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1、学习必备欢迎下载 九年级数学竞赛 - 二次函数的图像与性质 一、内容概述 二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结 1定义： 形如函数 2 (0)yaxbxc a称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域. 2图像 二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向 左、向右对称取点. 3性质 对 2 (0)yaxbxc a的图像来讲， （1）开口方向：当0a时，抛物线开口向上；当0a时，抛物线开口向下。 （2）对称轴方程： 2 b x a （3）顶点坐标： 2 4 , 24 bacb aa （4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若 2 40bac，则抛物
2、线与x轴没有交点；若 2 40bac，则抛物线与x轴有一个交点； 若 2 40bac，则抛物线与x轴有两个交点，分别为 2 4 (,0) 2 bbac a ， 2 4 (,0) 2 bbac a ； 另外，抛物线与y轴的交点为0,c. （5）抛物线在x轴上截出的距离为： 22 bb aaa （6）y与x的增减关系： 当0a， 2 b x a 时，y随x的增大而增大， 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 当0a， 2 b x a 时，y随x的增大而减小， 2 b x a 时，y随x的增大而增大. （7）最值： 当0a时，y有最小值，当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最小
3、值 ； 当0a时，y有最大值，当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最大值 （8）若抛物线与x轴两交点的横坐标为 1 x、 2 x（ 12 xx） ，则： 当0a时， 12 xxx时，0y； 12 xxxx或时，0y； 当0a时， 12 xxx时，0y； 12 xxxx或时，0y. 4求解析式 抛物线的解析式常用的有三种形式： （1）一般式： 2 (0)yaxbxc a （2）顶点式： 2 ()(0)ya xhk a，其中( , )h k是抛物线的顶点坐标。 （3）交点式： 12 ()()(0)ya xxxxa，交点式只在抛物线与x轴有交点时才用到，式中 1 x、 2 x是 抛
4、物线与x轴交点的横坐标。 解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。 学习必备欢迎下载 二、例题解析 例 1设抛物线为 2 1yxkxk，根据下列各条件，求k的值。 （1）抛物线的顶点在x轴上； （2）抛物线的顶点在 y轴上； （3）抛物线的顶点1, 2； （4）抛物线经过原点； （5）当1x时，y有最小值； （6）y的最小值为1. 解： （1）2k； （2）0k； （3）1k； （4）1k； （5）2k； （6）0k或4k 例 2 设直线ykxb与抛物线 2 yax的两个交点的横坐标分别为 1 x和 2 x，且直线与x轴交点的横 坐标为 3 x，求证： 123 111
5、xxx . 解：由题意得 1 x和 2 x为方程 2 kxbax的两个根，即 2 0axkxb， 12 k xx a ， 12 b x x a 12 1212 11xxk xxx xb 直线与x轴交点的横坐标为： 3 k x b 3 1b xk 123 111 xxx 例 3 二次函数 2 yaxbxc，当 1 2 x时，有最大值25，而方程 2 0axbxc的两根、， 满足 33 19，求a、b、c。 解：设二次函数 2 ()(0)ya xhk a， 当 1 2 x时，有最大值25，即：顶点为 1 ,25 2 2211 ()2525 24 ya xaxaxa 由已知得： 2 1 250 4
6、axaxa的两根为、，满足 33 19 2 () ()319 根据两根之和与两根之积的关系解得4a 2 4424yxx，即4a，4b，24c. 例 4 证明：无论a取任何实数值时，抛物线 211 (1) 24 yxaxa是通过一个定点，而且这些抛 物线的顶点都在一条确定的抛物线上。 证明： 222111111 (1)()()() 244222 yxaxaxxa xxa x 当 1 2 x时， 1 ()0,0 2 a xy 即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M 1 ,0 2 学习必备欢迎下载 又 2 22 1111 (1) 2424 a yxaxaxa 故抛物线的顶点坐标为 2 11 ,
7、24 a a 即 2 1 2 1 4 a x ya ，消去a得， 2 1 () 2 yx 这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上. 例 5 已知抛物线 2 (0)yaxbxc a过0,4 , 2, 2两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短 时，求这时的抛物线解析式。 解：抛物线过0,4 , 2, 2两点，代入解析式得23,4bac 所以 22 (23)4yaxbxcaxax 此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为 2 2 2316 49 4(0) aa a aaa 当 142 299a ，即 9 2 a时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将 9 2 a代入23ba，得 12b
8、抛物线的解析式是 2 9 124 2 yxx 例 6 如果二次函数 2 yaxbxc的图像的顶点坐标是2,4，且直线4yx依次与y轴和抛物 线相交于 P、Q、R 三点， PQ:QR=1:3，求这个二次函数解析式。 解：图像的顶点坐标是2,4，所以可设 2 (2)4ya x（1） P 点的坐标是0,4，设 Q、R 点的坐标为 11 ,xy和 22 ,xy，则 11 4yx， 22 4yx 2222 11111 (0)(4)2PQxyxxx， 22 222 (0)(4)2PRxyx PQ:QR=1:3 且 P 在 QR 之处， PQ:PR=PQ :（ PQ+QR） 1:4 即 1 2 x: 2 2
