【优质文档】二次函数的应用(几何问题)题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 年全国中考数学试题分类解析汇编 二次函数的应用（几何问题） 1. （2012 天津市 10 分） 已知抛物线y=ax 2+bx+c（02a b）的顶点为P（x0，y0），点A （1，yA）、B（0，yB）、C（ 1，yC）在该抛物线上 （）当a=1，b=4，c=10 时，求顶点P的坐标；求 A BC y yy 的值； （）当y00恒成立时，求 A BC y yy 的最小值 2. （2012 上海市 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+6x+c 的图象经过点A（4，0） 、B（ 1， 0） ，与y轴交于点 C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限

2、，ADE=90， tanDAE= 1 2 ，EFOD，垂足为F （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示） ； （3）当ECA=OAC时，求t的值 3. （2012 广东广州14 分） 如图，抛物线 2 33 y=xx+3 84 与x轴交于A、B两点（点A在 点B的左侧），与y轴交于点C （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时， 求点 D的坐标； （3）若直线l过点E（4，0） ，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时，求直线l的解析式 学习必备欢迎下载 4.

3、 （2012 广东肇 庆 10 分）已知二次函数 2 ymxnxp图象的顶点横坐标是2，与x轴 交于A（x1， 0） 、B（x2， 0） ，x10x2， 与y轴交于点C，O为坐标原点，tantanCABO1OC （1）求证：n4m0；（2）求m、n的值； （3）当p0 且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时，求二次函数的最大值 5. （2012 广东珠海7 分） 如图，二次函数y=（x2） 2+m的图象与 y轴交于点C，点B是 点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数 图象上点A（1， 0）及点B （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象

4、，写出满足kx+b（x2） 2+m的 x的取值范围 6. （2012 浙江杭州12 分） 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x 2+x1） 的图象交于点A（1，k）和点B（ 1，k） （1）当k=2 时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的 取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值 7. （2012 浙江宁波12 分）如图， 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交x轴于A（ 1，0） ，B（ 2， 0） ，交y轴于C（0， 2） ，过A，C画直线 （1）求二次

5、函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长； （3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H 若M在y轴右侧，且CHMAOC（点C与点A对应） ，求点M的坐标； 学习必备欢迎下载 若M的半径为 4 5 5 ，求点M的坐标 8. （2012 浙江温州14 分）如图，经过原点的抛物线 2 yx2mx(m0)与x轴的另一 个交点为A. 过点P(1,m)作直线PMx轴于点M，交抛物线于点B. 记点B关于抛物线对称 轴的对称点为C（B、C不重合） . 连结CB,CP。 （1）当m 3时，求点A的坐标及BC的长； （2）当m1时，连结CA，问m为何值时CACP？

6、（3）过点P作PEPC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所 有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。 9. （2012 江苏连云港12 分） 如图，抛物线yx 2 bxc与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四 边形OCEF为矩形，且OF2，EF3， (1) 求抛物线所对应的函数解析式； (2)求ABD的面积； (3) 将AOC绕点C逆时针旋转90，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说 明理由 学习必备欢迎下载 10. （2012 江苏南通14 分） 如图，经过点

7、A(0， 4) 的抛物线y 1 2 x 2 bxc与x轴相 交于点B(0，0) 和C，O为坐标原点 (1) 求抛物线的解析式； (2) 将抛物线y 1 2 x 2 bxc向上平移 7 2 个单位长度、 再向左平移m(m0) 个单位度， 得到新抛物线若新抛物线的顶点P在ABC内，求m的取值范围； (3) 设点M在y轴上，OMBOABACB，求AM的长 11. （2012 江苏泰州10 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2 的正方形OABC的 顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 2 2 yxbxc 3 的图象经过B、C 两点 （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图象

8、探索：当y0 时x的取值范围 12. （2012 湖北黄石10 分） 已知抛物线C1的函数解析式为 2 yaxbx3a(b0)，若 抛物线C1经过点(0, 3)，方程 2 axbx3a0的两根为 1 x， 2 x，且 12 xx4。 学习必备欢迎下载 （1）求抛物线C1的顶点坐标 . （2）已知实数x0，请证明： 1 x x 2, 并说明x为何值时才会有 1 x2 x . （3） 若抛物线先向上平移4 个单位，再向左平移1 个单位后得到抛物线C2， 设 1 A( m , y)， 2 B(n, y )是C 2上的两个不同点，且满足： 0 0AOB9，m0，n0. 请你用含有 m的表达式表示出AO

9、B的面积S， 并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函 数解析式。 13. （2012 湖北武汉12 分） 如图 1，点A为抛物线C1： 2 1 y=x2 2 的顶点，点B的坐标为 (1， 0) ，直线AB交抛物线C1于另一点C (1) 求点C的坐标； (2) 如图 1，平行于y轴的直线x3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴 的直线xa交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE43，求a的值； (3) 如图 2，将抛物线C1向下平移m(m0) 个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为 点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m 的值

