【优质文档】二次函数的存在性问题(面积的存在性问题).pdf

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1、学习必备欢迎下载 二次函数的存在性问题(面积问题 ) 08 湖北荆州 已知：如图， Rt AOB 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的负 半轴上， C 为 OA 上一点且 OCOB，抛物线 y=(x2)(xm)(p-2)(p-m) （m、p 为常 数且 m+22p0）经过 A、C 两点 （1）用 m、p 分别表示 OA、OC 的长； （2）当 m、p 满足什么关系时， AOB 的面积最大 12 2 20.(1)02)()(2)()0 )(2)0 ,2 22020 2, 1 (2), 2 11 (2) 22 11 (2) 22 1 (2) 1 2 (2) 1 2 2() 2

2、 AOB AOB AO yxxmppm xpxmp xp xmp mpmpp OAmp OCP OCOB SOA OB SOA OBPmp PmP m pmS 令得：（ 整理得：（ 当时，. B最大 08 湖北荆州 如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，ACBC4，ACB90o，直角边 AC 在 x 轴上， B 点在第二象限， A（1，0） ，AB 交 y 轴于 E，将纸片过 E 点折叠使 BE 与 EA 所在直线重合，得到折痕 EF （F 在 x 轴上） ， 再展开还原沿 EF 剪开得到四边形 BCFE， 然后把四边形 BCFE 从 E 点开始沿射线 EA 平移，至 B 点到达 A 点停止 .

3、设平移时间为 t （s） ，移动速度为每秒1 个单位长度，平移中四边形BCFE 与AEF 重叠的面积为 S. （1）求折痕 EF 的长； （2） 是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线 2 43yxx的顶点？若存在， 求出 t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出 S 与 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围 . 25. 1 45 1 0 12 2 ABC BEEA FEEA RtACBC CAB EFEA A OAOEAE EF （）折叠后与所在直线重合 又中 （ ， ） ， 折痕 BA 交 Y轴于 P， O B C A x y O C x A C1F1 E1 B1 B

4、F E y 2（ ）存在 . 设CP 413 3 003 POCCCP ACOAOCOP CP 则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ， （，），（， ） 可求得 PC 所在直线解析式为：y=-x-3 学习必备欢迎下载 2 43(2)1 21 231. 21 45 2 1 cos45(/ 2 xx xyxy CP C BCFEEABAC BCFE 2 抛物线 :y=x 抛物线的顶点为（， ） 代入得 点（， ）在直线上 即直角顶点在移动中经过此抛物线的顶点 四边形沿射线移动速度为每秒一个单位长度， 直角顶点向水平方向移动速度为长度单位秒） 3 021 231 1 2( ) 2 2 C Ct

5、s 直角顶点从（，）位置移动到（， ）时，水平移动距离为 （） （长度单位） 直角顶点从开始到经过此抛物线顶点移动的时间 2 2 2 1 2 (02) 2 1( 22 2 (3) 1 21(2 23 2) 4 1 2 28(3 24 2) 4 ttt t s ttt ttt 学习必备欢迎下载 08 湖北襄樊 如图 ,四边形 OABC 是矩形 ,OA=4,OC=8, 将 矩形 OABC 沿直线 AC 折叠 ,使点 B 落在 D 处,AD 交 OC 于 E. (1) 求 OE 的长 ; (2) 求过 O、D 、 C三点抛物线的解析式; (3) 若 F 为过 O 、D、C三点抛物线的顶点, 一动点

6、P 从 A点 出发 , 沿射线 AB以每秒一个单位长度的速度匀速运动, 当运动时间t( 秒) 为何值时 , 直线 PF把 FAC分成面积 之比为 1:3 的两部分 ? 解： （ 1）四边形OABC 为矩形， CDE= AOE=90 ， OA=BC=CD 又 CED= OEA ， CDE AOE OE=DE. 222 () , 3(3 ) OEOAADDE OE解得分 （2）EC=83=5. 如图 4，过点 D作 DG EC于 G， DGE CDE 129 ,., 55 DEDGDEEG DGEG ECCDECDE 24 12 (,) 55 D O 点为坐标原点，故设过O、C、D三点抛物线的解析

