侧） ，连接 PQ，请直接写出 PQ的长 7如图，抛物线 y=x 2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C （6， ）在抛物线上，直线AC与 y 轴交于点 D （1）求 c的值及直线 AC的函数表达式； （2）点 P在 x 轴正半轴上，点Q 在 y 轴正半轴上，连结PQ与直线 AC交于点 M，连结 MO 并延长交 AB于点 N，若 M 为 PQ的中点 求证： APMAON； 设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示） 8抛物线 y=4x 22ax+b 与 x 轴相交于 A（x 1，0） ，B（x2，0） （0x1x

8、2）两点，与 y 轴交于 点 C （1）设 AB=2，tanABC=4 ，求该抛物线的解析式； （2）在（ 1）中，若点 D 为直线 BC下方抛物线上一动点，当BCD的面积最大时，求点D 的坐标； （3）是否存在整数 a，b 使得 1x12 和 1x22 同时成立，请证明你的结论 9如图，抛物线 y=x 22x3 与 x轴交于 A、B两点（点 A 在点 B的左侧） ，直线 l 与抛物线 交于 A，C两点，其中点 C的横坐标为 2 （1）求 A，B两点的坐标及直线 AC的函数表达式； （2）P是线段 AC上的一个动点（P与 A，C不重合） ，过 P点作 y 轴的平行线交抛物线于点E， 求ACE面

9、积的最大值； （3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点N，使四边形 DMNQ的周长最小？若存在， 求 出这个最小值及点M，N 的坐标；若不存在，请说明理由 （4）点 H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、H 四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理 由 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 10如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA与 x轴重合， OAB

10、=90 ， OA=4，AB=2，把 RtOAB绕点 O 逆时针旋转 90 ，点 B旋转到点 C的位置，一条抛物线正好 经过点 O，C，A 三点 （1）求该抛物线的解析式； （2）在 x轴上方的抛物线上有一动点P，过点 P作 x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点 P，点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果 有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由 （3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点N，使 O（原点） 、C、H、N 四点构成 以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由 11如图

11、（1） ，在平面直角坐标系中，矩形ABCO ，B点坐标为（ 4，3） ，抛物线 y=x 2+bx+c 经过矩形 ABCO的顶点 B、 C， D 为 BC的中点，直线 AD与 y 轴交于 E点， 与抛物线 y=x2+bx+c 交于第四象限的 F点 （1）求该抛物线解析式与F点坐标； （2）如图（ 2） ，动点 P从点 C出发，沿线段 CB以每秒 1 个单位长度的速度向终点B运动； 同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动过点 P 作 PHOA，垂足为 H，连接 MP，MH设点 P的运动时间为 t 秒 问 EP +PH+HF是否有最小值？如果有，求出t 的值；

12、如果没有，请说明理由 若 PMH 是等腰三角形，请直接写出此时t 的值 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 12如图，已知直线 y=kx6 与抛物线 y=ax 2+bx+c 相交于 A，B两点，且点 A（1，4）为抛 物线的顶点，点 B在 x 轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使 POB与POC全等？若存在， 求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 Q 是 y 轴上一点，且 ABQ为直角三角形，求点Q 的坐标 13如图 1，在平面直角坐标系xOy中，直线 l：与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B

13、 （0， 1） ，抛物线经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（4，n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0t4） DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F在直 线 l 上，且四边形 DFEG为矩形（如图 2） 若矩形 DFEG的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式 以及 p 的最大值； （3）M 是平面内一点，将 AOB绕点 M 沿逆时针方向旋转90 后，得到 A1O1B1，点 A、O、 B 的对应点分别是点A1、O1、B1若 A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的横坐标 14如图，四边形 ABCD是边长

14、为 4 的正方形，动点 P、Q同时从 A 点出发，点 P沿 AB以每 秒 1 个单位长度的速度向终点B运动点 Q 沿折线 ADC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 运动，设运动时间为t 秒 （1）当 t=2 秒时，求证： PQ=CP ； （2）当 2t4 时，等式 “PQ=CP ”仍成立吗？试说明其理由； （3） 设CPQ的面积为 S， 那么 S与 t 之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD 面积的一半？为什么？ 15如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+x+2与 x 轴交于 A，B两点（点 A 在点 B的