10、 图 1 图 2 14. （2012 湖北荆门10 分） 已知：y关于x的函数y=（k1）x 22kx+k+2 的图象与 x轴 有交点 （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x1 2+2kx 2+k+2=4x1x2 求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值 学习必备欢迎下载 15. （2012 湖北恩施8 分） 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与一直线相交于A（ 1，0） ，C （2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m） ，求使MN+MD的值最小时m的值；

11、 （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若 不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值 16. （2012湖北黄冈 14分）如图，已知抛物线的方程C1: 1 yx2 (xm) m0 m 与x轴 相交于点B、 C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧 . (1) 若抛物线C1过点M(2 ，2)，求实数m的值 (2) 在(1) 的条件下，求BCE的面积 (3) 在(1) 的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+E

12、H最小，并求出点H的坐标 (4) 在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE 相似 ?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由 17. （2012 湖南常德10 分） 如图，已知二次函数 1 y(x2)(axb) 48 的图像过点A( 4， 学习必备欢迎下载 3），B(4 ，4). （1）求二次函数的解析式： （2）求证：ACB是直角三角形； （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存 在以P、H、D、为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由。 18. （2012 湖南怀化10 分） 学

13、科王如图，抛物线 m： 2 1 y(xh)k 4 与x轴的交点为A、B， 与y轴的交点为C，顶点为(3,)M 25 4 , 将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n, 它 的顶点为D. （1）求抛物线n的解析式； （2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D 重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF. 如果P点的坐标为(x, y)，PEF的面 积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径 作G，试判断直线CM与G的位置关系，并说明理由. 19.

14、 （2012 湖南郴州10 分）如图，已知抛物线 2 yaxbxc经过A（4，0），B（2，3）， C（0，3）三点 学习必备欢迎下载 （1）求抛物线的解析式及对称轴 （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标 （3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 20. （2012 湖南株洲10 分）如图，一次函数 1 y=x+2 2 分别交y轴、x轴于A、B两点，抛 物线y=x 2+bx+c 过A、B两点 （1）求这个抛物线的解析式； （2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交

15、直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何 值时，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（ 2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标 21. （2012 湖南湘潭10 分） 如图，抛物线 2 3 y=axx2 a0 2 的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（ 4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的 坐标 学习必备欢迎下载 22. （2012 四川资阳9 分） 抛物线 2 1 y=x +x+m 4 的顶点在直线

16、y=x+3上，过点F（ 2，2） 的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MAx轴于点A，NBx轴于点B （1）(3 分) 先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）(3 分) 设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NFNB； （3）(3 分) 若射线NM交x轴于点P，且PAPB 100 9 ，求点M的坐标 23. （2012 四川泸州11 分） 如图，二次函数 2 11 yxmxm 22 的图象与x轴相交于 点A、B( 点在点的左侧 ) ，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限 . 过点D作x轴的垂线，垂 足为H。 (1) 当

17、 3 m 2 时，求tanADH的值； (2) 当 60ADB90时，求m的变化范围； (3) 设BCD和ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。 学习必备欢迎下载 24. （2012 辽宁鞍山14 分） 如图，直线AB交x轴于点B（4，0） ，交y轴于点A（0，4） ， 直线DMx轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，DAC=90 （1）直接写出直线AB的解析式； （2）求点D的坐标； （3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点 的抛物线于点E，连接CE是否存在点P，使BPF与FCE相似？若存在，请求出

18、点P的 坐标；若不存在，请说明理由 25. （2012 辽宁朝阳14 分） 已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x 轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（ 0，2），B（ 1，0）。 （1）求点C的坐标； （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴； （3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m 的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标； （4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得MPC（P为上述（ 3）问中使S 最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 26. （2012 辽宁锦州14 分）

19、如图，抛物线3 2 bxaxy交y轴于点C，直线l为抛物 学习必备欢迎下载 线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到x轴的距离为 10 3 ，到y轴的距离为1. 点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B. （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）直线mxy 4 3 与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F, 连接BD交y轴 于点E，且DE:BE=4:1. 求直线 mxy 4 3 的表达式； （ 3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线mxy 4 3 上是否存在点M，使得以点O、 F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. 27. （201

20、2 山东东营11 分） 已知抛物线 2 3 y=x +bx+63 2 经过A（2， 0）设顶点为点 P，与x轴的另一交点为点B （1）求b的值，求出点P、点B的坐标； （2）如图，在直线y= 3x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在， 求出点D的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在，试举例验证你 的猜想；如果不存在，试说明理由 学习必备欢迎下载 28. （2012 山东莱芜12 分） 如图，顶点坐标为(2 ， 1)的抛物线yax 2bx c(a0)与 y轴交于点C(0 ，3)， 与x轴交于A、B两点 (1) 求抛物线的