7、式为 2 yaxbx. 解得 2 55 . 7 324 yxx（ 分） （3）因为抛物线的对称轴为x=4， 5 4. 2 其顶点坐标为（，） 设直线 AC 的解析式为y=kx+b ，则 解得 1 4 9 2 yx（ 分） 设直线 EP 交直线 AC 于 H 1 4 2 mm（，），过 H 作 HM OA 于 M. AMH AOC. HM ：OC=AH ：AC. 1331 1434 FAHFHC SS HMOCAHAC ： 或 ： ， AH ：HC=1 ：3或3：1 ：或 ： HM=2 或 6，即 m=2 或 6 1 2 1117 .4. 42 719 .4. 42 FHyxy FHyxy 18

8、 直线解析式为当时， x= 11 54 直线的解析式为当时， x= 7 1854 117 t当秒或秒时，直线 FP把FAC 分成 面积比为 1：3的两部分。 .（12分） 2 6480 242412 (). 555 ab ab 32 5 4. b 5 a=， 80 4 kb b ， 1 2 4 k b ， 学习必备欢迎下载 08 年湖北省武汉 如图 1，抛物线 2 3yaxaxb经过 A （ 1，0） ，C （3，2）两点，与y轴交于点D， 与x轴交于另一点B。 求此抛物线的解析式； 若直线1(0)ykxk将四边形ABCD 面积二等分，求 k的值； 如图 2，过点 E （1， 1）作 EF x

9、轴于点 F，将 AEF绕平面内某点旋转180后得 MNQ （点 M ，N， Q分别与点A，E，F对应），使点 M ，N在抛物线上，求点M ，N的坐标 2 13 2 22 yxx； 4 3 k； M （3，2） ，N（1，3） O x y E B D A F 图 2 A C O x y B D 图 1 学习必备欢迎下载 08 湖南湘西 已知抛物线 kxy 2 )2( 3 2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与y轴交于点C，其中点B 在 x 轴的 正半轴上， C 点在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（ OCOB ）是方程01610 2 xx的两个根 . （1）求 A、B 、C 三点的坐标；

10、 （2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标； （3）连 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与A、B 不重合），过 E 作 EFAC 交 BC 于 F，连 CE，设mAE，CEF的面积为 S，求 S与 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围 . （4）在（ 3）的基础上说明S 是否存在最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时BCE的形状；若不 存在，请说明理由. （1）方程2801610 21 2 xxxx，的两根为 OB=2，OC=8 B（ 2，0）C（0，8） 函数2)2( 3 2 2 xkxy的对称轴为 A（6，0） 即 A（6， 0）B（2，0）

11、C（0，8） （2） B 点在kxy 2 )2( 3 2 上 k 2 )22( 3 2 0 3 32 k 函数解析式为 3 32 )2( 3 22 xy 顶点坐标为 ) 3 32 2， ，大致图象及顶点坐标如右 （3） AE=m，AB=8，mBE8 OC=8， OA=6，据勾股定理得10AC ACEF， BE AB EF AC 即 mEF8 810 ， 4 )8( 5m EF 过 F 作 FGAB 于 G 5 4 sinsinFEBCAB 而 EF FG FEBsin，mFG8 S =SCEBSFEB=mmFGBEOCBE4 2 1 2 1 2 12 S与 m 的函数关系式为mmS4 2 12

12、 ，m 的取值为80m （4）mmS4 2 12 中0 2 1 ，S有最大值 8)4( 2 12 mS， 当 m=4 时， S有最大值为8 E 点坐标为： E（2，0） B（ 2，0） ， E（2-，0） CE=CB BCE 为等腰三角形 学习必备欢迎下载 08 江苏淮安 如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数1)2( 2 xay图像的顶点为P，与 x 轴交点 为 A、B，与 y 轴交点为C，连结 BP 并延长交y 轴于点 D。 （1）写出点P 的坐标； （2）连结 AP，如果 APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点 C、D 的坐标； （3）在（ 2）的条件下，连结BC、AC、AD ，点 E