15、左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求直线 BC的解析式； （2）点 D 是线段 BC中点，点 E是 BC上方抛物线上一动点，连接CE ，DE当 CDE的面积 最大时，过点 E作 y 轴垂线，垂足为F，点 P为线段 EF上一动点，将 CEF绕点 C沿顺时针 方向旋转 90 ，点 F，P，E的对应点分别是 F ，P ，E ，点 Q从点 P出发，先沿适当的路径运 动到点 F 处，再沿 FC 运动到点 C处，最后沿适当的路径运动到点P 处停止求CDE面积的 最大值及点 Q 经过的最短路径的长； （3）如图 2，直线 BH经过点 B 与 y 轴交于点 H（0，3）动点 M 从 O 出发沿 OB方向以

16、每秒 1 个单位长度向点 B 运动，同时动点N 从 B 点沿 BH 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点H 运动，当点 N 运动到 H 点时，点 M，点 N 同时停止运动，设运动时间为t运动过程中，过 点 N 作 OB的平行线交 y 轴于点 I，连接 MI，MN，将 MNI 沿 NI 翻折得 M NI ，连接 HM ， 当M HN为等腰三角形时，求t 的值 16如图 1，直线与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，经过 B、C两点的抛物线与x 轴的另一交点坐标为A（1，0） ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） （1）求 B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式

17、； （2）P在线段 BC上的一个动点（与 B、C不重合） ，过点 P作直线 ay 轴，交抛物线于点 E， 交 x 轴于点 F，设点 P的横坐标为 m，BCE的面积为 S 求 S与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； 求 S的最大值，并判断此时 OBE的形状，说明理由； （3）过点 P作直线 bx 轴（图 2） ，交 AC于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得 PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由 17已知正方形 OABC的边 OC 、OA分别在 x、y 轴的正半轴上，点B坐标为（ 10，10） ，点 P 从 O出发沿 O C B 运动

18、，速度为 1 个单位每秒，连接AP设运动时间为 t （1）若抛物线 y=（xh）2+k 经过 A、B两点，求抛物线函数关系式； （2）当 0t10 时，如图 1，过点 O 作 OHAP于点 H，直线 OH交边 BC于点 D，连接 AD， PD，设 APD的面积为 S，求 S的最小值； （3）在图 2 中以 A 为圆心， OA长为半径作 A，当 0t20 时，过点 P作 PQx 轴（Q在 P的上方） ，且线段 PQ=t+12： 当 t 在什么范围内，线段PQ 与A 只有一个公共点？当t 在什么范围内，线段PQ与A 有两个公共点？ 请将中求得的t 的范围作为条件，证明：当t 取该范围内任何值时，线

19、段PQ与A 总有 两个公共点 18如图，二次函数y=x 24x 的图象与 x 轴、直线 y=x 的一个交点分别为点 A、B，CD是线 段 OB上的一动线段，且CD=2 ，过点 C、D 的两直线都平行于y 轴，与抛物线相交于点F、E， 连接 EF （1）点 A 的坐标为，线段 OB的长=； （2）设点 C的横坐标为 m 当四边形 CDEF 是平行四边形时，求m 的值； 连接 AC 、AD，求 m 为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 19如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c0）的图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A

20、在点 B的 左侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3 ，顶点为 M （1）求二次函数的解析式； （2）点 P为线段 BM 上的一个动点，过点P作 x轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQ=m，四边形 ACPQ的面积为 S ，求 S关于 m 的函数解析式，并写出m 的取值范围； （3）探索：线段 BM 上是否存在点 N，使 NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐 标；如果不存在，请说明理由 20如图，抛物线y=x 2+mx+n 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C两点，连 接 AC，BC ，已知 A（0，3） ，C（3，0） （）求抛物线的解析式和tan