21、表达式； (2) 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积； (3) 点E为直线BC上一动点， 过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存 在点E，使 得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理 由 学科王 29. （2012 山东日照10 分） 如图，二次函数y=x 2 bxc的图象与x轴交于A、B两点， 且A点坐标为 （ 3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（ 2， 3）. （ 1）求抛物线的解析式和直线BD解析式； （ 2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，是否 存在实数a

22、使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请 说明理由 . 学习必备欢迎下载 30. （2012 山东威海12 分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 y=ax +bx+c a0的顶 点为B（2，1） ，且过点A（0，2） 。直线 y=x与抛物线交于点 D、E（点E在对称轴的右侧） 。 抛物线的对称轴交直线 y=x于点C，交x轴于点G。PM x轴，垂足为点F。点P在抛物线上， 且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足为点M，PCM为等边三角形。 （1）求该抛物线的表达式； （2）求点P的坐标； （3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由； （4）连接PE，在x轴上点M

23、的右侧是否存在一点N，使CMN与CPE全等？若存在， 试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。 31. （2012 山东潍坊11 分） 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2，O) 、B(2，0) 、 C(0 ，l) 三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D(0 ， 2)作平行于x轴的直线 1 l、 2 l (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线 1 l相切； 学习必备欢迎下载 (3)求线段MN的长 ( 用k表示 ) ， 并证明M、N两点到直线 2 l的距离之和等于线段MN的长 32. （2012 山东枣庄10 分） 在平面直角坐标

24、系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二 象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 ( 1，0) 如图所示，B点在抛物线y1 2x 21 2x 2 图象上，过点B作BDx轴，垂足为D，且B点横坐标为3 （1）求证：BDCCOA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 33. （2012 云南省 9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 yx2 3 交x轴于点 P，交 y轴于点A抛物线 2 1 yxbxc 2 的图象过点E（ 1，0），并与直线相交于A、B两 点 （1）求抛物线的

25、解析式（关系式）； （2）过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标； （3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 学习必备欢迎下载 34. （2012 吉林长春10 分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+42 交x轴与点A, 交直线y=x于点B, 抛物线 2 y=ax2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐 标分别为16 和 4，点P在这条抛物线上 （1）求点C、D的纵坐标 （2）求a、c的值 （3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长 （4）若Q为线段OB或线段AB上的

26、一点，PQx轴，设P、Q两点之间的距离为d（d0）， 点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围 35. （2012 江西省 10 分） 如图，已知二次函数L1：y=x 24x+3 与 x轴交于AB两点（点 A在点B左边） ，与y轴交于点C （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx 24kx+3k（ k0） 写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； 是否存在实数k，使ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明 理由； 学习必备欢迎下载 若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发

27、生变化？如果不会，请 求出EF的长度；如果会，请说明理由 36. （2012 青海省 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x轴 交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0） ，与y轴交于C（0， 3）点， 点P是直线BC下方的抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的表达式 （2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边 形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形 ABPC的最大面积 37. （2

28、012 内蒙古呼和浩特12 分） 如图，抛物线y=ax 2+bx+c（ a0）与双曲线 k y= x 相交 于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（2，2） ，点B在第四象限内，过点B 作直线BCx轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点 B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算ABC与ABE的面积； 学习必备欢迎下载 （3）在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABE的面积的8 倍？若存在，请求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由 38. （2012 内蒙古赤峰12 分） 如图，抛物线 2 yxbx5与x轴

29、交于AB两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于 点E，|OC| ：|OA|=5 ：1 （1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式； （3）在直线AF上是否存在点P，使CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存 在，说明理由 39. （2012 内蒙古包头12 分） 已知直线y = 2x + 4 与x轴、y轴分别交于A , D两点， 抛物线 2 1 y=x +bx+c 2 经过点A , D，点B是抛物线与x轴的另一个交点。 （ 1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标； （ 2）设点M是直线AD上一点，且 AOMOMD S: S1

30、: 3，求点M的坐标； （ 3）如果点C（ 2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使BCP为等 腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 40. （2012 黑龙江绥化6 分） 如图，二次函数y=ax 2 4xc 的图象经过坐标原点，与x轴 交于点A（ 4， 0） 学习必备欢迎下载 （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点P，满足SAOP=8，请直接写出点P的坐标 41. （2012 黑龙江黑河、 齐齐哈尔、 大兴安岭、 鸡西 6 分） 如图，抛物线 2 1 yx=x 2 bc 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3 (1) 求抛物线的解析式 (2) 若点D(2 ， 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得BDP 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由 注：二次函数 2 yaxbxc（a 0）的对称轴是直线x= b 2a 42. （2012 黑龙江龙东地区6 分） 如图，抛物线y=x 2 bxc经过坐标原点，并与x轴交 于点A（ 2，0）。 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）写出顶点坐标及对称轴； （ 3）若抛物线上有一点B，且 OAB S3，求点B的坐标。