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1、学习必备欢迎下载 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型 1：设 f(x)=ax+b f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf . 例1. 设 y=(log2x) 2+(t-2)log 2x-t+1,若 t 在-2,2上变化， y 恒取正值，求实数x 的取值范围。 解：设 f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x) 2-2log 2x+1， t-2,2 问题转化为： f(t)0 对 t -2,2恒成立 0)2( 0)2( f f 01)(log 03log4)(log 2 2 2 2 2 x xx
2、0x 2 1 或 x8。 故实数 x 的取值范围是（0， 2 1 ）（ 8，+） 。 例 2.对于-1a1, 求使不等式 ( 2 1 ) axx2 0 在 a-1,1上恒成立 ,则须满足 0) 1( 0) 1( f f 023 0 2 2 xx xx x2 或 x0 故实数的取值范围是(- ,0) (2,+). 类型 2：设 f(x)=ax 2+bx+c (a 0) f(x) 0 在 xR上恒成立a 0 且 0; f(x) 0 在 xR上恒成立a 0 且 0. 说明： .只适用于一元二次不等式 .若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例 3. 不等式 364 22 2 2 xx mmxx
3、 1 对一切实数x 恒成立，求实数m的取值范围。 解：由 4x 2+6x+3=(2x+ 2 3 ) 2+ 4 3 0, 对一切实数x 恒成立，从而，原不等式等价于 2x 2+2mx+m 4x2+6x+3, (x R) 即： 2x 2+(6-2m)x+(3-m) 0 对一切实数x 恒成立。 则 =（6-2m） 2-8(3-m) 0 解得： 1m 3 故实数 m的取值范围是（1，3） 。 类型 3：设 f(x)=ax 2+bx+c (a 0) （ 1）当 a0 时 学习必备欢迎下载 f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 2 mf m a b 或 o n a b m 2 或 0)( 2 nf
4、n a b 0)( 2 mf m a b 或 0 或 0)( 2 nf n a b . f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf . （ 2）当 a0 时 f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 0)( nf mf f(x) 0 在 xnm,上恒成立 0)( 2 mf m a b 或 o n a b m 2 或 0)( 2 nf n a b 0)( 2 mf m a b 或 0 或 0)( 2 nf n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型 4：af(x) 恒成立对xD恒成立af(x) max， af(x)对 x D恒成立af(x) min. 说明： .
5、f(x) 可以是任意函数 .这种思路是：首先是-分离变量，其次用-极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存 在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。 例 4.（2000.上海）已知f(x)= x axx2 2 0 在 x, 1上恒成立，求实数a 的取值范围。 分析 1：当 x,1时， f(x) 0 恒成立，等价于x 2+2x+a 0 恒成立 , 只需求出 g(x)= x 2+2x+a 在 , 1上的最小值，使最小值大于0 即可求出实数a 的取值范围。 解法 1：f(x)= x axx2 2 0 对 x , 1恒成立 学习必备欢迎下载 x 2+2x+a0 对 x , 1恒成立
6、。 设 g(x)= x 2+2x+a x ,1 问题转化为：g(x) min 0 g(x)= x 2+2x+a=(x+1)2+a-1, x , 1 g(x) 在, 1上是增函数。 g(x) min=g(1)=3+a 3+a0 a -3 即所求实数a 的取值范围为a -3。 分析 2 ：分离变量，转化为af(x)或 af(x)恒成立问题， 然后利用极端值原理：af(x) 恒成立af(x) max af(x) 恒成立af(x) min. 解法 2：f(x)= x axx2 2 0 对 x , 1恒成立 x 2+2x+a0 对 x , 1恒成立。 a -（x 2+2x）对 x , 1恒成立。 设(x
7、)= -（x 2+2x） x , 1 问题转化为：a(x) max (x)= -（x 2+2x）=-(x+1)2+1 x , 1 (x) 在, 1上是减函数。 (x) max= (1)=-3 a -3 即所求实数a 的取值范围为a -3。 例 5.已知 x1 ,时, 不等式 1+2 x+(a-a2).4x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。 分析：要求a 的取值范围，如何构造关于a 的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的。 解：设 2x=t, x 1 , t2, 0 原不等式可化为：a-a 2 2 1 t t . 要使上式对t2, 0恒成立，只需： 学习必备欢迎下载 a-a 2（ 2
8、1 t t ） max. t 2 ,0 2 1 t t =-( 2 11 t ) 2+ 4 1 由 , 2 11 t （ 2 1 t t ） m a x =- 4 3 a-a 2- 4 3 即： 4a2-4a-30 从而 - 2 1 a 2 3 类型 5： .f(x)g(x) 对任意 xD恒成立 . f (x1)g(x2) 对任意 x1、x2D恒成立 例 6 已知 f(x)=-x 3+ax,其中 aR，g(x)=- 2 1 x 2 3 ，且 f(x)g(x) 在 x1 , 0上恒成立，求实数a 的取值范围。 分析：有的同学把“f(x)g(x) 在 x1 ,0上恒成立”转化为： “当 x1 ,0
9、时， f(x) max g（x） min,”然后求出 a 的取值范围。这种方法对吗？ 我们先来看一个例子，如图，当x0 ，1时，f(x) m ax =0， g（x）min= - 2 1 ，并不满足f(x) max g（x） min 显然这种转化方式是不对的。错在哪里呢？原因在于用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是x 的函数 关系式。而此题解法中的不等式，两边都是关于x 的函数关系式，所以上面这种转化方式是错的。 正确的方法是先分离变量，再利用极端值原理。 解： f(x)g(x) 在 x1 ,0上恒成立 -x 3+ax+ 2 1 x 2 3 0 对 x1 ,0恒成立 a x 2- 2
10、1 x 2 1 对 x1 ,0恒成立 设 h(x)= x 2- 2 1 x 2 1 x 1 ,0 2 1 1 g(x)=-x+ 2 1 f(x)=-2x 2 学习必备欢迎下载 问题转化为：ah(x) min h / (x)=2x- x4 1 = x xxx 4 124.12 由 h / (x)=0 ，得 x= 4 1 当 x 4 1 ,0时h (x) 0，h(x)在 4 1 ,0递减。 当 x 1 , 4 1 时h (x) 0，h(x)在1 , 4 1 递减。 h(x) 在 x= 4 1 时取最小值，h(x) m in= 16 3 a 16 3 例 7. 已知两个函数f(x)=8x 2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x, 其中 k R （1）若对任意的x-3,3,都有 f(x)g(x) 成立，求k 的取值范围； （2）若对任意的x 21,x -3,3,都有 f(x 1) g(x 2 ) ，求 k 的取值范围。 方法： .“f(x)g(x) 对任意 xD恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得。 .“ f (x1) g(x2) 对任意 x1、x2D恒成立”f(x) min max )(xg