21、BAC的值； （）在（）条件下： （1）P为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点 P作 PQPA交 y 轴于点 Q，问：是否存 在点 P使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与 ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 （2）设 E为线段 AC上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE以每 秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？ 21如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c（a0）的顶点为 B（2，1） ，且过点 A （0，

22、2） ，直线 y=x与抛物线交于点 D，E （点 E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EF x 轴，垂足为 F，点 P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQx 轴，垂足为点 Q，PCQ为等边三角形 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） （1）求该抛物线的解析式； （2）求点 P的坐标； （3）求证： CE=EF ； （4）连接 PE ，在 x 轴上点 Q 的右侧是否存在一点M，使 CQM与CPE全等？若存在，试 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 注：3+2=（+1）2 22阅读理解 抛物线 y=x2上任意一点到点（ 0，

23、1）的距离与到直线y=1 的距离相等，你可以利用这一 性质解决问题 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y=x2的图象交于 A，B 两点，分别过 A，B 两点作直线 y=1 的垂线，交于 E ，F两点 （1）写出点 C的坐标，并说明 ECF=90 ； （2）在 PEF中，M 为 EF中点， P为动点 求证： PE 2+PF2=2（PM2+EM2） ； 已知 PE=PF=3 ， 以 EF为一条对角线作平行四边形CEDF ， 若 1PD 2，试求 CP的取值范围 23已知抛物线经过A（3，0） ，B（1，0） ，C（2，）三点，其对称轴交x 轴于点

24、 H，一 次函数 y=kx+b（k0）的图象经过点 C，与抛物线交于另一点D（点 D 在点 C的左边） ，与抛 物线的对称轴交于点E （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当 SEOC=SEAB时，求一次函数的解析式； （3）如图 2，设CEH= ，EAH= ，当 时，直接写出 k 的取值范围 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 24如图 1，已知直线 EA与 x 轴、y 轴分别交于点 E和点 A（0，2） ，过直线 EA上的两点 F、 G分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和 N（n，0） ，其中 m0，n0 （1）如果 m=4，n=1，试判断 AM

25、N 的形状； （2）如果 mn=4， （1）中有关 AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不 成立，请说明理由； （3）如图 2，题目中的条件不变，如果mn=4，并且 ON=4，求经过 M、A、N 三点的抛物 线所对应的函数关系式； （4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段 AN交于点 P，点 Q是对称轴上一动点， 以点 P、Q、N 为顶点的三角形和以点M、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q 的 坐标 25如图，二次函数与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴交于 C点，点 P从 A 点出发， 以 1 个单位每秒的速度向点B运动，点 Q同时从 C点出发，以相同

26、的速度向y 轴正方向运动， 运动时间为 t 秒，点 P到达 B 点时，点 Q 同时停止运动设PQ交直线 AC于点 G （1）求直线 AC的解析式； （2）设 PQC的面积为 S ，求 S关于 t 的函数解析式； （3）在 y 轴上找一点 M，使 MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M 点的坐标； （4）过点 P作 PE AC，垂足为 E，当 P点运动时，线段 EG的长度是否发生改变，请说明理 由 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 26如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与 x 轴交于 A （1，0） 、 B（3，0）两点，顶点为 C （1）

27、求此二次函数解析式； （2）点 D 为点 C关于 x 轴的对称点，过点A 作直线 l：交 BD于点 E，过点 B作 直线 BK AD交直线 l 于 K点 问： 在四边形 ABKD的内部是否存在点 P， 使得它到四边形 ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（ 2）的条件下，若M、N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结DN、NM、 MK，求 DN+NM+MK 和的最小值 27如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形 OABC的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上， OA=AB=2 ，OC=3 ，过点 B作

28、BDBC ，交 OA于点 D将DBC绕点 B 按 顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E和 F （1）求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q 在点 P 的上方） ，且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出P、Q 两点的坐标 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 28如图，已知抛物线与x 轴交于点 A（2，0） ，B（4，0） ，与 y 轴交于点 C （0，） （1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标； （2）设直线 CD

