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1、学习必备欢迎下载 相似三角形的应用举例 1.（ 2011 浙江金华， 9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m B.500m C.400m D.300m 北 环城路 曙 光 路 西安路 南京路 书店 八 一 街 400m 400m 300m 【答案】 B 2. （ 2011 浙江丽水， 9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m
2、 B.500m C.400m D.300m 北 环城路 曙 光 路 西安路 南京路 书店 八 一 街 400m 400m 300m 【答案】 B 3. （ 2011 湖南怀化， 21，10 分）如图 8，ABC, 是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边 BC上的高， BC=40cm,AD=30cm, 从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽 HE的 2 倍的矩形EFGH ， 使它的一边EF在 BC上，顶 点 G、H分别在 AC，AB上， AD与 HG的交点为M. (1) 求证：; AMHG ADBC (2) 求这个矩形EFGH 的周长 . 学习必备欢迎下载 【答案】 (1) 解：四边形EFGH 为矩形 E
3、F GH AHG= ABC 又 HAG= BAC AHG ABC ; AMHG ADBC （2）由（ 1）得 ; AMHG ADBC 设 HE=x ，则 HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得 40 2 30 30xx ，解得， x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2（ 12+24）=72cm. 4. （ 2011 上海， 25，14 分）在RtABC中，ACB=90，BC=30，AB=50点P是AB边上任意一点，直 线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin EMP=12 13 （1）如图 1，当点E与点C重合
4、时，求CM的长； （2）如图 2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系 式，并写出函数的定义域； （3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的 顶点E、N、B对应） ，求AP的长 图 1 图 2 备用图 【答案】（ 1）ACB=90，AC= 22 ABBC= 22 5030=40 S= 1 2 AB CP= 1 2 AC BC, CP= AC BC AB = 4030 50 =24 在 RtCPM中， sin EMP=12 13 ， 12 13 CP CM 学习必备欢迎下载 CM= 13 12 CP= 13 24 12 =26 （2
5、）由APEACB，得 PEAP BCAC ，即 3040 PEx ，PE= 3 4 x 在 RtMPE中， sin EMP=12 13 ， 12 13 PE ME EM= 13 12 PE= 133 124 x= 13 16 x PM=PN= 22 MEPE= 22 133 164 xx = 5 16 x AP+PN+NB=50，x+ 5 16 x+y =50 y = 21 50 16 x(0 x 32) （3） 第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。 本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下： 当点E在线段
6、AC上时， AMEENB， AMME ENNB EM=EN， 2 EMAMNB设AP=x，由（ 2）知EM= 13 16 x， AM=xPM= 511 1616 xxx，NB= 21 50 16 x 2 131121 (50) 161616 xxx 解得x1=22，x2=0（舍去） 即AP=22 当点E在线段BC上时， 根据外角定理，ACEEPM， 12 5 ACEP CEMP CE= 5 12 AC= 50 3 设AP=x，易得BE= 5 (50) 3 x， CE=30 5 (50) 3 x 30 5 (50) 3 x= 50 3 解得x=42即AP=42 学习必备欢迎下载 AP的长为 22
7、 或 42 5. （ 2011 四川绵阳25，14） 已知ABC是等腰直角三角形，A=90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线， 垂足为E,如图 1. (1) 若BD是AC的中线，如图2，求 BD CE 的值； (2) 若BD是ABC的角平分线，如图3，求 BD CE 的值； (3) 结合（ 1) 、 （ 2) ，请你推断 BD CE 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 BD CE 的值能小于 4 3吗？ 若能，求出满足条件的D点的位置 ；若不能，请说明理由. D B C A E B D C A E D B C A E 【答案】 (1) 设 AD=x,则
8、AB=2x,根据勾股定理，可得 BD= 5x, ABD CDE, BDAB CECD , 可得 CE= 2 5 x, 所以 BD CE =5 2 （2）设 AD=x,根据角平分线定理，可知DC= 2x， AB= 2x+x, 由 勾股定理可知BD= （4+22）x2 ABD CDE ， 12 1 ABEC ADDE , EC= 2 22 x , BD CE =2, (3) 由前面两步的结论可以看出，1 BD CE , 所以这样的点是存在的，D在 AC边的五等分点和点A之间 6. （ 2011 湖北武汉市， 24，10 分） （本题满分10 分） （1）如图 1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB
9、，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证： QC PE BQ DP （2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE 于M，N两点 如图 2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； 学习必备欢迎下载 如图 3，求证MN 2=DM EN 【答案】（1）证明：在ABQ中，由于DPBQ， ADPABQ， DP/BQAP/AQ 同理在ACQ中，EP/CQAP/AQ DP/BQEP/CQ （2） 9 2 （3）证明：BC=90，CEFC=90 B=CEF， 又BGD=EFC， BGDEFC DG/CFBG/EF， DG EFCF BG 又DG GF EF，GF 2 CF BG 由（ 1）得DM/BG MN/GF EN/CF（MN/GF）2(DM/BG) (EN/CF) MN 2 DM EN