13、（0，b）在线段CD（端点 C、D 除外）上，将BCD 绕点 E 逆时针方向旋转900，得到一个新三角形。设该三角形与ACD 重叠部分的面积为S，根据不同情 况，分别用含b 的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为 何值时，重叠部分的面积最大？写出最大值。 学习必备欢迎下载 08 辽宁沈阳 如图所示， 在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上， 边OC在y轴的 正半轴上， 且1AB，3OB，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的 对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D， 抛物线 2 yaxbxc过点A

14、ED， ， （1）判断点 E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ， ， ，为顶点的 平行四边形的面积是矩形ABOC面积的 2 倍，且点P在抛物线上，若存在， 请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解： （ 1）点E在y轴上 ,理由如下： 连接AO，如图所示，在RtABO中，1AB，3BO，2AO 1 sin 2 AOB，30AOB 由题意可知：60AOE306090BOEAOBAOE 点B在x轴上，点E在y轴上 （2）过点D作DMx轴于点M 1OD，30DOM在RtDOM中， 1 2 DM， 3 2 OM 点D在

15、第一象限，点D的坐标为 3 1 22 ， 由（ 1）知2EOAO，点E在y轴的正半轴上 点E的坐标为(0 2)，点A的坐标为 (31)， 抛物线 2 yaxbxc经过点 E，2c 由题意，将(31)A， 3 1 22 D ，代入 2 2yaxbx中得 3321 331 2 422 ab ab 解得 8 9 5 3 9 a b 所求抛物线表达式为： 285 3 2 99 yxx （3）存在符合条件的点P，点Q理由如下： 矩形ABOC的面积3AB BO以OBPQ， ， ，为顶点的平行四边形面积为2 3 由题意可知 OB为此平行四边形一边， 又3OB OB边上的高为 2 依题意设点P的坐标为(2)m

16、，点P在抛物线 2 85 3 2 99 yxx上 2 85 3 22 99 mm 解得， 1 0m， 2 5 3 8 m 1( 0 2 ) P， 2 5 3 2 8 P ， 以OBPQ， ， ，为顶点的四边形是平行四边形， PQOB，3PQOB，当点 1 P的坐标为(0 2)，时， 点Q的坐标分别为 1( 32)Q， 2( 3 2) Q，； 当点 2 P的坐标为 5 3 2 8 ，时，点Q的坐标分别为 3 13 3 2 8 Q ， 4 3 3 2 8 Q ， y x O D E C F A B y x O D E C F A B M 学习必备欢迎下载 08 内蒙包头 已知直线1kxy经过点)2

17、( ，dM和点)21( ，N，交 y 轴于点 H，交 x 轴于点 F. （1）求 d 的值； （2）将直线MN 绕点 M 顺时针旋转45得到直线ME，点)3(eQ，在直线 ME 上，证明MEx 轴； 试求过 M、N、Q 三点的抛物线的解析式； （3）在（ 2）的条件下，连接NQ，作 NMQ 的高 NB，点 A 为 MN 上的一个动点，若BA 将 NMQ 的面 积分为 12 两部分，且射线BA 交过 M、N、Q 三点的抛物线于点C，试求点C 的坐标 . x O y 学习必备欢迎下载 08 四川成都 如图，在平面直角坐标系xOy 中， OAB 的顶点的坐标为（10， 0） ，顶点 B 在第一象限

18、内，且AB=35，sinOAB= 5 5 . （1）若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点，求经过O、C、A 三点的抛物线的函数表达式； （2）在 (1)中，抛物线上是否存在一点P，使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若将点O、点 A 分别变换为点Q（ -2k ,0） 、点 R（5k，0） （k1 的常数），设过 Q、R 两点，且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N，其顶点为M，记 QNM 的面积为 QMN S ，QNR 的面积 QNR S，求 QMN S QNR S的值 . 解： （ 1）如图，过点B作 B