29、交 x轴于点 E，过点 B作 x 轴的垂线，交直线CD于点 F，在直线 CD的上方， y 轴及 y轴的右侧的平面内找一点G，使以点 G、F、C为顶点的三角形与 COE相似，请直接 写出符合要求的点G 的坐标； （3）如图，抛物线的对称轴与x 轴的交点 M，过点 M 作一条直线交 ADB于 T，N 两点， 当 DNT=90 时，直接写出的值； 当直线 TN绕点 M 旋转时， 试说明： DNT的面积 SDNT=DN?DT ； 并猜想：的值是否是定值？说明理由 29如图， RtABC中，B=90 CAB=30 ，AC x 轴它的顶点 A 的坐标为（ 10，0） ，顶 点 B 的坐标为，点 P 从点

30、A 出发，沿 ABC 的方向匀速运动，同时点Q 从点 D （0，2）出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点P到达点 C时，两点同时停止运动，设 运动的时间为 t 秒 （1）求 BAO的度数 （直接写出结果） （2）当点 P 在 AB 上运动时， OPQ的面积 S与时间 t（秒）之间的函数图象为抛物线的一 部分（如图），求点 P的运动速度 （3）求题（ 2）中面积 S与时间 t 之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标 （4）如果点 P，Q保持题（ 2）中的速度不变，当t 取何值时， PO=PQ ，请说明理由 30如图，已知直线 l：y= x+2 与 y 轴交于点 D，过直线 l 上

31、一点 E作 EC丄 y 轴于点 C，且 C 点坐标为（ 0，4） ，过 C、E两点的抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B两点（点 A 在点 B的 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 左侧） （1）求抛物线的解析式： （2）动点 Q从点 C出发沿线段 CE以 1 单位/秒的速度向终点 E运动，过点 Q作 QFED于点 F，交 BD于点 H，设点 Q运动时间为 t 秒，DFH的面积为 S ，求出 S与 t 的函数关系式（并 直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）若动点 P为直线 CE上方抛物线上一点，连接PE ，过点 E作 EMPE交线段 BD于点 M，

32、 当PEM是等腰直角三角形时，求四边形PMBE的面积 31已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c（a0，且 a，b，c 为常数）的对称轴为： 直线 x=，与 x 轴分别交于点 A、点 B，与 y 轴交于点 C（0，） ，且过点（ 3，5） ，D 为 x 轴正半轴上的动点， E为 y 轴负半轴上的动点 （1）求该抛物线的表达式； （2）如图 1，当点 D为（3，0）时，DE交该抛物线于点 M，若 ADC= CDM，求点 M 的坐 标； （3）如图 2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED与新抛物线仅有唯一交 点 Q 时，y 轴上是否存在一个定点P使 PE=PQ ？若存

33、在，求出点P 的坐标；若不存在，请说 明理由 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 参考答案与试题解析 一解答题（共31 小题） 1 （2017 秋?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形， ACB=90 ， AC=BC ，OA=1，OC=4 ，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A，B两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 E是直角 ABC斜边 AB上一动点（点 A、B除外） ，过点 E作 x轴的垂线交抛物线于 点 F，当线段 EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使 EFP是以 EF为直角边的

34、直角三角 形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 HF：二次函数综合题 【专题】 151：代数综合题； 32 ：分类讨论 【分析】 （1）根据 AC=BC ，求出 BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求 得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含 m 的式表示出 E，F的坐标，求出 EF的长 度最大时 m 的值，即可求得 E，F的坐标； （3）分两种情况： E90 和F=90 ，分别得到点P 的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析 式，即可求得点 P的值 【解答】 解： （1）OA=1，OC=4 ，AC=BC ， BC=5 ， A（1

