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1、精品资料欢迎下载 二次函数压轴之矩形问题 1 （2015 宜宾）如图，抛物线y= 1 2x 2+bx+c 与 x 轴分别相交于点 A（ 2，0） 、 B（4，0） ，与 y 轴交于点C，顶点 为点 P. （1）求抛物线的解析式； （2）动点 M 、N从点 O同时出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别在线段OB 、OC上向点 B、C方向运动，过点M 作 x 轴的垂线交BC于点 F，交抛物线于点H. 当四边形OMHN 为矩形时，求点H的坐标； 是否存在这样的点F，使 PFB为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。 O H F P M N C BA y x 精品资料欢迎下载 2
2、 （2015 成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax 2 2ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧），经过点A的直线 l ：ykxb 与 y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且 CD 4AC （1）直接写出点A的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k、b 用含 a 的式子表示）； （2）点 E是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； （3）设 P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能， 求出点 P的坐标；若不能，请说明理由 x y O A
3、B D l C 备用图 x y O A B D l C E 精品资料欢迎下载 3. （2013?衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0） ，B（0，3）两点，对称轴是x=1 （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）动点 Q从点 O出发，以每秒1 个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从 M从 O点出发以每秒3 个单 位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作 x 轴的垂线交线段AB于点 N，交抛物线于点P，设运动的时间为t 秒 当 t 为何值时，四边形OMPQ 为矩形； AON能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由 解： （1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）
4、2+k， 点 A（1， 0） ，B（ 0，3）在抛物线上，解得： a=1，k=4， 抛物线的解析式为：y=（ x+1） 2+4 （2）四边形OMPQ 为矩形， OM=PQ ，即 3t= （t+1 ） 2+4，整理得： t2+5t3=0， 解得 t=，由于 t=0，故舍去， 当 t=秒时，四边形OMPQ 为矩形； RtAOB中， OA=1 ，OB=3 ， tanA=3 若 AON为等腰三角形，有三种情况： （I ）若 ON=AN ，如答图1所示： 过点 N作 ND OA于点 D，则 D为 OA中点， OD= OA= ， t=； （II ）若 ON=OA ，如答图2 所示： 精品资料欢迎下载 过点
5、 N作 ND OA于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ? tanA=3x ，OD=OA AD=1 x， 在 RtNOD 中，由勾股定理得：OD 2+ND2=ON2， 即（ 1x） 2+（3x）2=12，解得 x 1=，x2=0（舍去）， x=，OD=1 x=， t=； （III）若 OA=AN ，如答图3 所示： 过点 N作 ND OA于点 D，设 AD=x ，则 ND=AD ? tanA=3x ， 在 RtAND中，由勾股定理得：ND 2+AD2=AN2， 即（ x） 2 +（ 3x） 2=12，解得 x 1=，x2=（舍去）， OD=1 x=1， t=1 综上所述，当t 为秒、秒，
6、（1）秒时， AON 为等腰三角形 4. （2013?常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0， 3） ，B（，） ，对称轴为直线x=，点 P是抛物 线上的一动点， 过点 P分别作 PM x 轴于点 M ， PN y 轴于点 N， 在四边形PMON 上分别截取PC= MP ， MD= OM ， OE= ON ， NF= NP （1）求此二次函数的解析式； （2）求证：以C、D 、 E、F 为顶点的四边形CDEF是平行四边形； （3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存 在，请说明理由 （1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+） 2
7、+k， 点 A （0，3） ，B （，）在抛物线上， ，解得： a=1， k=抛物线的解析式为：y=（x+） 2 =x 2+x3 （2）证明：如右图，连接CD 、DE、EF、FC PM x 轴于点 M ，PN y 轴于点 N， 精品资料欢迎下载 四边形 PMON 为矩形， PM=ON ，PN=OM PC= MP ，OE= ON ， PC=OE ； MD= OM ， NF= NP ， MD=NF ， PF=OD 在 PCF与 OED中， PCF OED （SAS ） ， CF=DE 同理可证： CDM FEN ， CD=EF CF=DE ，CD=EF ，四边形CDEF是平行四边形 （3）解：假设
8、存在这样的点P，使四边形CDEF 为矩形 设矩形 PMON 的边长 PM=ON=m，PN=OM=n ，则 PC= m ， MC= m ，MD= n，PF= n 若四边形 CDEF为矩形，则 DCF=90 ，易证 PCF MDC ， ，即，化简得： m 2=n2， m=n ，即矩形 PMON 为正方形 点 P为抛物线y=x 2+x3 与坐标象限角平分线 y=x 或 y=x 的交点 联立，解得， P1（，） ，P2（， ） ；联立，解得， P3（ 3，3） ，P4（ 1， 1） 抛物线上存在点P，使四边形CDEF 为矩形 这样的点有四个，在四个坐标象限 内各一个，其坐标分别为：P1（，） ，P2（，） ，P3（ 3，3） ，P4（ 1，1）