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1、学习必备欢迎下载 教学课题二次根式的概念及乘除法运算 教学目标 1 理解二次根式的概念 2. 理解a（a0） 是一个非负数，（a） 2=a （a0） ，2 a=a （ a0） .理解 （a0， b0） ，=（ a0，b0） ，并利用它们进行计算和化 简 3. 理解=（a 0，b0）和=（a0，b0）及利用它们进行运算 4. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 教学重点与 难点 重点： 1. 二次根式a（a0）的内涵a（a0）是一个非负数； （a） 2a（a0） ； 2 a=a（a0）及其运用 2.（a0，b0） ，=（a0，b0）及它们的运用 3. 理解=（a
2、0， b0） ，=（ a0，b0）及利用它们进行计算和化 简 4. 最简二次根式的运用 难点： 1.对a（a0）是一个非负数的理解；对等式（a） 2a （ a0）及2 a=a（a 0） 的理解及应用 2. 发现规律，导出（a0，b0） 3发现规律，归纳出二次根式的除法规定 4. 会判断这个二次根式是否是最简二次根式 ab ababab a b a b a b a b abababab a b a b a b a b abab 学习必备欢迎下载 教学过程 一、 复习引入 今天我们要学习的是二次根式的概念及它的一些性质，其实前面我们已经学过平方根，而二次根式 其实就是平方根的其中正的那一个，也就是
3、算术平方根。今天我们主要需要掌握二次根式的几个运算性 质： 1形如a（a 0）的式子叫做二次根式； 2a（ a0）是一个非负数； 3(a) 2a（a0） 4. 2 a=a（a0） （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题 1： 已知反比例函数y= 3 x ， 那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是_ 问题 2：在直角三角形ABC 中， AC=3 ，BC=1 ， C=90，那么AB 边的长是 _ 问题 3：甲射击6 次，各次击中的环数如下：8、7、 9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那 么 S=_ 老师点评： 问题 1：横、纵坐标相等，即x=y，所以 x 2=3因为
4、点在第一象限，所以 x=3，所以所求点的坐 标（3，3） 问题 2：由勾股定理得AB=10 问题 3：由方差的概念得S= 4 6 . 很明显3、10、 4 6 ，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我 们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如a（a0）的式子叫做二次根式， “”称为二次 学习必备欢迎下载 根号 （学生活动）议一议： 1-1 有算术平方根吗？20 的算术平方根是多少？3当 a0） 、0、 4 2、 -2、 1 xy 、xy（x0，y 0） 分析 ：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” ；第二，被开方数是正数或0 解：二次根式有：2、x（x0） 、0
5、、-2、xy（x0，y0） ；不是二次根式的有： 3 3、 1 x 、 4 2、 1 xy 例 2当 x 是多少时， 31x 在实数范围内有意义？ 分析 ：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-10，?31x才能有意 义 解：由 3x-1 0，得： x 1 3 当 x 1 3 时，31x在实数范围内有意义 例 3当 x 是多少时， (1)23x+ 1 1x 在实数范围内有意义？ 分析 ：要使23x+ 1 1x 在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的 0 和 1 1x 中的 x+1 0 a a21 1 2 学习必备欢迎下载 解：依题意，得 230 10 x x 由得：
6、x- 3 2 由得： x-1 当 x- 3 2 且 x -1 时，23x+ 1 1x 在实数范围内有意义 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零； 分母中字母时，要保证分母不为零。 例 4(1)已知 y=2x+2x+5，求 x y 的值 (答案 :2) (2)若1a+1b=0，求 a 2004+b2004 的值 (答案 : 2 5 ) 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a（a0）是一个什么数呢？ 老师点评：二次根式其实就是平方根的其中正的那一个，也就是算术平方根。所以我们得到： a（a 0）是一个非负数 做一做：根据算术平方根的意义填空： （4） 2=_； （ 2） 2=_；
7、 （ 9） 2=_； （ 3） 2=_； （ 1 3 ） 2=_； （ 7 2 ） 2=_； （ 0） 2=_ 老师点评：4是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4 的非负数，因 此有（4） 2=4 同理可得：（2） 2=2， （ 9） 2=9， （ 3） 2=3， （ 1 3 ） 2=1 3 ， （ 7 2 ） 2=7 2 ， （0） 2=0，所以 （a） 2=a（a 0） 学习必备欢迎下载 例 1计算 1 （ 3 2 ） 2 2 （-35） 2 3 （ 5 6 ）2 4 （ 7 2 ） 2 分析 ：我们可以直接利用（ a） 2=a（a0）的结论解题 解：略 例 2 计
8、算 1 （1x） 2（ x0） 2 （ 2 a） 2 3 （ 2 21aa） 2 4 （ 2 4129xx） 2 分析 ： （1）因为 x 0，所以 x+10 ； （2）a20； （3）a2+2a+1=（a+1） 0； （4） 4x2-12x+9= （2x）2-22x3+3 2=（2x-3）20 所以上面的4 题都可以运用（a） 2=a（a0）的重要结论解题 解略 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1） x 2-3 （2） x 4-4 (3) 2x 2-3 （学生活动）填空： 2 2=_； 2 0.01=_； 2 1 () 10 =_； 2 2 ( ) 3 =_； 2 0=_； 2 3 (