35、，0） ，B（4，5） ， 抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A，B两点， ，解得：， y=x 22x3； （2）设直线 AB解析式为： y=kx+b， 直线经过点 A，B 两点， ，解得：， 直线 AB的解析式为： y=x+1， 设点 E的坐标为（ m，m+1） ，则点 F（m，m22m3） ， EF=m +1m2+2m+3=m2+3m+4=（m）2+， 当 EF最大时， m=， 点 E（，） ，F（，） ； （3）存在 当 FEP=90 时，点 P的纵坐标为， ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 即 x22x3=，解得： x1=，x2=， 点 P1（，） ，P

36、2（，） ， 当 EFP=90 时，点 P的纵坐标为， 即 x22x3=，解得： x1=，x2=（舍去） ， 点 P3（，） ， 综上所述， P1（，） ，P2（，） ，P3（，） 【点评】 本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分E=90 和 F=90 两种情况 2 （2017 秋?鄂城区期中）如图，关于x 的二次函数 y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 和点 B，与 y 轴交于点 C（0，3） ，抛物线的对称轴与x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点 P，使 PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；

37、（3） 有一个点 M 从点 A 出发， 以每秒 1 个单位的速度在AB上向点 B运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点 B时， 点 M、N 同时停止运动，问点M、N 运动到何处时， MNB 面积最大，试求出最大面积 【考点】 HF：二次函数综合题 【专题】 16 ：压轴题 【分析】 （1）代入 A（1，0）和 C（0，3） ，解方程组即可； （2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到BC ，当 PBC为等腰三角形时分三种情况进行 讨论： CP=CB ；BP=BC ；PB=PC ； （3）设 AM=t 则 DN=2t，由

38、 AB=2，得 BM=2t，S MNB=（2t）2t=t 2+2t，运用二 次函数的顶点坐标解决问题；此时点 M 在 D点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x轴下方 2 个单位处 【解答】 解： （1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x 2+bx+c， 解得： b=4，c=3， 二次函数的表达式为： y=x 24x+3； （2）令 y=0，则 x24x+3=0， 解得： x=1或 x=3， B（3，0） ， BC=3， 点 P在 y 轴上，当 PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ）

39、 ） 当 CP=CB 时，PC=3，OP=OC +PC=3 +3或 OP=PC OC=33 P1（0，3+3） ，P2（0，33） ； 当 BP=BC 时，OP=OB=3 ， P3（0，3） ； 当 PB=PC 时， OC=OB=3 此时 P与 O 重合， P4（0，0） ； 综上所述，点 P的坐标为：（0，3+3）或（ 0，33）或（ 0，3）或（ 0，0） ； （3）如图 2，设 A 运动时间为 t，由 AB=2，得 BM=2t，则 DN=2t， SMNB= （2t）2t=t2+2t=（t1） 2+1， 即当 M（2，0） 、N（2，2）或（ 2，2）时 MNB 面积最大，最大面积是1 【

40、点评】 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形 的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键 3 （2017?泸州）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象经过 A（1，0） 、B （4，0） 、 C（0，2）三点 （1）求该二次函数的解析式； （2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足DBA= CAO （O是坐标原点），求点 D的坐 标； （3）点 P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA分别交 BC 、y 轴于点 E、F， 若PEB 、CEF的面积分别为 S1、S2，求 S1S2的最大值 ） ）

41、） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 【考点】 HF：二次函数综合题 【专题】 16 ：压轴题 【分析】 （1）由 A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）当点 D 在 x轴上方时，则可知当CD AB时，满足条件，由对称性可求得D 点坐标；当 点 D 在 x 轴下方时，可证得BDAC ，利用 AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直 线 BD和抛物线的解析式可求得D 点坐标； （3）过点 P作 PH y 轴交直线 BC于点 H，可设出 P 点坐标，从而可表示出PH的长，可表 示出 PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F 点的坐标，联