19、D OA于点 D. 在 RtABD中， AB=3 5,sin OAB= 5 5 , BD=AB sin OAB=3 5 5 5 =3. 又由勾股定理，得 22 A DABB D 22 (3 5)36 OD =OA - AD =10-6=4. 点 B在第一象限，点B的坐标为（ 4，3） 。 设经过 O(0,0) 、C（4，-3） 、 A(10,0) 三点的抛物线的函数表达式为 y=ax 2+bx(a 0). 由 1 , 1643 8 1001005 . 4 a ab ab b 经过 O 、C、A三点的抛物线的函数表达式为 2 15 . 84 yxx （2）假设在（ 1）中的抛物线上存在点P，使以

20、 P 、O、C、A为顶点的四边形为梯形 点 C （4，-3）不是抛物线 2 15 84 yxx的顶点， 过点 C做直线 OA的平行线与抛物线交于点P1 。 则直线 CP1的函数表达式为y=-3. 对于 215 84 yxx，令 y=-3x=4 或 x=6. 12 12 4,6, 3;3. xx yy 而点 C（ 4，-3 ） ， P1(6,-3). 在四边形P1AOC中， CP1 OA,显然 CP1 OA . 点 P1（6，-3 ）是符合要求的点。 若 AP2CO 。设直线CO的函数表达式为 1 .yk x 将点 C（4，-3 ）代入，得 11 3 43 4 kk 直线 CO的函数表达式为 3

21、 . 4 yx于是可设直线AP2的函数表达式为 1 3 . 4 yxb 将点 A（10，0）代入，得 315 . 42 x直线 AP 2的函数表达式为 315 . 42 yx 由 2 2 315 . 42 4600 15 84 yx xx yxx ，即（ x-10 ） （x+6）=0. 12 12 10,6 0;12; xx yy 而点 A（10，0） ， P2（-6 ，12） 。 学习必备欢迎下载 过点 P2作 P2Ex 轴于点 E，则 P2E =12. 在 Rt AP2E中，由勾股定理，得 22 22 22 121620.APP EAE 而 CO =OB =5. 在四边形P2OCA中， A

22、P2CO,但 AP2 CO . 点 P2（-6 ，12）是符合要求的点。 若 OP3CA,设直线 CA的函数表达式为y=k2x+b2 将点 A(10,0) 、 C(4,-3)代入，得 222 22 2 1 100, 2 43 5. kbk kb b 直线 CA的函数表达式为 1 5. 2 yx直线 OP 3的函数表达式为 1 2 yx 由 2 2 1 2 140, 15 84 yx xx yxx 即 x(x-14)=0. 12 12 0,14, 0;7. xx yy 而点 O(0,0), P3（14，7） 。 过点 P3作 P3Ex 轴于点 E，则 P3E =7. 在 RtOP3E中，由勾股定

23、理，得 22 22 33 7147 5.OPP FOF而 CA =AB =3 5. 在四边形P3OCA中， OP3CA,但 OP3 CA . 点 P3（14，7）是符合要求的点。 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、 P3(14,7), 使以 P、O 、 C、A为顶点的四边形为梯形。 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下。 当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的副半轴交与点N。 可设抛物线的函数表达式为(2 )(5 )ya xkxk（a 0） 。 即 22 310yaxakxak 22 349 (). 24 a xkak 如图，过点M作 MG

24、x 轴于点 G. Q （ -2k ，0） 、R（5k，0） 、G( 3 ,0 2 k 、N(0， -10ak 2) 、 M 2 349 , 24 kak 3 2 ,7 , 2 QOk QRk OGk 22749 ,10,. 24 QGk ONakMGak 23 11 71035. 22 QNR SQR ONkakak 111 () 222 QOONONGMOGQGGM 2222114931749 210(10) 2242224 kakakakkkak 3 14949 (291537). 288 ak 33 21 :() :(35)3: 20. 4 QNMQNR SSakak 当抛物线开口向下时