9、 ) 7 =_ 学习必备欢迎下载 （老师点评） ：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2 2=2； 2 0.01=0.01； 21 () 10 = 1 10 ； 22 () 3 = 2 3 ； 2 0=0； 23 () 7 = 3 7 因此，一般地： 2 a=a（a0） 例 1 化简 （1）9（2） 2 ( 4)（3）25（4） 2 ( 3) 分析 ：因为（ 1）9=3 2， （2） （-4）2=42， （3）25=52， （4） （-3） 2=32，所以都可运用2 a=a（a0）?去化简 应用拓展 例 2 填空： 当 a0 时， 2 a=_；当 aa，则 a 可以是什么数？ 分析 ： 2
10、a=a （a0） ，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行， 应变形，使“ （） 2”中的数是正数，因为，当 a0 时， 2 a= 2 ()a，那么 -a0 （1）根据结论求条件； （2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（ 1） 、 （2）可知 2 a= a，而 a要大于a，只有什么时候才能保证呢？aa， 即使 aa 所以 a 不存在；当 aa， 学习必备欢迎下载 即使 -aa，a2，化简 2 (2)x- 2 (1 2 )x 1. 本节课应掌握： 2 a=a（a 0）及其运用，同时理解当a、0） ， 反过来，=（a0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例 1计
11、算： （1）（2）（3）（ 4） 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 3 4 2 3 2 5 7 8 3 4 3 4 2 3 2 3 2 5 2 5 7 8 7 8 a b a b a b a b 12 3 31 28 11 416 64 8 学习必备欢迎下载 分析 ：上面 4 小题利用=（ a0，b0）便可直接得出答案 解： （1）=2 （ 2）=2 （3）=2 （4）=2 例 2化简： （1）（2）（3）（4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的 解： （
12、1）= （2）= （3）= （4）= 例 3已知，且 x 为偶数，求（1+x）的值 a b a b 12 3 12 3 4 31 28 313 834 282 33 11 416 111 16 4164 4 64 8 64 8 82 3 64 2 2 64 9 b a 2 9 64 x y 2 5 169 x y a b a b 3 64 33 864 2 2 64 9 b a 2 2 648 3 9 bb a a 2 9 64 x y 2 93 8 64 xx y y 2 5 169 x y 2 55 13 169 xx y y 99 6 6 xx x x 2 2 54 1 xx x 学习必
13、备欢迎下载 分析： 式子=，只有 a0，b0 时才能成立 因此得到 9-x 0 且 x-60 ，即 6 2 ()a- 2 a C 2 a 2 a= 2 ()a 1 43 43 1 21 1 32 1 43 1 20022001 2002 23243200220012002 20022002 学习必备欢迎下载 二、填空题 1形如 _的式子叫做二次根式 2面积为a 的正方形的边长为_ 3负数 _平方根 4 （-3） 2=_ 2已知1x有意义，那么x+1 是一个 _数 5-0.0004=_ 6若20m是一个正整数，则正整数m 的最小值是 _ 三、综合提高题 1某工厂要制作一批体积为1m 3 的产品包
14、装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形， 试问底面边长应是多少？ 2当 x 是多少时， 23x x +x 2 在实数范围内有意义？ 3若3x+3x有意义，则 2 x=_ 4.使式子 2 (5)x有意义的未知数x 有（）个 A0 B1 C2 D无数 5.已知 a、b 为实数，且5a+2102a=b+4，求 a、b 的值 6计算 （1） （9） 2 （2）-（3） 2 （3） （ 1 2 6） 2 （ 4） （-3 2 3 ）2 7把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1） 5 （2）3.4 （ 3） 1 6 （ 4）x（x0） 8已知1xy+3x=0，求 x y 的值 学习必备欢迎
15、下载 9在实数范围内分解下列因式: （1） x 2-2 （2） x 4-9 3x 2-5 10先化简再求值：当a=9 时，求 a+ 2 12aa的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+ 2 (1)a=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+ 2 (1)a=a+（a-1）=2a-1=17 两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_ 二次根式的乘除 1. 计算： 2. 3计算：_ 4. 使等式成立的条件是。 5. 当，时，。 6、若x 3+3x2 = x x+3 ，则 x 的取值范围是。 12. 计算 : （1）（2） （3）（a0）（4）（ x0，y0） 23_;369_ )0,
16、0(3010yxxyxy ba10253 1111xxxx 0a0b 3 _ab 232 )5 2 1 (154 aa82 xyx 1 1010 学习必备欢迎下载 （5）（ x0，y0） 13. 化简 : （ 1）（2） （ 3）（a0， b0）（4）（x0，y0） （5）（ab0） 2 32 4 1 62xyxy 12 22 57 32 4ba yxx 23 4224 baba 学习必备欢迎下载 14 (2007芜 湖 市 ) 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为 5cm、C的边长为5cm ，则正方形D的边长为（） A.cm B.4cm C.cm D.3cm 15如图，在ABC中， AB 6， AC 4， BC 8， AD BC ，求。 课后反思 教学评价 14 15 S ABC A C D B 学习必备欢迎下载 学生签字：老师签字：