42、立直线BC和 PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出CEF的面积，再利用二次函数的性质可 求得 S1S2的最大值 【解答】 解： （1）由题意可得，解得， 抛物线解析式为y=x2+x+2； （2）当点 D 在 x 轴上方时，过 C作 CD AB交抛物线于点 D，如图 1， A、B关于对称轴对称， C、D关于对称轴对称， 四边形 ABDC为等腰梯形， CAO= DBA ，即点 D 满足条件， D（3，2） ； 当点 D 在 x 轴下方时， DBA=CAO ， BDAC ， C（0，2） ， 可设直线 AC解析式为 y=kx+2，把 A（1，0）代入可求得 k=2， 直线 AC解析式为 y

43、=2x+2， ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 可设直线 BD解析式为 y=2x+m，把 B（4，0）代入可求得 m=8， 直线 BD解析式为 y=2x8， 联立直线 BD和抛物线解析式可得，解得或， D（5，18） ； 综上可知满足条件的点D 的坐标为（ 3，2）或（ 5，18） ； （3）过点 P作 PH y 轴交直线 BC于点 H，如图 2， 设 P（t，t 2+ t+2） ， 由 B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为 y=x+2， H（t，t+2） ， PH=yPyH=t 2+ t+2（ t+2）=t 2+2t， 设直线 AP的解析式为 y=px+q，

44、 ，解得， 直线 AP的解析式为 y=（t+2） （x+1） ，令 x=0可得 y=2t， F（0，2t） ， CF=2 （2t）=t， 联立直线 AP和直线 BC解析式可得，解得 x=，即 E点的横坐标为， S1=PH（xBxE）=（t2+2t） （4） ，S2=?， S1S2=（t2+2t） （4）?=t 2+4t= （t）2+， 当 t=时，有 S1S2有最大值，最大值为 【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面 积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用， 在（2）中确定出 D 点的位置是解题的关键，在（3）

45、中用 P点的坐标分别表示出两个三角形 的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大 ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） 4 （2017?南充）如图 1，已知二次函数y=ax 2+bx+c（a、b、c 为常数， a0）的图象过点 O （0，0）和点 A（4，0） ，函数图象最低点M 的纵坐标为，直线 l 的解析式为 y=x （1）求二次函数的解析式； （2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线l ，l 与线段 OA相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交 于点 C，过点 C作 CE x 轴于点 E，把 BCE沿直线 l 折叠，当点 E恰好落在抛

46、物线上点E 时 （图 2） ，求直线 l 的解析式； （3）在（2）的条件下， l 与 y 轴交于点 N，把BON绕点 O逆时针旋转 135 得到 BON ，P 为 l 上的动点，当 PB N 为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标 【考点】 HF：二次函数综合题 【专题】 16 ：压轴题 【分析】 （1）由题意抛物线的顶点坐标为 （2，） ，设抛物线的解析式为y=a （x2）2， 把（0，0）代入得到 a= ，即可解决问题； （2）如图 1 中，设 E（m，0） ，则 C （m，m2m） ，B（m2+m，0） ，由 E、B关于 对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题； （3）分两种情形求解即

47、可当P1与 N 重合时，P1BN是等腰三角形， 此时 P1（0，3） 当 N =N B时，设 P（m，m3） ，列出方程解方程即可； 【解答】 解： （1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，） ，设抛物线的解析式为y=a（x2） 2 ， 把（0，0）代入得到 a= ， 抛物线的解析式为y=（x2）2，即 y=x2x （2）如图 1 中，设 E（m，0） ，则 C（m，m2m） ，B（m2+m，0） ， ） ） ） ） ） ） ） 、 ） ） ） ） ） ） ） ） E 在抛物线上，易知四边形EBE C 是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴， E、B 关于对称轴对称， =2， 解得 m=1或 6（舍弃） ， B（3，0） ，C （1，2） ， 直线 l 的解析式为 y=x3 （3）如图 2 中， 当 P1与 N 重合时， P1BN是等腰三角形，此时P1（0，3） 当 N =N B时，设 P（m，m3） ， 则有（ m）2+（m3） 2=（3 ） 2， 解得 m=或， P2（，） ，P3（，） 综上所述，满足条件的点 P坐标为（0， 3） 或 （，） 或 （， ） 【点评】 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公 式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问