25、，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N， 同理，可得:3: 20. QNMQNR SS 综上所知，: QNMQNR SS 的值为 3：20. 学习必备欢迎下载 08 四川泸州 如图，已知二次函数 2 yaxbxc的图像经过三点A1,0，B3,0，C0,3，它的顶 点为 M，又正比例函数ykx的图像于二次函数相交于两点D、E，且 P 是线段 DE 的中点。 求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标； 已知点E 2,3 ，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x的 取值范围； 当02k时，求四边形PCMB 的面积s的最小值。 【参考公式：已知两点 11 D,x y

26、， 22 E,xy，则线段 DE 的中点坐标为 1212 , 22 xxyy 】 （1）由 2 yaxbxc，则得 0 930 3 abc abc c ，解得 1 2 3 a b c 故函数解析式是： 2 23yxx。 由 2 2 2314yxxx知， 点 M（1，4） 。 （2）由点 E2,3在正比例函数ykx的图像上得， 3 32 , 2 kk得，故 3 2 yx， 由 2 3 2 23 yx yxx 解得 D 点坐标为（ 39 , 24 ） ， 由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是 3 2 2 x。 （3） 2 23 ykx yxx 解得，点 D、 E坐标

27、为 D（ 22 2416 2416 , 22 kkkkkk k） 、 E（ 22 2416 2416 , 22 kkkkkk k） ， 则点 P 坐标为 P（ 22 , 22 kk k）由02k ，知点 P 在第一象限。 由点 B3,0，C0,3，M（1，4） ，得 134 115 24 222 COBM S四边形 ，则 15151212 33 222222 OPCOPBPCMB kk SSSk 四边形 整理，配方得 2 3193 4216 PCMB Sk 四边形 。 故当 1 2 k时，四边形PCMB 的面积值最小，最小值是 93 16 。 y x D M E P C BA O 学习必备欢迎

28、下载 08 云南双柏 已知：抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上， 点 C 在 y 轴的正半轴上， 线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程 x 210x 160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求 ABC 的面积； （4）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合） ，过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE， 设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S与 m 之间 的函数关系式，并写出自变量m的取值范围

29、； （5）在（ 4）的基础上试说明S是否存在最大值， 若存在，请求出 S的最大值，并求出此时点E 的坐标， 判断此时 BCE 的形状；若不存在，请说明理由 解： （1）解方程x2 10x160 得 x12，x28 点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC 点 B 的坐标为（ 2，0） ，点 C 的坐标为（ 0，8） 又抛物线y ax 2bxc 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6， 0） A、B、C 三点的坐标分别是A（ 6，0） 、 B（ 2，0） 、 C（0，8） （2）点 C（0，8）在抛物线yax2bxc 的图象上 c8，将 A（

30、 6， 0） 、B（2，0）代入表达式yax2bx8，得 036a6b8 04a2b8 解得 a 2 3 b 8 3 所求抛物线的表达式为y 2 3x 28 3x8 （3） AB8，OC8SABC 1 2 8 8=32 （4）依题意， AEm，则 BE8 m， OA6，OC8，AC10 EF AC BEF BAC EF AC BE AB 即 EF 10 8m 8 EF405m 4 过点 F 作 FGAB，垂足为G，则 sinFEGsin CAB 4 5 FG EF 4 5 FG 4 5 40 5m 4 8m SSBCE SBFE 1 2（8m） 8 1 2（8m） （8m） 1 2（8 m）

31、（88m） 1 2（8m）m 1 2m 24m 自变量 m 的取值范围是0m8 （5）存在理由： S 1 2m 24m1 2（m4） 2 8 且 1 2 0， 当 m 4 时， S有最大值， S最大值8 m4，点 E 的坐标为（ 2，0） BCE为等腰三角形 学习必备欢迎下载 08 浙江丽水 如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（ 2，4） ，直线2x与x轴相交于点B，连 结OA，抛物线 2 xy从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，顶点M到A点时停止移动 （1）求线段OA所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, 用m的代数式表示点P的坐标； 当m为何值时，线段PB最