9、 x=1:4, 2 x=4 1 x（2） 又 12 ,x x是抛物线与直线交点的横坐标 22 (2)44,4(41)40a xxaxaxa 2 41 (4)0 a a xx a 由韦达定理，得 12 12 4 41 xx a xx a 由（ 3）得， 12 ,x x同号，再由（2） ，得 21 4xx 12 1,4xx，从（ 4）得1a或 1 9 a 2 48yxx或 2 1432 999 yxx （3） （4） 学习必备欢迎下载 例 7 已知：抛物线 2 yxpxq交x轴于点 A、B，交y轴于点 C，又 ACB=9 0,tan CAO tan CBO 2. （ 1）求抛物线的解析式。 （ 2
10、）设平行于x轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN 为直径且与x轴相切的圆？如果不存 在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。 分析： （1）欲求抛物线的解析式，即求 p、q 的值， 一方面， p、q与方程 2 0xpxq的两根有联系， 另一方面q 等于线段OC 的长，而 2 OCOAOB,且OA、OB又是方程 2 0xpxq的两根的绝 对值，这就使p 与 q 能建立联系，从中求出p、q； （ 2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴 上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。 解 （1）设 A、B 两点的横坐标分别为 12 ,x x，则 12 ,x
11、x是方程 2 0xpxq的两个根， 且 12 0xx， 12 xxp， 12 0x xq 在 Rt ABC中， OC为斜边 AB上的高， 2 12 OCOA OBx xq 又 22 OCq 2 qq 因为抛物线不经过原点，0,1qq故 由三角函数的定义和 12 0xx，易得： tan CAO 1 1OC AOx tanCBO 2 1OC BOx 由题设，得 12 1212 11 2 xx xxx x ，则12122xxx x 1212 ,1xxp x xqp2 故抛物线得解析式为 2 21yxx （2）设点 M、N 的坐标为 34 ,x rx r，则 34 ,xx是方程 2 21rxx，即 2
12、 210xxr的 两个根。 3434 2,1xxx xr 2 343434 ()444(1)2 2MNxxxxx xrr 圆与x轴相切（假设圆存在） 1 2 MNr，即2rr 解方程得： 12 12rr或 所求圆的半径为1 或 2. 说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt等多方面的知识. C A B O x y 学习必备欢迎下载 训练题 班级姓名学号 1二次函数(2)(21)yxx图像抛物线的顶点坐标是_，对称轴方程 _，与x轴交 点坐标 _，与y轴交点坐标 _；当x_时，y的最 _值等于 _，当 x_时，y随x增大而减小；当_时，0y；当 _时，0y。 2函
13、数 2 233 (2) mm ymx是x的二次函数，且抛物线开口向下，则m_。 3若 2 yxb xc的图像与x轴两个交点间的距离为4，图像经过点2, 3，则此二次函数的解析式 为_。 4把抛物线 21 (2)1 2 yx向左平移3 个单位，再向下平移2 个单位，就得 到抛物线 _。 5已知二次函数 2 yaxbxc的图像如右图，则下列6个代数式： ,ab ac abc abc2ab，2ab中，其值为正的式子的个数为_个。 6如下图，函数 2 1yxx的图像（实线部分）大致形状是（） 7如下图，已知函数yaxb和 2 (0)yaxbxc a，那么它们的图像可以是（） 8已知：二次函数 2 (2
14、1)(53)35ymxmxm （1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点； （2）m为何值时，这两个交点再原点的左右两边； （3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴； （4）m为何值时，这个二次函数有最大值 5 4 . 1 O y x x y B x y C x y D x y A x A O y D O y x C O y x B O y x 学习必备欢迎下载 9 已知：二次函数 22 24yxmxm的图像与x轴有两个交点A、 B， 顶点为 C， 若 ABC 的面积为4 2， 求m的值。 10已知抛物线 2 (0)yaxbxc a经过点 A1,0，对称轴方程是3x，顶点为 B，直线
15、ykxm 经过 A、 B 两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为2， 求一次函数ykxm和二次函数 2 yaxbxc 的解析式。 11抛物线 2 (0)yaxbxc a的图像如图所示： （1）判断 2 , , ,4a b c bac的符号； （2）当OAOB时，求, ,a b c满足的关系。 12如图，顶点坐标为1,9的抛物线交x轴于点 A2,0、 B 两点，交y轴于点C，过 A、B、C 三点 的O交y轴于另一点D，交抛物线于另一点P，过原 点 O 且垂直于AD 的直线交AD 于点 H， 交 BC 于点 G。 （1）求抛物线的解析式和点G 的坐标； （2）设直线xm交抛物线于点E，交直线 OG
16、于点 F，是否存在实数m，使 G、P、E、F 为一个平行四边 形的四个顶点？如果存在，求出 m 的所有值； 如果不存 在，请说明理由。 B A C O y x -2 1 4.5 4 x y A B C D H P O G 学习必备欢迎下载 参考答案 1 325 (,) 48 ， 3 4 x， 1 ,02 0 2 和，02， 3 4 x，小， 25 8 ， 3 4 x， 当 1 2 2 xx或，当 1 2 2 x； 21m； 3 2 23yxx或 2 65yxx； 4 2 1 (1)1 2 yx； 5有 2 个0,0abcac 6C 7C 8 （1） 1 2 m； （2） 31 52 m； （3） 3 5 m； （ 4）45 2m 922mm或 10当4m 时，44yx， 2 21210yxx；当4m -时，44yx， 2 21210yxx 11 （1）0,0ac0； （2）10acb 12 （1） 2 28yxx，G2,4 （2）当2m时，直线EF 与 PG 重合，不能 当22 3mm或时，可以。