32、短； （3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使QMA 的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若 不存在，请说明理由 解： （1）设OA所在直线的函数解析式为kxy， A（2，4） ， 42k , 2k, OA所在直线的函数解析式为 2yx. （2）顶点M 的横坐标为m，且在线段 OA上移动， 2ym（0m2）. 顶点M的坐标为 (m,2m). 抛物线函数解析式为 2 ()2yxmm. 当2x时， 2 (2)2ymm 2 24mm（ 0m2）. 点P的坐标是（ 2， 2 24mm）. PB= 2 24mm= 2 (1)3m， 又 0m2，当1m时， PB最短 . （3

33、）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为21 2 xy. 假设在抛物线上存在点Q，使 QMAPMA SS. 设点Q的坐标为（x， 2 23xx） . 当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC/AO，交y轴于点C， 3PB，4AB， 1AP，1OC，C点的坐标是（ 0，1）. 点P的坐标是（ 2，3） ，直线PC的函数解析式为12xy. QMAPMA SS，点Q落在直线12xy上. 2 23xx=21x. 解得 12 2,2xx，即点Q（2， 3）. 点Q与点P重合 . 此时抛物线上不存在点Q，使QMA与APM的面积相等 . 当点Q落在直线OA的上方时， 作点P关于点A的对称称点D，过D作直线

34、DE/AO，交y轴于点E， 1AP，1EODA，E、D的坐标分别是（0，1） ， （2，5） ， 直线DE函数解析式为12xy. QMAPMA SS，点Q落在直线12xy上. 2 23xx=2 1x. 解得： 1 22x， 2 22x. 代入12xy，得 1 52 2y， 2 522y. 此时抛物线上存在点 1 22,522Q，225 ,22 2 Q 使QMA与PMA的面积相等 . （2 分） 综上所述，抛物线上存在点 1 22,522Q，225 ,22 2 Q 使QMA与PMA的面积相等 . y B O A P M x 2x D y O A B P M x 2x C E 学习必备欢迎下载 0

35、9 湖北黄石 正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上， AB交y轴正半轴于EBC，交x轴负半轴于F，1OE，抛物线 2 4yaxbx过ADF、 、三点 （1）求抛物线的解析式； （3 分） （2）Q是抛物线上DF、间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N， 若 3 2 FQNAFQM SS 四边形 ，则判断四边形AFQM的形状；（3 分） （3）在射线 DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H， 使得APPH且APPH，若存在，请给予严格证明，若不存在， 请说明理由 （4 分） 解： （ 1）依条件有(04)D，(0

36、1)E， 由OEAADO知 2 4OAOE OD (2 0)A，由RtRtADEABF得DEAF ( 3 0)F， 将AF、的坐标代入抛物线方程， 得 4240 9340 ab ab 2 3 ab 抛物线的解析式为 2 22 4 33 yxx 3 分 （2）设QMm， 1 (5) | 2 QAFQM Smy 四边形 ， 1 (5) | 2 FQNQ Smy 3 (5) |(5) |1 2 QQ mymym 设()Q ab，则(1)M ab， 2 22 4 3 2(1)4 baa a ba 2 230aa，1a（舍去3a） 此时点M与点D重合，QFAM，AFQM，AFQM， 则AFQM为等腰梯形

37、 3 分 （3）在射线DB上存在一点P，在射线CB上存在一点H 使得APPH，且APPH成立，证明如下： 当点P如图所示位置时，不妨设PAPH，过点P作PQBC，PMCD，PNAD，垂足分 别为QMN、 若PAPH由PMPN得： ANPQ，RtRtPQHAPN HPQPAN 又90PANAPN 90APNHPQ APPH 2 分 当点P在如图所示位置时， 过点P作PMBC，PNAB， 垂足分别为MN， B A N D M C Q H P H N A D C B M P O y x B E A D C F N M Q B A D M C Q H P N O y x B E A D C F 学习必

38、备欢迎下载 图 12-2 x C O y A B D 1 1 同理可证 RtRtPMHPAN MHPNAP 又 MHPHPN， 90HPANPAHPNMHPHPM， PHPA 1 分 当P在如图所示位置时，过点P作PNBH，垂足为N，PMAB延长线，垂足为M 同理可证RtRtPHMPMA PHPA 1 分 注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4 分；若 只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2 分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也 没有讨论三种情况的只给2 分 09 湖南益阳 阅读材料： 如图12-1 ，过 ABC 的三个顶点分别

39、作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“ 水平宽” (a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“ 铅垂高 (h)”.我们可得出一种计 算三角形面积的新方法：ahS ABC 2 1 ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线 (在第一象限内)上的一个动点，连结PA， PB，当 P 点运动到顶点C 时，求 CAB 的铅垂 高 CD 及 CAB S ； (3)是否存在一点P，

40、使 SPAB= 8 9 SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解： (1) 设抛物线的解析式为：4)1( 2 1 xay 把 A（ 3,0）代入解析式求得1a 所以324)1( 22 1 xxxy 设直线 AB 的解析式为：bkxy2 由32 2 1 xxy求得 B 点的坐标为)3 ,0( 把)0 ,3(A，)3,0(B代入bkxy2中 解得：3, 1 bk 所以3 2 xy (2) 因为 C 点坐标为 ( ,4) 所以当 x时， y1 4，y22 所以 CD4-22 323 2 1 CAB S(平方单位 ) (3) 假设存在符合条件的点P，设 P 点的横坐标为x， P

41、AB 的铅垂高为h， 则xxxxxyyh3)3()32( 22 21 由 SPAB= 8 9 SCAB得：3 8 9 )3(3 2 12 xx 化简得：09124 2 xx解得， 2 3 x 将 2 3 x代入32 2 1 xxy中， 解得 P 点坐标为) 4 15 , 2 3 ( 学习必备欢迎下载 09 吉林长春 如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点A、C 的坐标分别为（0， 1） 、 （2， 4） 点 P 从点 A 出发，沿A BC 以每秒 1 个单位的速度运动，到 点 C 停止；点Q 在 x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和抛物线cbxxy 2 4

42、1 经过 A、C 两点过点P 作 x 轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R设点 P 的运动时间为t（秒） ， PQR 的面积为 S（平方单位） （1）求抛物线对应的函数关系式（2 分） （2）分别求t= 1 和 t= 4 时，点 Q 的坐标（3 分） （3）当 0 t 5 时，求 S与 t 之间的函数关系式，并直接写出S的最大值（5 分） 【参考公式：抛物线 2 yaxbxc的顶点坐标为 2 b a ， 2 4 4 acb a 】 （1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2， 4)， 得 2 1, 1 224. 4 c bc 解得 2, 1. b c 抛物线对应的函数关系式为： 21 21 4 y

43、xx （2）当1t时， P 点坐标为 (1， 1)， Q 点坐标为 (2， 0) 当4t时， P 点坐标为 (2，3)， Q 点坐标为 (5，0) （3）当0t2 时， 2 11 (21 1) 1 24 Stt S 2 1 8 tt 当2t5 时， 1 (5)(2212) 2 Stt S 2 15 3 22 tt （8 分） 当3t时， S的最大值为2 （10 分） 学习必备欢迎下载 09 辽宁本溪 如图所示， 在平面直角坐标系中，抛物线 2 yaxbxc（0a）经过( 1 0)A，(3 0)B， (0 3)C，三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与BD、重合），过点P作y

44、轴的 垂线，垂足为E，连接BE （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为()xy，PBE的面积为s，求s与x的函数关系式， 写出自变量x的取值范围， 并求出s的最大值； （3）在（ 2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把PEF沿直 线EF折叠，点 P的对应点为P ，请直接写出 P 点坐标，并判断点 P是否在该抛物线上 解： （ 1）设(1)(3)ya xx， 把(0 3)C，代入，得 1a ，2 分 抛物线的解析式为： 2 23yxx 顶点D的坐标为(14)，5 分 （2）设直线 BD解析式为：ykxb（0k ） ，把B D、 两点坐标代入， 得 30 4. kb kb ， 解得 26kb， 直线 AD解析式为26yx